x y o 简单的线性规划问题
一、实际问题 某工厂用 A 、 B 两种配件生产甲、乙两 种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件 耗时 1h ，每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件 耗时 2h ，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作 8h 计 算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分 中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。 y x o 若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获 利 3 万元，采用那种生产安排利润最大？ 设工厂获得的利润为 z ，则 z ＝ 2x ＋ 3y 把 z ＝ 2x ＋ 3y 变形为 它表示斜率为 的直 线系， z 与这条直线的 截距有关。 如图可见，当直线经过可行域上的点 M 时，截距最 大，即 z 最大。 M
二、基本概念 y x o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为 它是关于变量 x 、 y 的一次解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束的解 （ x ， y ）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题，统称为线性规划问题。 一组关于变量 x 、 y 的一次不等式，称为线性约束条 件。 由所有可行解组成的 集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解。 可行域 可行解 最优解
例 1 、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供 0.075kg 的碳水化合物， 0.06kg 的蛋白质， 0.06kg 的 脂肪， 1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物， 0.07kg 蛋白 质， 0.14kg 脂肪，花费 28 元；而 1 食物 B 含有 0.105kg 碳 水化合物， 0.14kg 蛋白质， 0.07kg 脂肪，花费 21 元。为 了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最 低，需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg ？ 食物／ kg 碳水化合物／ kg 蛋白质 /kg 脂肪／ kg A B 分析：将已知数据列成表格 三、例题
解：设每天食用 xkg 食物 A ， ykg 食物 B ，总成本为 z ， 那么 目标函数为： z ＝ 28x ＋ 21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数 z ＝ 28x ＋ 21y 变形为 x y o 5/7 6/7 3/7 6/7 它表示斜率为 随 z 变化的一组平行直 线系 是直线在 y 轴上 的截距，当截距最 小时， z 的值最小。 M 如图可见，当直线 z ＝ 28x ＋ 21y 经过可行域 上的点 M 时，截距最小， 即 z 最小。
M 点是两条直线的交点，解方程组 得 M 点的坐标为： 所以 z min ＝ 28x ＋ 21y ＝ 16 由此可知，每天食用食物 A143g ，食物 B 约 571g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为 16 元。
四、练习题： 1 、 求 z ＝ 2x ＋ y 的最大值，使 x 、 y 满足约束条件： 2 、 求 z ＝ 3x ＋ 5y 的最大值，使 x 、 y 满足约束条件：
解：作出平面区域 x y A B C x y o o A B C 作出直线 y= － 2x ＋ z 的图 像，可知 z 要求最大值，即 直线经过 C 点时。 求得 C 点坐标为（ 2 ，－ 1 ）， 则 Z max =2x ＋ y ＝ 3 作出直线 3x ＋ 5y ＝ z 的图 像，可知直线经过 A 点时， Z 取最大值；直线经过 B 点 时， Z 取最小值。 求得 A （ 1.5 ， 2.5 ）， B （－ 2 ，－ 1 ），则 Zmax=17 ， Z min = － 11 。
五、作业： 习题 3.3 A 组 3 、 4