高中数学新课程 理念、结构、变化、挑战 首都师范大学 王尚志

在数学与数学教育中，什么是最重要的？ 概念、定理、习题、应用、问题？ The problem is the key P.Harmous

问 题 高中数学课程如何体现选择性？ 国家课程？ 校本课程？ 学生自主学习课程计划？ 问 题 创造条件开设丰富多彩的选修课，提高课程的选择性，促进学生全面而有个性的发展。 —— 《国家中长期教育改革与发展规划纲要》 高中数学课程如何体现选择性？ 国家课程？ 校本课程？ 学生自主学习课程计划？

问 题 推动普通高中多样化发展。促进办学体制多样化，扩大优质资源。推进培养模式多样化，满足不同潜质学生的发展需要。探索发现和培养创新人才的途径。鼓励普通高中办出特色。鼓励有条件的普通高中根据需要适当增加职业教育的教学内容。探索综合高中发展模式。采取多种方式，为在校生和未升学毕业生提供职业教育。 —— 《国家中长期教育改革与发展规划纲要》 高中学校特色可否体现在数学教育？

问 题 如何成为学生尊敬、喜欢教师？ 如何激发学生学习数学的热情？ “快”是数学教育的主要价值追求？ 问 题 不增加学习时间和强度，有什么办法提高学习、教学效率？ 如何成为学生尊敬、喜欢教师？ 如何激发学生学习数学的热情？ “快”是数学教育的主要价值追求？

问 题 学会？会学？ 如何从“学会”到“会学”？ 问 题 高中阶段教育是学生个性形成、自主发展的关键时期，对提高国民素质和培养创新人才具有特殊意义。注重培养学生自主学习、自强自立和适应社会的能力，克服“应试教育”倾向。 《国家中长期教育改革与发展规划纲要》 学生个性形成、自主发展的关键时期——学生自主学习如何体现在数学学习？ 学会？会学？ 如何从“学会”到“会学”？

问 题 高中教师不仅负责教授高中数学，还应该对学生小学、初中数学负责，您同意吗？ 初高中过渡是个永恒课题吗？ 问 题 高中教师不仅负责教授高中数学，还应该对学生小学、初中数学负责，您同意吗？ 初高中过渡是个永恒课题吗？ 在初高中过渡，需要关注那些问题？ 如何帮助学生顺利进入高中学习？

关键词 学生主体 整体把握——主线分析 数学本质 四基： 基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验

目 录 背景与动力 基本理念 内容结构 变化趋势 问题与挑战

背 景 认识数学课程内容的三个基点： 社会、科学技术的发展 认识数学新课程变化三个基本视角： 学生进入社会的实际需求 数学沿革、发展 背 景 认识数学课程内容的三个基点： 社会、科学技术的发展 学生进入社会的实际需求 数学沿革、发展 认识数学新课程变化三个基本视角： 数学视角——学科基础 教育视角——发展方向 学生视角——全面发展

国家在行动 ……………………… 修改高中课程方案、标准 国家中长期教育改革与发展规划纲要公布 成立了“国家课程教材咨询委员会”和“国家课程教材专家工作委员会” 修定义务教育课程标准 制订教师专业标准 入职教师进行国家级考试 评选教育国家奖 ……………………… 修改高中课程方案、标准

背 景 ——高中 《国家中长期教育改革与发展规划纲要》 第五章 高中阶段教育 背 景 ——高中 《国家中长期教育改革与发展规划纲要》 第五章 高中阶段教育 （十一）加快普及高中阶段教育。高中阶段教育是学生个性形成、自主发展的关键时期，对提高国民素质和培养创新人才具有特殊意义。注重培养学生自主学习、自强自立和适应社会的能力，克服“应试教育”倾向。到2020年，普及高中阶段教育，全面满足初中毕业生接受高中阶段教育需求。 根据经济社会发展需要，合理确定普通高中和中等职业学校招生比例，今后一个时期总体保持普通高中和中等职业学校招生规模大体相当。加大中西部贫困地区高中阶段教育的扶持力度。逐步消除大班额。

