解三角形 数列

解三角形 一、课程内容解读 解三角形是高中数学中的传统内容，大纲教材比 较关注三角形边角关系的恒等变换, 教学重点放在 运算上。把其列为第五章平面向量的第二节，作为 平面向量的一个应用（共 16 页）。而课标教材它 在模块 5 中独立成章, 共 28 页，其中应用举例和相应 素材 14 页，可见加大了应用的要求。新课标明确 指出：不必在恒等变换上进行过于繁琐的训练。对 照省教学指导意见, 在计算方面降低了要求, 削弱了 用计算器解斜三角形的有关计算问题, 而在探索推 理方面作了相应的提高, 重视正余弦定理发现的探 究.

二、教学要求 1.1 正弦定理和余弦定理 基本要求 : 会证正弦定理、余弦定理。 能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边 角关系时的作用。 能用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 发展要求 : 了解正余弦定理与三角形外接圆半 径的关系。进一步讨论，用正弦定理、余弦定 理解三角形。 说明 : 可以利用计算器进行近似计算，但不要 求太复杂繁琐的运算。

1.2 应用举例 基本要求 : 掌握利用正弦定理、余弦定理 解任意三角形的方法。 理解解三角形在实际中的一些应用，从而 培养学生分析问题、解决问题的能力。演 算过程中要算法简练，算式工整，计算正 确。 理解三角形的面积公式并能应用。 发展要求 : 了解海伦公式。 说明 : 空间中解三角形的问题在这章学习 时不必增加，可在立体几何学习时适当拓 展。

1.3 实习作业 基本要求 : 根据实际条件，利用本章知识 做一个有关测量的实习作业。 发展要求 : 条件允许的情况下，可多做几 个实习作业以培养学生应用知识解决实际 问题的能力。 说明 : 不要求太复杂的问题。

三、教学建议 1. 课时安排 本章总课时为 8 课时，建议 1.1 节 3 课时， 1.2 节 3 课 时， 1.3 节和小结 2 课时。 2 ．重点难点 1.1 节的重点是正弦定理和余弦定理及推证。 难点是用正弦定理解三角形时解的个数论。 1.2 节的重点是正弦定理和余弦定理的应用。 难点是把实际问题转化为解三角形问题。 1.3 节的重点难点是指导学生写好实习报告。

3 、分析说明 （ 1 ）在正余定理定理教学中，要体现 “ 定性分析 ” 到 “ 定量 刻画 ” 的过程。积极开展有效的探究活动。 （ 2 ）探究与发现 P 解三角形进一步讨论的难点是用 正弦定理解决：已知二边一角问题。 （ 3 ）注意边角转化。 （ 4 ）在求角时，尽量用余弦定理。

（５）应用举例中，可补充不要近似计算的题。 要通过实例让学生体会数学源于实践、用于实践的意 义。 （６）应用举例教学中可开展问题解决、合作探究。 （７）解斜三角形应用题的一般步骤：分析、建模、 求解、检验。 （ 8 ）注意积累、归纳解三角形的一些基本的实用结 论。 （ 9 ）面积问题课本涉及不多，可补充一些例、练。 （ 10 ） P24.2 是海伦公式。根据学生实际可补充求内 切圆半径和外接圆半径的方法。

例 2 、如图， A 、 B 两点都在河的对岸（不可到达），设计 一种测量 A 、 B 两点间距离的方法。 P13

数 列数 列 一、课程内容解读 数列是高中数学中的传统内容。以往的内容比较注重数 列中各量之间关系的恒等变形。新课标注重知识的形成过 程，强化了用函数观点来呈现数列，如明确提出了递增数 列、递减数列、摆动数列的概念。要求在数列的教学中， 应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握 数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和复杂程 度。这体现了新课标在内容处理上的一个原则：删减繁琐 的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝未节的内容。 基于这样的原则，数列教学中要改变传统的纸上演化题型， 花样翻新地搞偏题、怪题的做法，注重应用，关注学生对 数列模型的本质的理解，以及运用数列模型解决实际问题 的能力。大纲教材第一册（上）第三章数列部分共 33 页， 而课标教材共 45 页，主要增加了阅读材料、素材和信息技 术的应用。通过许多数学名题来体现数学的文化价值，使 学生了解数学在人类文明发展中的作用，以此来提升学生 的数学素养。

要把数列视为反映自然规律的基本数学模型，教学中要 通过日常生活中的实例，讲解数列的概念和几种表示方法， 特别指出要体现数列是一种特殊函数，通过列表、图象、 通项公式表示数列，把数列融于函数之中。 等差数列和等比数列是重要内容，要强调在具体的问题 情境中，发现数列的等差或等比关系，既突出问题意识， 也有助于对数学本质的认识。而体会等差数列、等比数列 与函数的关系的要求则实现了数列与函数的融合。新课标 要求探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前几项 和的公式。这里的探索是指学生的自主探索，而教师则起 到一个指导的作用，这反映了新课程所倡导的新型学习方 式。

