第四章 多元函数微分学 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 一元函数、极限与连续 一元函数的导数 一元函数的极值 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同

4.1 多元函数、极限与连续 4.1.1空间解析几何简介 一、空间直角坐标系

一、 空间直角坐标系 z y 八个卦限 x

一、 空间直角坐标系 z y 八个卦限 . x

一、 空间直角坐标系 Ⅲ Ⅱ z y 八个卦限 z Ⅳ Ⅰ M  (x,y,z) 点的坐标 (x,y,z) M y x x N Ⅵ Ⅷ Ⅴ

一、 空间直角坐标系 z y (x,y,z)  M 坐标和点 z (x,y,z) M y x x N

一、空间直角坐标系 M点到原点的距离 M点到坐标面的距离 z M点到坐标轴的距离 d1 (x,y,z) d3 d2 y x 到z轴: z y M点到坐标轴的距离 到z轴: 到x轴: d1 (x,y,z) 到y轴: M d3 d2 Q x P N . . .

二、空间两点间的距离 z y .P2 .P1 x

设P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)为空间任意两点，则 其距离为 (4-1) 例1 求证以P1(-1,4,8)和P2(-2,7,3) P3(2,3,13)三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 证明：因为 所以，此三角形是等腰三角形

三、空间曲面与曲线 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)=0 (4-2) 有下述关系： (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程(4-2)； (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(4-2)。 则方程(4-2)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(4-2)的图形。

1. 平面方程 一般式方程： Ax+By+Cz+D=0， 点法式方程： 截距式方程：

2.二次曲面方程 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程F(x,y,z)=0所表示的曲面的形状，我们通常采用平行截口法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即平行截口法）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用平行截口法考察下面的二次曲面。

1. 椭圆抛物面 x z y 平行截口法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面

1. 椭圆抛物面 x z y 平行截口法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 .

2. 双曲抛物面 （马鞍面） x z y 平行截口法 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面

2. 双曲抛物面 （马鞍面） x z y 平行截口法 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 .

2. 双曲抛物面 （马鞍面） x z y 平行截口法 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 .

3. 椭圆柱面 z x y o b a

4. 双曲柱面 z x y = 0 o y

5. 抛物柱面 z x y o 柱面都是直纹面，而且都是可展曲面

四、空间曲线一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线。设F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0 是两个曲面的方程，它们的交线为C。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组 这个方程组叫做空间曲线C的一般方程。

例2 方程组 与 的交线？ 解：交线都是xOy平面上的圆周： 由此可看出：表示空间曲线的方程组不是唯一的。

4.1.2 多元函数概念 一、多元函数的概念 二、邻域 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、多元函数概念 引例:  圆柱体的体积 [定义1] 设有三个变量x, y, z,如果变量x, y在允许的区域内任意取定一对值时，变量 z 按着一定的规律总 有唯一确定的值与之对应，则变量z 称为x, y的二元函数，记作 z=f (x, y) 其中x, y 称为自变量，z 称为因变量。

二、邻域 圆邻域：以一点P0(x0,y0)为圆心，长度为半径δ的圆形区域（不包括圆周），记作： 它的平面区域是 球邻域：

例3 求下列函数定义域： (1) (2) 例4 求下列函数定义域： (1) (2)

4.1.3 二元函数的极限与连续性 定义2   设二元函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义（在P0处可以无定义），如果P(x,y)沿任何路径无限趋于定点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数A,则称A是函数当 P(x,y)→P(x0,y0)时的极限 记作 或 其中这里ρ=|PP0|=

对于该定义，应注意以下两点： 1.即使当点P(x,y)沿着许多特殊的方式趋近于P0时， 对应的函数值都趋近于同一个常数，也不能判定 的存在。 2.当P沿着两条不同的曲线趋近于P0时，函数f(x,y) 趋近于不同的值，可以断定极限 不存在

例5. 讨论函数 在点 (0, 0) 的极限. 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有 k 值不同极限值不同 ! 在 (0,0) 点极限值不存在 .