背 景 ——高中 （十二）全面提高普通高中学生综合素质。深入推进课程改革，全面落实课程方案，保证学生全面完成国家规定的文理等各门课程的学习。创造条件开设丰富多彩的选修课，提高课程的选择性，促进学生全面而有个性的发展。积极开展研究性学习、社区服务和社会实践。建立科学的教育质量评价体系，全面实施高中学业水平考试和综合素质评价。建立学生发展指导制度，加强对学生的理想、心理、学业等多方面的指导。

背 景 ——高中 （十三）推动普通高中多样化发展。促进办学体制多样化，扩大优质资源。推进培养模式多样化，满足不同潜质学生的发展需要。探索发现和培养创新人才的途径。鼓励普通高中办出特色。鼓励有条件的普通高中根据需要适当增加职业教育的教学内容。探索综合高中发展模式。采取多种方式，为在校生和未升学毕业生提供职业教育。

背 景 最大的动力—— 来自我们每一个人 心中的教育理想！

背 景 教育信条 过程好了结果不会差 参与者主动了结果会更好

背景—数学与数学教育的认识 数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。——恩格斯 数学是研究数量关系和空间形式的科学 ——前苏联“数学的内容、方法、意义” 数学是研究模式与秩序的科学。 ——“2061”计划 提出把数学科学与自然科学的并列。

背景—数学与数学教育 数学是科学， 数学是理论， 数学是语言， 数学是工具， 数学是技术， 数学是文化， 数学是伙伴， ……

背景—数学与数学教育 数学的基本特征 抽象性 、严格性 、应用广泛性 数学基本思想 抽象、推理、模型 ——数学内容、意义与方法 ——义务教育数学课程标准 抽象、推理、模型

背景—数学与数学教育 在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学还是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用。 ——M.克莱因

背景—数学与数学教育 数学与其它科学之间的新伙伴关系 —— Phillip A. Griffiths在数学译林 2004年第四期 数学有一种两重性，除了其智力和美学标准，数学在现实世界是及其有用的。数学是以精确性和内在美为评价标准的一门独立学科，并且对于“现实”世界应用的工具而言，它是一个丰富的源泉。这种双重性的两个部分是密切相关的。 数学与其它学科以及商业、金融、安全、管理、决策和复杂系统的建模之间有了更多的相互作用。数学与其它学科正在变得更相互关联和相互依赖。这些相互作用导致科学中的深刻理解以及数学中的基本进步。

背景—数学与数学教育 把数学理解为“模式的科学 ” —— Lynn Arthur Steen数学译林 1993年第二期 计算和应用的迅速发展促进了数学学科的相互繁荣，产生了大量前所未有的新方法、新理论和模型。统计科学、核心数学和应用数学中的例子充分说明了这些变化，这些变化不仅拓宽而且丰富了数学和科学之间的联系。数学科学不再仅仅是数和空间的研究，它成为一门模式的科学，其理论建筑在模式之间的关系以及模式和实际观察之间相吻合而产生的应用之上。

背景—数学与数学教育 数学教育在国家发展中的作用 几个世纪以来，国家的崇高地位、安全、康宁和发展总是与国民能力紧密联系在一起，这种能力又会受到面向各种复杂事物观念的影响。引导社会发展需要数学能力，数学能力会给国家带来发展优势，在医学和健康，技术和商业，航行和太空探索，防御和金融，等等方面，另外，在分析过去失败经验和预测未来发展的能力等方面带来优势。历史上这样的例子比比皆是。 ——成功的基础（美国总统数学顾问委员会报告）

背景—数学与数学教育 数学教育在个人发展中作用 在数学教育方面的成功对于公民个人也是十分重要的，因为数学教育有助于他们进大学深造、增加就业选择，还有助于在未来的职业中获得较好的待遇。 总之，学好数学有助于学生获得更广阔的发展空间。国家科学委员会预示，与数学有密切联系的科学和工程方面劳动力需求增长速度和总的职业需求增长速度相比，比值为3：1 。 ——成功的基础（美国总统数学顾问委员会报告）

