“函数与导数”专题分析与思考 福建省福州第三中学黄炳锋

复习目标 数学本质 数学素养 教学本质 复习内涵 理想 教学 准确定位 合理取舍 提质提速 反复操练 理想 成绩 Pre

时间节点  2004 年，福建省高考数学自行命题；  2009 年，福建省新课程高考；  2016 年，福建省高考采用全国卷． Pre

两卷相同点  关注基础知识、技能与基本思想方法的考查；  强调能力立意，突出对数学学科能力的考查；  考点设置基本相同，重点考查六大主干知识；  不过分追求 “ 新 ”“ 异 ” ，着重在数学学科本质． Pre

试卷结构有差异 Pre

粗略比较 Pre

结论与思考  结论： 两卷存在差异，需要对比分析．  思考： 关注变与不变，调整总复习策略； 进行对比分析，在差异中找思路． Pre

研究方法  纵向对比 ——2011 至 2015 课标卷  横向分析 ——2015 全国各地试卷  静向探微 —— 概括试题考查类型  动向启示 —— 初探复习课的教学 Pre

考试内容  函数概念与基本初等函数 Ⅰ （ 1 ）函数 （ 2 ）指数函数 （ 3 ）对数函数 （ 4 ）幂函数 （ 5 ）函数与方程 Pre

考试内容  导数及其应用 （ 1 ）导数概念及其几何意义 （ 2 ）导数的运算 （ 3 ）导数在研究函数中的应用 （ 4 ）生活中的优化问题 （ 5 ） * 定积分与微积分基本定理 Pre

考试内容  函数的概念与运算  函数的图象与性质  函数与方程  导数的概念及其几何意义  导数在研究函数中的应用  生活中的优化问题  定积分与微积分基本定理 Pre

一些草稿

纵向对比  题型结构  知识分布 （一）

题型结构 自 2011 年起实施新课程高考模式， 2013 年起统计全国课标 Ⅰ 卷，可 以看出，函数与导数考查题型稳定，选填一般各设一题，解答题设 一题，题位偏后，题分约占 15%. 1

知识分布 自 2013 年起，全国课标卷每年命制文理各两套，统计 2011 年起的 16 份试卷可以看出， 在选填题中基本上每年都有单独考查函数的概念、图象与性质，有时单独考查函数与 方程以及导数的应用，理科有时考到定积分与微积分基本定理；解答题主要考查导数 的概念及其几何意义以及导数在研究函数中的应用，但没有考到生活中的优化问题． 2

结论与思考（2）  充分体现课标与考纲的总体要求  题型稳定，知识分布均匀难度大  思考 如何把握主体、突破难点？ （一）

横向分析  命题特点  亮点扫描 （二）

命题特点  注重基础，考查核心概念和主干知识 对函数与导数知识点的考查，除了江苏、 上海安排了两道解答题，重庆没有安排选填 题外，其他试卷基本上都是安排三道客观题 和一道解答题，部分省份安排四道客观题和 一道大题，分值在 23 分左右，约占总分的 15%. 1

命题特点  注重基础，考查核心概念和主干知识 客观题的考查特点：以基本初等函数为载 体，全面考查函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、对称性、周期性、有界性，以及函 数图象变换等基础知识，属于简单题或中等 难度题. 1

案例： 2015年高考课标Ⅱ卷·理5 试题以分段函数的形式，考查函数值的计算．解题要求理解函数的概念，掌握指数、 对数的概念与运算性质，属于偏简单的中档题． （二）

命题特点  注重基础，考查核心概念和主干知识 2015 年文理科数学 31 份试卷中，函数与导数的 解答题基本放置于最后两道，属难题．其考查特 点是：以基本初等函数为载体，利用方程、不等 式、数学建模与导数、代数推理等知识点交汇， 考查函数五大性质的应用、不等式问题和函数方 程思想、数形结合思想、分类讨论思想等. 1

案例： 2015年高考课标Ⅰ卷·文21

命题特点  强调交汇，突出四基、四能、三有利 《 2015 年考试大纲的说明》在 “ 考查要求 ” 部分明确 提出，数学科命题要 “ 从学科的整体高度和思维价值的 高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学 基础知识的考查达到必要的深度 ”. 根据这一要求， 2015 年的数学试题既注重了章内知识的纵向发展，又注重了 不同章节知识之间的相互交汇，并且对原有的知识网络 交汇点进行了自然、适当的拓宽和延伸，这在函数与导 数知识点的考查上尤为明显. 1