例7 求 1/2 解： =

[定义3] 二元函数的连续 设函数z=f (x , y)满足条件： 1. 在点P0(x0,y0)及其邻域内有定义； 2. 存在 3.

解： （1） Z1间断点是xOy平面上的孤立点（0，0） （2）函数Z2的间断点是圆

4.2 偏导数与全微分 4.2.1 定义  设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),称其为函数在点(x0,y0)处对x的偏增量。

定义1. 设函数 在点 的某邻域内 极限 存在, 则称此极限为函数 的偏导数，记为 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为 (请自己写出) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例9 . 求 在点(1 , 1) 处的偏导数. 解法1: 解法2: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例10 求 解: 例11. 求 的偏导数. 解: =0

二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 是曲线 在点M0 处的切线 对 y 轴的 斜率. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意： 函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续. 例如, 显然 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 上节例 目录 上页 下页 返回 结束

4.2.2 全微分 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 应用 4.2.1 定义  设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而给x以增量Δx时，而给x以增量Δx时相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),称其为函数在点(x0,y0)处对x的偏增量。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由微分定义 : 得 即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 偏导数存在 (2) 偏导数连续 函数可微 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1 (充分条件) 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 例12. 计算函数 的全微分. 解: 例13. 计算函数 的全微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例14. 求函数 的二阶偏导数 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2. 则 (证明略) 例15. 证明函数 方程 证： 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回. 证明 目录 上页 下页 返回 结束

满足拉普拉斯 例16. 证明函数 方程 证： 利用对称性 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在此点连续 函数在一点偏导数存在 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 先代后求 求一点处偏导数的方法 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 P143 题4 (1) (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.3多元复合函数的求导法则 一元复合函数 求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.3.1、多元复合函数求导法则 定理3. 若函数 偏导数， 处有连续偏导数, 则复合函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量是一元函数的情形.例如, 2) 中间变量多于两个的情形. 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 与 不同, 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例17. 设 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 例18. 设 求全导数 解: 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例19. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 P144 题10(2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.4多元函数的极值 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 多元函数的极值 定义: 若函数 的某邻域内有 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理5(必要条件) 函数 存在 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有 证: 取得极值 , 故 取得极值 取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 但驻点不一定是极值点. 例如, 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理6 (充分条件) 若函数 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 A<0 时取极大值; 则: 1) 当 时, 具有极值 2) 当 时, 没有极值. 3) 当 时, 不能确定 , 需另行讨论. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数 z = f(x,y)的极值的求法叙述如下： 第一步 解方程组 fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0， 求得一切实数解，即可求得一切驻点。 第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的 值A、B和C。 第三步 定出B2-AC的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。

例22. 求函数 的极值. 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数 在点(1,0) 处 为极小值; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在点(1,2) 处 不是极值; 在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在点(0,0) 例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 为极小值. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、最值应用问题 依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值 (大) 为最小 值 (大) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例23 要建造一容积为18立方米的长方形水箱，已知侧面积与底面积的单位造价之比为3：4，问水箱的尺寸如何才能使费用最省。 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 假设侧面积与底面积的单位造价为3k和4k，则水箱的造价为 令 得驻点 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可断定 此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为3, 高为2时,水箱 所用材料最省.

三、条件极值 无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题 条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 , 转化 求一元函数 的无条件极值问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法2 拉格朗日乘数法. 例如, 如方法 1 所述 , 设 可确定隐函数 则问题等价于一元函数 的极值问题, 故 极值点必满足 故有 记 方法2 拉格朗日乘数法. 例如, 如方法 1 所述 , 设 可确定隐函数 则问题等价于一元函数 的极值问题, 故 极值点必满足 故有 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束

辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足: 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 推广 例如, 求函数 在条件 下的极值. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 即解方程组 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 如求二元函数 在条件 下的极值, 设拉格朗日函数 解方程组 求驻点 . 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 求平面上以 为边的面积 最大的四边形 ,试列出其目标函数和约 束条件 ? 解：目标函数 : 约束条件 : 答案: 即四边形内接于圆时面积最大 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束