背景—数学与数学教育 两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。数学研究已经出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。不过，这种状况不能证明紧缩数学教育政策是合理的。相反，那些醒悟到培养思维重要性的人，必然会采取完全不同的做法，即更加重视和加强数学教学。教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听其自然，其目的是要真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。 ——R.柯朗（1941年，什么是数学的序言）

背景—数学与数学教育 由于学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。 这些权威性的诊断和流行的看法，竟被认为是正确的！数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。 ——M.克莱因

高中数学课程的基本理念 时代性 选择性 基础性 学生的主体性 评价的多元性

高中数学课程的基本理念 高中数学课标提出理念主要是针对高中数学教育中问题展开。除了第一条“构建共同基础，提供发展平台”之外，都是有针对性的。 2．提供多样课程，适应个性选择， 3．倡导积极主动、勇于探索的学习方式， 4．注重提高学生的数学思维能力 5．发展学生的数学应用意识， 6．与时俱进地认识“双基”， 7．强调本质，注意适度形式化， 8．体现数学的文化价值 9．注重信息技术与数学课程的整合， 10．建立合理、科学的评价体系。

时代性： 科学技术发展 社会发展 教育发展 数学发展（计算机、应用、文化）

选择性： 人生具有越来越大选择空间 爱好的选择——需要一个开阔的视野 　 知识的选择 　 职业的选择 ……

选择性：大学不同专业的数学课程 选择性：不同专业方向需要不同的数学 1、文科数学课程 不同的选择：经济，文学，语言学，等 2、工科数学课程 不同的选择：无线电，建筑，材料，等 3、理科数学课程 不同的选择：物理，化学，生物，等 4、数学方向的数学课程 不同的选择：数学专业，应用数学，计算数学，统计概率，等

选择性：选择性是这次高中课程改革的核心 必修课程：所有学生需要学习的课程， 部分专业发展的考试课程。 选修一：文科专业学习和考试的课程 选修二：理工科专业学习和考试的课程 选修四：选择性学习和考试的课程 选修三：拓展和兴趣课程

选择性：选择性从高中开始是趋势 选择性与公平 公平是相对的 选择是要付出代价 自我定向以选择为基础 知识重要，视野、见识更重要

基础性：与时俱进 课程目标进一步明确： 从“双基”——“四基” 从 “提出、分析、解决问题” ——“发现、提出与分析、解决问题” 进一步思考： 数学的基本能力 空间想象力、推理能力、计算能力、抽象归纳能力、数据处理能力 　 整体理解 　 把握本质

基础性：与时俱进 数学的基本能力——课程标准表述 空间想象力、推理能力、计算能力、抽象归纳能力、数据处理能力 改进为： 抽象能力 　 改进为： 抽象能力 ——从特殊到一般，从具体到模型 推理能力 ——演绎（逻辑）推理： 计算能力、证明能力（特别构造性证明）、公理体系化 ——归纳（合情）推理：抽象归纳、数据处理 数学建模能力 在情境（实际或数学）发现问题，提出问题能力，转化为数学问题，建立数学模型，求解数学模型，讨论数学解的意义，修改模型。

基础性：与时俱进 整体理解 ——课程内容基本结构 ——确定主线 、主线联系 ——义务教育数学课程与高中课程联系 ——高中数学课程与大学数学课程联系 　 把握本质 ——突出重点 ——明确定位

学生的主体性： 继续强调 学习数学的兴趣 学好数学信心 学习良好的数学习惯 特别强调 自主学习——学会学习数学 　合作交流的能力 　终身学习能力

会学数学：学生自主学习： 阅读与理解 发现、提出问题 ——问题是数学心脏、是思考、创造基础 梳理、总结 ——整体把握、抓住本质 交流、表达

评价的多元性： 例如 过程评价——学业质量监测 ——日常教学综合测评 优秀学生评价——招生改革 ——高中与大学学分互认 ——日常教学综合测评　 　 优秀学生评价——招生改革 ——高中与大学学分互认 特殊专业、专科——特殊招生考试政策