命题特点  强调交汇，突出四基、四能、三有利 各省高考试卷中的 “ 函数与导数 ” 的解答 题基本上涉及了函数、导数、方程和不等式 的交汇. 知识交汇能凸显四基、四能、三有利 的落实，成为命题的显著特点． 1

案例： 2015年高考陕西卷·理9 试题依托对数的概念及其运算性质、对数函数的单调性与基本初等函数的交汇，考查 三个函数值的大小比较，突出函数内部的应用． （二）

案例： 2015年高考福建卷·理13 试题将定积分与微积分基本定理与几何概型的交汇，考查定积 分的几何意义与几何概型的计算，突出函数内部的应用． （二）

命题特点  关注差异，文理要求不同各展所长 2015 年各省高考的数学试题充分考虑了文理考生在数 学学习内容、学习能力上的差异. 理科侧重理性思维和抽 象概括，文科侧重形象思维和定量处理. 同一省份的文理 试题常以 “ 同题不同题号 ” 或 “ 姊妹题 ” 的形式出现. 对 于函数与导数知识点的考查也出现类似情况：安徽卷理 科第 2 题就是文科第 4 题；理科第 9 题与文科第 12 题属于 “ 姊妹题 ” ；福建卷理科第 2 题就是文科第 3 题，但天津 卷文理第 7 题相同． 1

命题特点  关注差异，文理要求不同各展所长 当然，对于函数与导数知识点文理的不同要求， 在 2015 年的高考有些省、市的文理卷中也出现了 较大的差异，如天津卷文、理的第 8 题虽然都是考 查函数与方程的有关知识，但是考查类型与难度 均有所不同，总的来看，理科的考查力度明显高 于文科． 1

案例： 2015年高考天津卷·理8 （二）

案例：2015年高考天津卷·文8 天津卷文理第 8 题，虽然都是在分段函数的基础上，考查函数与方程的相关知识，但两 道试题的设问、结构以及难度都有明显差异，在能力要求上理科明显高于文科． （二）

亮点扫描  关注数学应用，突出应用实质，倡导学以致用 提高数学的提出、分析和解决问题（包括简单的实际 问题）的能力，发展数学应用意识和创新意识，是高中 数学学习的宗旨. 由于大多数省份都采用概率与统计作为 应用题的背景，函数应用题在近几年的高考题中出现得 较少．但今年设置的应用问题更加趋于理性，没有那种 “ 穿鞋戴帽 ” 的形式，更加关注数学的本质，关注数学 应用的实质，关注考查学生数学建模能力、运用数学模 型解决问题的决策能力. 2

案例： 2015年高考北京卷·理8 本题在对 “ 燃油效率 ” 新定义的理解的基础上考查函数应用，要求具有识图能力，对 图象的理解要求较高. （二）

亮点扫描  揭示函数本质，强调化归转化，倡导以形助数 函数、方程、不等式可谓是 “ 一胞三胎 ” ，通过函数的图象可将 它们紧密地结合在一起. 数形结合不仅在中学数学教学中占有重要的 地位，也是历年高考重点考查的内容之一. 在运用数形结合解题时要 注意以下两点： （ 1 ） “ 形 ” 中觅 “ 数 ” ：根据形的直观性来寻求数量关系，将 几何问题代数化，使问题得到解决； （ 2 ） “ 数 ” 中构 “ 形 ” ：根据代数问题具有的几何特征，进而 发现数与形之间的关系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决. 2

案例： 2015年高考课标Ⅰ卷·理12 （二）

案例： 2015年高考课标Ⅰ卷·理12 （二）

亮点扫描  创新情境认知，突出自主学习，倡导自我提升 创新情境试题主要是在试题中给出了中学教学内容中 没有遇到过的新知识，如新概念、新定义、新定理或新 规则等，要求考生读懂、理解，然后利用这个新知识并 结合已有的知识作进一步的推理或演算，主要考查学生 的阅读理解并获取有用信息的能力、加工信息的能力或 探究能力等，这是创新意识与实际能力考查的重要尝试 与方法. 2

案例： 2015年高考湖北卷·文7 试题以定义的符号函数作为创新情境，要求考生读懂、理解，然后利用这个新知 识并结合已有的知识作进一步的推理或演算. （二）

结论与思考（3）  各省试题趋于理性，题型丰富，分布均匀  各省试题凸显本质，关注交汇，体现理念  部分试题尝试探究，规避模式，关注应用  思考：数学复习应回归数学本质，突出核 心概念，做到三个理解，即理解数学、理 解学生、理解教学． （二）