二、教学要求 2 ． 1 数列的概念与简单表示法 基本要求 : : 理解数列的定义，了解数列是一类 函数. 了解数列的几种简单的表示方法（列表、 图象、通项公式）。认识数列是反映自然规律 的基本模型。 发展要求 : 能根据数列的前几项写出一个通项 公式, 根据给出的递推公式写出数列的前几项。 说 明 : 繁难复杂的递推关系式不作要求，已知 数列前几项写出一个通项公式，不必太难。

2.2 等差数列 基本要求 : 理解等差数列的概念. 掌握等差数列 的通项公式. 了解等差数列与一次函数的关系. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关 系，能用等差数列有关知识解决相应的问题. 发展要求 : 掌握等差数列典型性质及应用。

2.3 等差数列的前 n 项和 基本要求 : 掌握等差数列前 n 项和的公式，并 能用公式解决简单的问题, 理解等差数列前 n 项和的公式的推导方法. 发展要求 :: 能利用等差数列前 n 项和公式及其 性质求一些特殊数列的和。理解 S n 与 a n 的关 系. 说 明 : 等差数列的求和公式应达到灵活运用。

2.4 等比数列 基本要求 : 理解等比数列的概念. 掌握等 比数列的通项公式. 了解等比数列与指数 函数的关系. 能在具体的问题情境中，识 别数列的等比关系，并能用等比数列有 关知识解决相应的典型问题. 发展要求 : 掌握等比数列典型性质及应 用。能用类比观点推导等比数列性质 。

2 ． 5 等比数列前 n 项和 基本要求 : 掌握等比数列的前 n 项和公式并 能用公式解决简单问题。 发展要求 : 理解等比数列前 n 项和公式的推 导。能利用等比数列前 n 项和公式及其性 质求一些特殊数列的和。等比数列的求和 公式应达到灵活运用。 说 明 : 在公比取值范围上要谨防学生 片面地理解为只能是正的错误认识。注意 等比数列求和公式使用式的条件.

三、教学建议 1. 课时安排 本章总课时 12 课时，建议 2.1 节 2 课时， 2.2 节 2 课时， 2.3 节 2 课时， 2.4 节 2 课时， 2.5 节 2 课时，小结与复习 2 课时。 2 ．重点难点 2 ． 1 节重点 : 是使学生理解数列的概念，认识数列是反映 自然规律的基本数学模型，掌握数列的几种简单表示（通 项公式、图象、列表）。 难点 : （ 1 ）是认识数列是一类特殊的函数及根据数列前几 项的特点，探索规律写出数列可能的通项公式。（ 2 ）根 据数列的首项和递推公式写出它的前几项, 并归纳出通项 公式.

2.2 节重点是使学生掌握等差数列的概念及通项公式、等 差中项，用通项验证数列 {a n } 为等差数列，并能用来解决 有关问题. 难点是等差数列 “ 等差 ” 性的特点、等差数列性质的应用。 2.3 节重点是使学生掌握等差数列的前 n 项和公式. 难点是推导等差数列前 n 项和公式思路的获得。 2.4 节重点是使学生掌握等比数列的概念、通项公式、等 比中项、等比数列的性质. 难点是等比数列的判定方法，等比数列的性质的应用研究。 2.5 节重点是使学生掌握等比数列的前 n 项和公式及错位相 减的思想。 难点是用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的思路获 得。

3 、分析说明 (1) 在数列教学中渗透数学文化 ( 数学的美学价值、数学家的创新精 神）。 (2) 数列是一种特殊函数, 可用研究函数的方式来研究数列. 如数列 的表示方法（列表、图象、通项公式、递推公式）与函数的表示 方法相对应. 让学生体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函 数的关系。 (3) 已知前几项写通项公式不必太难，有些规律不要一步到底。已 知递推公式写前几项，主要介绍的是递推思想，为以后作准备。 说明数列规律一般有两种。 (4) 由递推公式求通项公式等问题会加重学生不必要的负担，不要 求繁难复杂的递推关系式。 (5) 创设有质量的问题情境，营造学生积极的思维氛围. 让学生发现 数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。 (6) 等差、等比的通项公式可介绍叠加法，叠乘法。

(7) 等差、等比的求和方法的思想很重要，并从中体会性质。 (8) 注意等差数列、等比数列的类比。 (9) 一些阅读材料在正课中不要太化时间。 (10) 由 P74.3 补充一些 S n 与 a n 的换算例子。 (11) 关于计算机程序应用于数列。 (12) 购房中的数学（ P71 ）及存款、贷款的材料说明数列的有用 性。 (13) 数列的求和方法可适当补充 (14) 正确把握例题、习题的功能，重视课后习题的探究。