评价的多元性： 例如 高考改革 ——突出基础内容、通性通法 ——数学及格 ——减少题量 ——压缩四选一题量

结 构—— 课程 现行课程结构： 必修课程 必修一、必修二、必修三、必修四、必修五 选修系列一：两个模块 选修系列二：三个模块 结 构—— 课程 现行课程结构： 必修课程 必修一、必修二、必修三、必修四、必修五 选修系列一：两个模块 选修系列二：三个模块 选修系列三：六个专题 选修系列一：十个专题

结 构 必修 数学1：集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）； 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步； 结 构 必修 数学1：集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）； 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步； 数学3：算法初步、统计、概率； 数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换； 数学5：解三角形、数列、不等式。

结 构 ◆系列1：由两个模块组成。 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用； 结 构 ◆系列1：由两个模块组成。 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用； 选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。 ◆系列2：由三个模块组成。 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何； 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入； 选修2-3：计数原理、统计案例、概率。

结 构 ◆系列3：由六个专题组成。 选修3-1：数学史选讲； 选修3-2：信息安全与密码； 选修3-3：球面上的几何； 结 构 ◆系列3：由六个专题组成。 选修3-1：数学史选讲； 选修3-2：信息安全与密码； 选修3-3：球面上的几何； 选修3-4：对称与群； 选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类； 选修3-6：三等分角与数域扩充。

结 构 ◆系列4：由十个专题组成。 选修4-1：几何证明选讲； 选修4-2：矩阵与变换； 选修4-3：数列与差分； 结 构 ◆系列4：由十个专题组成。 选修4-1：几何证明选讲； 选修4-2：矩阵与变换； 选修4-3：数列与差分； 选修4-4：坐标系与参数方程； 选修4-5：不等式选讲； 选修4-6：初等数论初步； 选修4-7：优选法与试验设计初步； 选修4-8：统筹法与图论初步； 选修4-9：风险与决策； 选修4-10：开关电路与布尔代数。

坚持选择性—— 课程变化趋势 改进：课程方案基本结构不变 国家课程确定内容、课时、评价要求 必修课程 ——特殊专业 必修课程 ——特殊专业 限定选修系列一 ——人文社会科学方向 限定选修系列二 ——自然科学（数学要求较高人文）方向 任意选修系列 ——兴趣、拓展（有选择进入高考） 国家课程确定内容、课时、评价要求 ——教材编写者确定内容顺序、组合 ——地方教育部门可作出局部调整

突出结构主线 —— 课程变化趋势 与义务教育数学内容接轨 数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践 ——数、字母与运算 ——量、关系与模型 图形与几何 ——图形分类与基本图形 ——图形基本关系 ——研究图形基本方法 ——图形应用 统计与概率 ——统计 ——概率 综合与实践

突出结构主线 ：参考大学数学系课程分类 分析类数学课程： 研究函数以及与函数有关的问题的课程 数学分析， 复变函数， 实变函数， 常微分方程， 偏微分方程， 数值计算， 泛函分析， 与这些课程有联系的拓展类课程：三角级数，调和分析，函数逼近论等等。

突出结构主线 ：参考大学数学系课程分类 代数类数学课程：运算以及与运算有关的课程 高等代数（线性代数、多项式理论）， 抽象代数， 群伦， 有限群及其应用， 环论， 域论， 与这些课程有联系的拓展类课程：交换代数，非交换代数，半论，等等。

突出结构主线 ：参考大学数学系课程分类 几何类数学课程：研究图形以及与图形有关课程 解析几何， 射影几何（高等几何）， 微分几何， 点集拓扑， 代数拓扑， 微分拓扑， 微分流形， 许多相关课程：代数几何，旋论，形论，等

突出结构主线 ：参考大学数学系课程分类 统计、概率类数学课程： 统计， 概率， 许多相关课程：随机微分方程，等等

突出结构主线 ：参考大学数学系课程分类 应用类数学课程 运筹学——线性规划、整数规划、非线性规划 优化课程 离散数学课程——图论、离散数学 学科应用课程——生物数学、 经济、金融类数学类课程 计算类课程 理论物理类数学课程 图像识别类数学课程 等等