静向探微  基本类型 （ 1 ）用导数求切线（求曲线上一点处的切线方程）； （ 2 ）用导数求函数的单调区间. （ 3 ）用导数求函数的极值. （ 4 ）用导数求函数的最大（小）值.  常见题型 （ 1 ）单调性问题：已知函数在某个区间上的单调性求参数的取值范围. （ 2 ）零点问题：讨论函数的零点个数，或是已知曲线 y=f （ x ）与 x 轴有一个（两个、三个）交 点（零点），求参数的取值范围. （ 3 ）极值点问题：探究极值点的有关属性，或是已知极值点的范围求参数的有关范围问题. （ 4 ）恒成立问题（ f(x)≥m 型， f(x) ≥ax 型， f(x) ≥g(x) 型， f(x) ≥kg(x) 型），求参数范围. （ 5 ）带量词的命题问题，带量词的命题成立求参数的取值范围. （ 6 ）证明不等式成立. （三）

静向探微  求范围从必要条件入手 若已知 “p→q” ，则 q 是 p 的必要条件，意味 着 q 是 p 成立的必不可少的条件．解题时恰当利 用必要条件可帮助探求解题思路，简化解题过 程，这在课标卷解题中常常被考查． （三）

案例： 2012年高考课标Ⅰ卷·理21 （三）

案例： 福州三中高二下·理21 本题从题型到设问比较符合课标卷特点，属基本类型题. （三）

案例： 福州三中高二下·理21

静向探微  证明题用充分性的方法 A 是 B 的充分条件，表示 A 成立可以推出 B 成 立，课标卷中常出现用证明 A 成立的方法去证 B 成立，这就是证明题不用等价转化，而用充 分性的方法，引起大家的关注． （三）

证明 f(x)>1 的一般思路是证明 f(x) 的最小值大于 1 ，做等价变换后，可以转化为 xlnx>xe -x -2/e ．一般考虑构造函数证明，但本题却从两个结论，用充分性证得. 案例： 2014年高考课标Ⅰ卷·理21 （三）

结论与思考（4）  题型、类型固然重要，但不能局限于此  函数与导数试题变多，但本质上是转化  思考：如何适应变化？ （三）

动向启示  动向注意点  总复习建议 （四）

动向注意点  应注意分段函数的引入导致问题复杂化 分段函数也是函数的一种表示法，只是对应 法则以分段形式表示，但由于复习过程中较少 涉及这类函数，导致问题因陌生而复杂. 1

案例： 2015年高考湖南卷·理15 函数 g(x) 有两个零点，即函数 f(x) 的图象与直线 y=b 有两个交点，画出 f(x) 的图象即可判 断，但由于涉及分段函数，使得并不太难的试题，因分段表示的陌生而困难重重． （四）

动向注意点  应注意复合函数、隐函数的导数求法 复合函数、隐函数因求导运算错误而影响函 数性质的研究，是高考常见的令人痛心的错误， 避免的方法就是正视这类函数的求导，从导数 的概念到运算法则，真正落实． 1

案例： 2015年高考课标Ⅰ卷·文12 （四）

动向注意点  应注意含有量词的代数问题的求解方法 近年在函数与导数的考查中，出现了一类具 有形如 “ 任意 … ，存在 … ，使得 … 恒成立（能 成立） ” 固定结构形式的代数证明题，因为问 题的表述结合了全称量词、存在量词等常用逻 辑用语，使得本来够难的试题更加抽象，如果 不适应这种问法，很难得到满分． 1

案例： 2014年高考福建卷·理21 本例第（ 3 ）问，试题用 “ 任意 … ，存在 … ，使得 …” 以及 “ 恒成立 ” 的数学特有的固 定结构，阐述 x 2 与 e x 的变化情况．从背景来看，试题就是 “ 指数爆炸 ” 这个现象的美妙 的数学解析；用图象分析，得到结论是显然的．但指数函数增长的背景与图象分析都 不能用于代数证明，正确的证明思路应先从题意理解开始，即需要针对任意的正数 c ， 寻找相应 x 0 的值，并证明当 x>x 0 时，恒有 x 2 <ce x 成立. （四）

得分比例 人 3人3人 3人3人 2人2人 （四）

案例： 2014年高考福建卷·理21 （四）

评析  借助函数的单调性证明不等式，其本质是通过构造相应的函 数实现转化．本题的困难在于，对于不同的正数 c ，需要用 数学严谨的方法（而不是感觉上）寻找到相应的 x 0 ，并证明 当 x ∈ (x 0 ， +∞) 时，恒有 x 2 <ce x 成立.  貌似简单的不等式证明问题，实质要构造函数求解，这就是 化归与转化的威力，只有理解了 “ 固定结构 ” 的叙述内容， 才明白要构造什么函数模型，本例的三种解法中所构造的函 数都是有 “ 技术 ” 含量的，解法一是引入自然对数，解法二与 解法三都是借助幂函数做过渡，目的是在理解题意的前提 下，能按照要求逐步化解寻找 x 0 值的困难． （四）

