应用统计与随机过程 主讲：杜青松

第二章　随机过程的基本概念

本章学习的主要内容 ★随机过程的概念和定义 ★随机过程的统计特性分析 ★平稳随机过程 ★各态历经过程 ★随机过程的联合分布与互相关函数 ★随机过程的功率谱密度

2.1 随机过程的概念和定义 ★随机过程的概念 ★随机过程的定义 ★随机过程的分类

2.1.1 随机过程的概念 自然界事物的变化过程可以分为两大类： 每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定的函数，具有确定的变化规律。 确知过程 每次观测所得结果都不同，都是不同的时间t的函数，观测前不能预知观测结果，没有确定的变化规律。 随机过程

实际过程示例 正弦信号 调制信号 周期性脉冲信号 爆破信号 雷达接收机的噪声 鸟叫声

2.1.2 随机过程的定义 ★ 根据例题引出随机过程的定义 ★ 根据例题引出随机过程的定义 　　[例2.1]　设有一台信号发生器，其输出电压为　　　　　　 　。在理想情况下，我们认为每次开机时该信号发生器输出电压的振幅A、角频率ω0和初始相位φ是不变的（即这三个参数为固定的常数），则电压u(t)为一确定性信号。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 根据例题引出随机过程的定义（续） ★ 根据例题引出随机过程的定义（续） 　　但是由于工艺水平的限制、信号发生器内各元器件分布参数的变化、热噪声的影响以及环境的影响等等诸多因素，实际上这三个参数在每次开机时都是不同的，而且它们的值是在一定范围内随机变化的。 　　我们来分析一种最简单的情况：即只有初始相位φ是随机变化的，而振幅A、角频率ω0为固定值的情形（随机相位信号）。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 根据例题引出随机过程的定义（续） ★ 根据例题引出随机过程的定义（续） 　　一般初始相位φ是一个在（-π，π）区间内均匀分布的连续随机变量，记为Φ。则因为输出电压是Φ的函数，因此信号发生器的输出电压也成为一个随机变量，记为 　　　　　　　　　　　　　　　 (2.1.1)

2.1.2 随机过程的定义 ★ 根据例题引出随机过程的定义（续） 对于任一初始相位φk，有一对应的确定的电压xk(t)，即 。 ★ 根据例题引出随机过程的定义（续） 　　对于任一初始相位φk，有一对应的确定的电压xk(t)，即 。 　　由于初始相位Φ是连续的随机变量，有无限多个可能的值，即φ1，φ2，…φk，…，相应地，电压U(t)也将有无限多个可能的波形，即x1(t)，x2(t)，…xk(t)，…。这样一来，由(2.1.1)式表示的信号发生器的输出电压X(t)是由x1(t)，x2(t)，…xk(t)，…的总体（或集合）所组成的。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 根据例题引出随机过程的定义（续） ★ 根据例题引出随机过程的定义（续） 　　在每次试验之前，不能预知这次观测结果是该集合中的哪一个，而只能一般性表示为： 　　一旦观测结果出现，i值才能确定，这时xi(t)为确定的余弦信号。xi(t)的出现是有一定的统计规律的，通常把xi(t)叫做样本函数，简称为样本。 　　所谓随机过程就是由所有这些样本函数的集合或总体构成的。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 定义一 　　设随机试验E的样本空间S=(e)，如果对于每一基本事件e∈S，均能以某种规则确定一个时间t的函数，则由所有e确定的一族t的函数叫做随机过程，记作X(t)=X(e,t)。其中每一个t的函数称为样本函数，或简称样本。

随机过程X(t,e)在四种不同情况下的意义： 当t固定，e固定时， X(t) 是一个确定值； 当t固定，e可变时， X(t)是一个随机变量； 当t可变，e固定时， X(t)是一个确定的时间函数； 当t可变，e可变时， X(t)是一个随机过程；