突出结构主线 ：参考大学非数学系课程分类 非数学系主要数学课程内容分类 微积分及微分方程 ——函数 线性代数 ——代数 微积分及微分方程 ——函数 线性代数 ——代数 统计概率 ——统计概率 数学建模、数学实验 ——数学应用 —离散数学、生物数学、经济数学、金融数学等

突出结构主线——基本结构 集合、算法、常用逻辑用语、推理与证明 内容主线 函数主线 应用主线 辅助内容 应用贯穿始终——数学建模与数学探究 运算主线 几何主线 统计、概率主线 应用主线 应用贯穿始终——数学建模与数学探究 文化渗透

结构突出主线 ——内容、趋势说明 内容主线 ——函数主线 函数概念 ——函数概念整体认识 ——具体函数与抽象函数 函数基本性质 ——单调性 ——周期性 ——对称性：奇、偶

结构突出主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——函数主线 基本的函数模型 ——简单幂函数 ： ——指数函数与对数函数 ——三角函数 ——基本数列：等差、等比数列 ——简单分段函数

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——函数主线 函数进一步研究 ——变化再认识：平均变化－导数概念 ——基本函数求导 ——导函数的基本运算 ——用导数研究函数变化 ——导数实际应用 ——积分初步认识 ——微积分基本定理及初步应用

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——函数主线 函数应用 ——方程近似求解：二分法 ——求解不等式：一元二次不等式 ——简单线性规划 ——算法中函数思想 ——简单函数最值

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——运算主线 运算对象－运算法则 ——指数、对数运算 ——三角运算（三角恒等变形） ——向量代数 ——矩阵与变换 ——复数 ——函数及导数运算

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——运算主线 运算应用 ——向量应用－向量几何 讨论位置关系：平行、垂直 讨论度量关系：距离、角度（三角恒等变形） ——向量应用－ 解三角形 ——向量的物理应用 ——矩阵与几何变换

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——运算主线 运算通性通法 ——运算程序化（算法） ——待定系数 ——换元 ——配方 ——消元

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——几何主线 图形的整体认识与基本图形 ——空间中图形：球、柱、锥、台 ——空间中图形：点、直线、平面 ——长方体与空间直角坐标系 ——平面中图形：点、直线、圆 ——平面中图形：椭圆、抛物线、双曲线 ——平面中图形：基本的函数图像

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——几何主线 依托图形建立空间想象与几何直观 （学会用图形描述问题、寻求解决问题思路、表示与理解结果） ——投影与三视图 ——直观图 ——点、直线、平面的位置关系 ——平面基本变换与矩阵 ——单位圆与三角函数

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——几何主线 图形研究的基本问题 ——位置关系：平行、垂直、相交 ——度量关系：距离、角度、（面积、体积） ——基本变换与性质

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——几何主线 研究图形的基本方法 ——综合几何 图形的基本概念 ——运用变换认识图形 公理与基本事实 证明 ——运用变换认识图形

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——几何主线 研究图形的基本方法 ——解析几何 基本研究对象：直线、圆 椭圆、抛物线、双曲线 选择坐标系 几何特征代数化 建立标准方程 运用方程讨论图形性质 ——向量几何：用向量讨论几何问题 基本研究对象：空间、平面基本直线型 用向量描述几何特征 把几何问题用向量表述 通过计算解决问题

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——几何主线 研究图形的基本方法 ——运用变换认识图形 ——用函数方法研究图形性质

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——统计、概率主线 统计 ——数据处理全过程 收集数据、整理数据、提取信息、解决问题 ——基本统计模型 数据拟合 相关分析 独立检验 假设检验、聚类分析

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——统计、概率主线 概率 ——随机现象认识 概率统计描述 ——基本概率模型 古典概型 离散随机变量与分布 ——基本概率模型 古典概型 几何概型——模拟 二项分布 超几何分布 正态分布初步认识