案例： 2015年高考四川卷·理15 本题以函数图象上两点连线的斜率作为研究对象，结合全称量词、存在量词提供 了全新的背景，考查函数的图象与性质. （四）

动向注意点  应熟悉三次函数的图象与性质 引入导数工具，在函数性质研究上，最典型的扩充就 是可以全面研究三次函数的图象与性质．三次函数具有 丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程和 方法具有普适性、 一般性和有效性，可以迁移到其他函 数的研究中．因此，复习中应以三次函数的图象的形 状特征为主线，探索三次函数的单调性、极值、零点 个数等问题．并在此过程中，体会数形结合、分类与 整合、化归与转化等思想方法． 1

案例： 2015年高考江苏卷·19 本题围绕三次函数的图象与性质命题，考查研究函数性质的基本思路和思维层次. 在 讨论函数的单调性时，完全遵循研究单调性的步骤，即求导、求驻点，列表、看趋势 三步曲．第二小题，函数有三个不同零点不难理解，但给出 a 的取值范围再求 c 的值， 却感觉无从下手，如果继续遵循研究函数性质的基本步骤，以普适性、一般性的方法 求解，又能柳暗花明，找到出路，说明函数模型、研究基本策略的重要性． （四）

动向注意点  应注意分类与整合思想的层次性 分类与整合思想是必考的思想方法，而且常 常落脚于函数与导数，不论是对函数单调性的 讨论，还是在研究函数其他性质的求解过程， 总是避免不了进行分类讨论．分类与整合思想 是有层次性的，最重要的是，要学生明白为什 么要讨论，以及怎么分类讨论． 1

案例： 2015年高考课标Ⅰ卷·理21 先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 a 值，这是常规 题型； h(x) 的零点个数由 a 决定，所以需要对 a 进行分类讨论． （四）

动向注意点  应注意二阶导数在研究函数中的拓展应用 虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应 用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续 研究函数的性质的试题比比皆是，尤其是课标 卷．因此有必要关注二阶导数在研究函数中的 拓展应用，留意函数凸性的等价性，但要注意 需要的过程性的学习，而不是定理的记忆． 1

定义与定理 （四）

定义与定理 （四）

定义与定理 （四）

动向注意点  应注意部分内容在要求上的不同把握 虽然福建省考试说明的修订与全国统一考试 大纲一致，我们研读的结果也发现没有太大差 异，但具体实施时，有些知识内容的考查常常 超出了福建的要求，这需要引起我们的注意和 重视，比如，互为反函数的图象特征，二阶导 数的应用等． 1

案例： 2012年高考课标Ⅰ卷·理12 本题中的两个动点分别位于一对互为反函数的图象上，因此两点间的距离最小值应 转化为其中一个点到对称轴的距离的最小值的两倍. 本题对互为反函数的识别，图 象的特征提出了较高的要求． （四）

总复习建议  从习题课、讲评课中区分出来， 做到任务清，目标明．  复习课具有两个显著特点，一是搭建知识框 架，形成良好的数学认知结构；二是根据教 学目标设计必要的训练以发展相应的数学思 维能力 [1] ． 2 [1]黄炳锋，关于复习课教学设计的框架结构的思考[J]．中小学数学（高中版），2013，1．

总复习建议  认知结构的建立与完善 复习课的一个重要的任务就是引导学生按 照一定标准把已学的知识进行梳理、分类、 整合，并建立联系，通过对它们的重新概括， 使之条理化、系统化，从整体上形成良好的 数学认知结构． 72 （四）

函数与导数专题知识框图 （四）

总复习建议  思维能力的训练与提高 从能力训练的角度看复习课的功能，精选复习内容 是重要的环节，复习内容多，复习时间少，这就需要 教师选择能体现数学的核心概念和基本思想方法的典 型例题，典型例题是为达成能力目标服务的，通过训 练提高综合应用知识解决问题的能力，并提炼相应的 核心概念和思想方法体系． 74 （四）