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 内容主线 ——应用主线 数学应用主要载体 ——函数 ——代数 ——几何 ——统计、概率 应用层次 ——内容背景（基本函数的背景） ——内容直接应用（应用题，例如，利率计算） ——简单数学建模过程（数学建模与数学探究） 在情境中（实际、数学）发现问题，提出问题，转化为数学问题，建立数学模型，求解数学模型，讨论数学解的实际意义，修改模型。

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 强化主线说明 1、函数主线 20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”一个世纪发生很大变化： （1）体现函数将贯穿“小学、初中、高中、大学”； （2）高中学习函数两个基本阶段：代数方法、微积分方法研究函数； （3）在“指数函数、对数函数、三角函数”定位越来越突出函数； （4）用函数讨论方程、不等式求解； （5）系统体现函数应用

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 强化主线说明 2、运算主线 最大变化向量进入高中，重新认识向量进入高中作用，高中课程内容结构性变化。（下面介绍）

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 强化主线说明 3、几何主线 重视几何直观 由于向量进入，带来改变； 强化变换

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 强化主线说明 4、统计、概率主线 文科数学——统计（从描述性统计到推断统计学即数理统计） 概率统计——统计概率； 大学课程－古典概型消弱——重视随机现象认识特别是随机变量； 高中，统计——数据处理全过程； 高中，把计数学习放在概率后面；（高考概率体改革） 强化模型思想——统计、概率

突出结构主线 ——基本内容及趋势说明 强化主线说明 5、应用主线 知识形成来龙去脉 应用贯穿始终——层次清晰 经历完整的数学建模和数学探究过程

课程变化趋势 ——明确辅助内容定位 大学数学教育中一次有意义讨论： 数学分析、实变函数、泛函分析、拓扑学、近世代数等等学科教材开始总要介绍一些集合的知识，有人提出是否可以开设一门“集合论初步”的课程？使之成为基础课程？也有人建议开设“数理逻辑初步”（包括集合论初步）？ 布尔巴基学派也提出过这样的建议。 至今，还没有采取这种方式的课程体系。 集合、数理逻辑一些的常识是需要了解的，但是，并不需要系统学习数理逻辑、集合论，即使专门研究数学某些分支的数学家。

课程变化趋势 ——辅助内容定位 高中阶段中，需要学生了解一些“集合、常用逻辑用语、算法与框图、推理与证明”的内容，它们是“服务性”内容，称之为“辅助内容”。 “集合”定位：学会分类，用符号语言清晰描述一类事物，主要是数学事物，了解几类事物（几个集合）基本关系——并、交、余（补），等。 “常用逻辑用语”定位：理解、学习使用在数学中经常使用的“逻辑用语”：充分条件、必要条件、充要条件；全称量词、存在量词；了解数学命题的表述。

课程变化趋势 ——辅助内容定位 “推理与证明”定位， “推理”是数学基本思想，包括演绎推理和归纳（合情）推理，学生需要了解这些推理基本思维方式，例如，演绎推理有“直接推理”和“间接推理”，“直接推理”常用“综合推理方式”或“分析推理方式”等，也有一些针对特定数学问题的“直接推理方式”，例如，数学归纳法，等；“间接推理”常用“反证法推理方式”。“归纳推理”常用思维方式有“归纳”、“类比”、“猜想”，等。

课程变化趋势 ——辅助内容定位 “算法与框图”定位， 数学家冯.诺依曼、图灵发明了计算机，计算机迅猛发展极大推动了数学发展，不仅拓展了数学研究对象，也开拓了研究方法，作为计算机核心“算法”也成为了数学教育新内容。解决问题的“框图”是算法思想（程序化）的集中体现，学习算法主要任务：学习用“框图”把解决数学问题的思路准确、清晰、直观地标准出来。学习算法应体会“构造证明方法”，它是演绎推理主要方式，也是“计算机时代”解决问题基本方法。

课程变化趋势 ——结构变化 结构变化 “向量”作为高中数学的核心内容，改变了数学课程结构，特别是代数（运算）和几何内容结构。 （1）向量代数作用——向量代数：建立与线性代数联系 加强趋势：矩阵与向量 （2）向量几何作用——向量几何 加强趋势：矩阵与变换 （3）向量物理作用 （4）向量桥梁作用——联系代数、几何、物理天然桥梁 （5）向量的应用： （6）向量模型作用

课程变化趋势 ——结构变化 结构变化 立体几何分为两部分，“立体几何初步”内容突出了对几何体的图形和性质的认识，强调空间想象能力，减少对用“综合几何推理要求”。在选修中，强化用“向量几何推理的要求”，便于与“线性代数”衔接。

课程变化趋势 ——顺序变化 顺序变化 重视随机思想 重视统计 “统计”内容强调两件事，让学生掌握统计的全过程，不是从定义出发抽象的展开，另一点是强调采用实际案例的方式学习统计。 重视随机思想 把“古典概型”内容安排在 “计数原理“之前学习，目的强调概率课程最重要一点是认识随机现象，不是如何计算排列组合。

课程变化趋势 ——要求变化 强化函数核心内容、淡化形式 函数是成人数学标志，也是大学数学和数学研究主要领域，从不变（常量数学）到变化（变量数学），从只关注“一类事物内部性质”到关注“两类事物的关系”，这是一个很大飞跃，在初中函数是放在代数内容中，所以在高中数学特别需要重视函数，这是为什么把必修一作为首先学习模块的主要原因。 函数及相关的概念比较抽象，所以，特别强调从特殊到一般、从具体到抽象的方式。为了减少学生学习困难，适度减少“复合函数”和“反函数”要求。以“反函数”为例，理由如下，在高中学习的函数主要是好函数——连续、具有任意阶导数的函数，对这一类函数，存在反函数的充要条件是严格单调函数，单调性是函数在高中阶段最基本性质，突出单调性、掌握单调性是高中学习重点，需要进一步学习，从严格单调很容易了解一一对应。这样，仅要求通过指数函数与对数函数的关系，了解反函数的概念，不给出一般“反函数”的定义。

课程变化趋势 ——要求变化 强化函数核心内容、淡化形式 “三角函数”内容突出单位圆的作用，引进一般三角函数概念。 提倡对直线的“斜率”采用多种不同处理方法，可以利用直线倾斜角的正切来定义“斜率”；也可以用“坡度”引入“斜率”，即让x 向正方向增加一个单位1，y的改变量△y = k 就是直线的斜率，倾向后者，为建立“导数”概念奠定基础。 “导数”、“数列极限”、“函数极限”、“连续”、“定积分”等都是特殊极限，我们选择从导数学习，因为它是最重要的极限，倡导从大量实例出发，从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率，强调研究变化的重要，强调“导数”在数学上以及在实际中的广泛应用。

课程变化趋势 ——要求变化 强化函数核心内容、淡化形式 函数是成人数学标志，也是大学数学和数学研究主要领域，从不变（常量数学）到变化（变量数学），从只关注“一类事物内部性质”到关注“两类事物的关系”，这是一个很大飞跃，在初中函数是放在代数内容中，所以在高中数学特别需要重视函数，这是为什么把必修一作为首先学习模块的主要原因。 函数及相关的概念比较抽象，所以，特别强调从特殊到一般、从具体到抽象的方式。为了减少学生学习困难，适度减少“复合函数”和“反函数”要求。以“反函数”为例，理由如下，在高中学习的函数主要是好函数——连续、具有任意阶导数的函数，对这一类函数，存在反函数的充要条件是严格单调函数，单调性是函数在高中阶段最基本性质，突出单调性、掌握单调性是高中学习重点，需要进一步学习，从严格单调很容易了解一一对应。这样，仅要求通过指数函数与对数函数的关系，了解反函数的概念，不给出一般“反函数”的定义。 引入“二分法”求“方程”的近似解，体现了函数在研究方程解中的作用，开阔了学生对方程求解认识的视野，也使学生了解近似计算的意义。近似求解还应该加强。

课程变化趋势 ——要求变化 强化函数核心内容、淡化形式 强化渗透极限（逼近） 引入“二分法”求“方程”的近似解，体现了函数在研究方程解中的作用，开阔了学生对方程求解认识的视野，也使学生了解近似计算的意义。近似求解还应该加强。 在高中课程这些还会进一步加强，例如，在数列中，求通项，就是求未知函数，求前n项和，就是求积分，至少教师应该清楚。 也会在义务教育中加强，例如，有理数逼近无理数；求面积。