结论与思考（5）  把握函数与导数专题的重点知识  以题组教学为核心设计一轮复习  以知识为依托，训练思想与方法 （四）

教学示例  课题：导数及其应用复习课（文科） 执教：北师大二附中 金宝铮（特级教师） 地点：北师大二附中 高三（ 6 ） 时间： 2013 年 11 月 20 日． 76 （四）

情景再现  首先，教师让学生先完成 4 道函数求导的训练题， 试题选自北京市 年高考题，如下．  求下列函数的导数 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 77 （四）

情景再现  接着，教师用提问的形式让学生归纳导数 的应用有哪几种类型，并在教师询问下， 学生为每一类型都设计了相应的例题，教 师将它写在黑板上． （四）

情景再现 79 （四）

情景再现  最后，在教师一再询问下，由师生合作补 充了第 5 种类型：证明不等式．然后，教师 调板 4 位学生，完成前 4 种类似的试题，并 点评解答，给出小结． 80 （四）

教学中的几个细节  学生回答第一类型后，教师自然提出了一 个变式训练：求过函数 y=x 3 的图象上的点 （ 1,1 ）的切线方程．将切线问题的两种情 形进行对比，从语言叙述的差异、解决问 题方法的相同之处，展示给学生． 81 （四）

教学中的几个细节  第 4 名学生开始时设计的函数 y=x 3 +2x 很容 易看出是没有极值的，但教师没有点破， 而是不动声色地请这个学生来解决，这名 学生在解答过程中终于发现了问题，于是 重新编制了一道试题：求函数 y=x 3 -x 2 -x+4 的极值． 82 （四）

教学中的几个细节  第 5 个问题是：已知函数 f(x)=x ， g(x)=sinx ，问 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象有几个 公共点？学生在回答问题是遇到困难，教 师及时从 “ 图形 ” 的角度提出判断，又从 “ 构造函数 ” 角度提出解决问题的方法． 83 （四）

听课思考  我在想，为什么我们的学生学习的数学经 常会遗忘呢？我们日常的教学过程是否刻 意为了 “ 加深记忆 ” 而精心设计过教学形 式呢？  更深入一些思考，金老师的这节复习课巧 妙之处在哪里呢？ 84 （四）

听课体会  本课基于学生独立设计问题展开，固然所复习 的内容较为容易，设计的问题也谈不上多大价 值，但通过形式的改变，其潜在价值却是明显 的．  这节课有 “ 模式识别 ” 的精彩设计，有 “ 静待 花开 ” 的节奏把握，有 “ 关注生成 ” 的教学艺 术，金老师通过这节课给我们展示了复习课多 样化的教学形式． 85 （四）

听课体会  纵观整个教学过程，设计简洁流畅，教学 目标设定明确，教学过程条理清晰，教学 结构稳定，教学内容详略得当，教学过程 松弛适度，有良好的课堂调控，也能突出 复习课型的教学特点． 86 （四）

听课体会  复习课的任务是引导学生对已学过的知识 进行系统整理、建立它们的联系，通过对 它们的重新概括，形成良好的数学认知结 构；同时，通过综合应用知识的训练，提 高解决各种问题的能力。 87 （四）

听课体会  金老师的设计巧妙的地方就是将复习课的 两个主要任务，亦即搭建知识框架，形成 良好的数学认知结构和根据教学目标设计 必要的训练以发展相应的数学思维能力， 全部交给学生完成。 88 （四）

听课体会  框架的搭建是在学生努力思索后自己建构 的，能力的训练也是学生自己设计问题自 行提出的，也就是自我的需求，而不是教 师的强加的。 89 （四）

听课体会  课堂教学是教师向学生进行教育、传播知 识、培养技能、技巧的主要形式，教师的 教学思想、教学方法和教学艺术，以及学 生的学习效果无不在课堂教学中比较集中 地反映出来． 90 （四）

听课体会  只有运用灵活多变的教学方法，让学生在 “ 乐中学 ” 又在 “ 学中乐 ” ，才能达到教 与学有机结合的最高境界．  金老师在本节教学中就很好地运用了 “ 表 现 —— 成功 —— 快乐 ” 三步曲方法，对文 科生而言，尤其有效． 91 （四）

听课体会  著名教育家陶行知先生说： “ 教学艺术就在于 设法引起学生的兴味，有了兴味就肯用全副的 精力去做事体 ” ．关于提高学生的学习兴趣， 我想，这节课借助教学形式的细微改变，已经 做到了．  我们在继承传统、优良的复习课模式的同时， 结合学生实际，尝试一些变革，让复习更有实 效和趣味，应该是努力与追求的目标． 92 （四）

请提宝贵意见！  黄炳锋  福建省福州第三中学  