课程变化趋势 ——要求变化 这些要求上变化，意在主要体现了数学的现代发展、数学的应用和一些重要的数学思想方法，旨在扩展学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识，培养学生的应用意识。

问题与挑战（教育理念） 学生是主体？ 教师主导？ 过程是目标？ 合作学习有效吗？ 最佳教学模式？

问题与挑战（课程） 1、课程改革与高考改进应该同步进行 2、 为什么需要选择性课程？ 3、整体把握数学课程 如何认识“内容定位变化”？ 这个问题不仅是数学课程，也是使整个课程改革的问题。 2、 为什么需要选择性课程？ 3、整体把握数学课程 如何认识“内容定位变化”？ 每一次课程改革在内容都会有所变化，教师需要一个适应过程，在教师培训中，应该强调对课程的整体把握，从社会、科学技术发展、从数学发展、从教育发展等方面去认识这些变化。在“国培课程”设计中，已经做了大量工作。

问题与挑战（课程） 4、课时不够？ 5、什么数学内容可以“一步到位”？什么“螺旋上升”？ 6、“考什么，就教什么” 课时不够的原因是多方面的。对高考担心是主要，在高一增加了很多内容；对定位把握不准也是一个原因，等等，我们在参考文献中做了比较仔细分析，供参考。 5、什么数学内容可以“一步到位”？什么“螺旋上升”？ ——什么数学内容是重要的？ 数学有一些内容是可以一步到位，也有一些是不能一步到位，一般地说，重要的东西很难一步到位，例如，对函数概念的理解，对函数单调性的认识，这些不可能一步到位，讲清楚定义和理解定义是不同的，对一些重要数学概念、定理等的理解是需要过程的。 6、“考什么，就教什么” 教学中围绕考试的“题型教学”和高容量、高强度的课堂教学和练习没有得到改变。

问题与挑战（课程） 7、“初高中过渡” 初高中过渡是个永恒课题，如果仅仅理解为知识的对接，就显得比较狭隘，心理的变化、学习习惯养成等都是初高中过渡中面临挑战，仅就知识来说，这次修订义务教育标准，弥补了一些不足，增加一些内容，例如，求解三元一次方程组等。但是，很多学校还会认为初中没有达到自己要求，有两种做法，一种是集中补课，另一种，循序渐进，我们支持后一种做法。 还有一些其它问题，例如，教材之间的差异影响教师的教学。主要体现在：教材与《标准》要求还存在着一定的差异，这一情况在不同教材中都有反映。有的内容的练习和习题超出了《标准》的要求，使得教师感到无所适从，于是索性加码加点，造成教师和学生的负担都加重；不同版本的实验教材之间也存在着内容多少、难度深浅等方面的差异，有的教师就按照最多的和最深的教材来教（简单地做了“并集”），加重了自己和学生的负担。

问题与挑战（数学） 结构变化：向量进入中学——改变结构（几何） 顺序：教授、学习数学是按唯一顺序展开吗？ 概念：重要数学概念的认识能一步到位吗？ 数学基本思想？数学素养和能力？ 通性通法：什么是通性通法？ 同一个数学对象有不同处理，如何选择？ 课时不够：要不要补一些内容？ 为什么强调归纳推理？ 数学（数学应用）人才培养是训练出来的吗？

老师提出的问题 问题1：如何把握教材的顺序？ 问题2：高考与课程标准之间的联系？ 问题3：如何把握单元、模块统考？ 如何对出题人（教研员）进行培训？ 问题4：关于教辅材料如何使用？ 问题5：校本课程如何开发？ 等等

老师提出的问题 问题6：学生的运算能力如何培养？ 问题7：统计、算法如何讲？ 问题8：古典概型是否补充排列组合？ 问题9：立体几何是否扩充？是否该回到大纲版？ 等等

谢 谢！