2.1.2 随机过程的定义 ★ 从时域上对例题2.1进行分析 下面再从时域上进行对例题2.1进行分析。 ★ 从时域上对例题2.1进行分析 　　下面再从时域上进行对例题2.1进行分析。 　　当时间t等于t1时，各样本函数的值分别为x1(t1)，x2(t1)，…xk(t1)，…，由于初始相位Φ是一随机变量，因此每一个xk(t1)的值在试验之前不能预知，只能通过观测结果确定。由此可知，在时刻t1，信号发生器输出的电压值为一随机变量X(t1)。同理，在任意时刻tn，信号发生器输出的电压值也为随机变量X(tn)。随着t值的变化，随机变量也各不相同。由此可引申出随机过程的第二个定义。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 定义二 　　设有一个过程X(t)，如果对于每一个固定的时刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一个随机变量，则称X(t)为随机过程。 　　或者说：依赖于时间t的一族随机变量X(t)叫做随机过程。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 另外一个例题 [例2.2] 接收机噪声问题 ★ 另外一个例题 　　[例2.2]　接收机噪声问题 　　我们来测量某种接收机的输出电压。假定该接收机输入端没有信号，但由于接收机内部的元器件会发热产生热噪声，经过放大器放大后，在输出端会有电压输出，这就是噪声电压。图2.1是接收机噪声的几个样本函数。

图2.1 接收机噪声的样本函数示例

2.1.2 随机过程的定义 ★ 另外一个例题（续） 　　我们对该接收机进行n次测量并记录其噪声波形，可以得到n条噪声电压曲线x1(t)，x2(t)，…xn(t) …，它们各不相同，且不规则。我们将这些波形（实际上就是样本函数）x1(t)，x2(t)，…xn(t) …构成一个集合，实际上就是一个噪声随机过程X(t)。和[例2.1]的余弦过程一样，测量之前不能预知测出的将是哪一个样本函数，而只能由测量结果来确定。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 另外一个例题（续） 　　从时域上看，当时间t等于t1时刻时，测出的值有x1(t1)，x2(t1)，…xn(t1)，…，从而构成随机变量X(t1)。类似地，在任意时刻tn，测出的值有x1(tn)，x2(tn)，…xn(tn)，…，而构成随机变量X(tn)。总起来看，随机过程X(t)也可看作是由随机变量X(t1)，X(t2)，…，X(tn)…所构成，这些随机变量随着时间t而变化。因此，噪声过程也是一个随时间变化的随机变量。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 定义一 　　设随机试验E的样本空间S=(e)，如果对于每一基本事件e∈S，均能以某种规则确定一个时间t的函数，则由所有e确定的一族t的函数叫做随机过程。 ★ 定义二 　　设有一个过程X(t)，如果对于每一个固定的时刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一个随机变量，则称X(t)为随机过程。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 两个定义的分析 　　以上的两种定义在本质上是一样的，只是从不同的角度进行描述而已。定义一是从各次观测结果来描述随机过程，定义二则是从各固定时刻来描述的，二者相互补充。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 两个定义的分析（续） 　　在作实际观测时，通常采用定义一，据此定义，用试验方法观测各个样本函数，观测次数越多，所得到的样本数目亦越多，也就越能掌握这个过程的统计规律。 　　而在理论分析时，通常采用定义二，把随机过程看成多维随机变量的推广，时间分割越细，维数越多，对过程的统计描述也越全面，并且可以把概率论中多维随机的理论作为随机过程分析的理论基础。

2.1.2 随机过程的定义 ★ 本课程的符号约定 　　本课程中均以大写字母[如X(t)]表示随机过程，以小写字母[如xi(t)]表示样本函数，而称X(tn)为随机过程X(t)在时刻t= tn的状态。

2.1.3 随机过程的分类 ★ 按状态和时间的连续性进行分类 　　1、连续型随机过程 　　2、连续的随机序列 　　3、离散型随机过程 　　4、离散的随机序列

2.1.3 随机过程的分类 ★ 按状态和时间的连续性进行分类(续) ★ 按状态和时间的连续性进行分类(续) 　　1、状态和时间都连续的随机过程称为连续型随机过程。例题2.1中的余弦过程和2.2中的噪声过程都属于这一类。 　　连续型随机过程的状态为连续的随机变量，各样本也都为时间t的连续函数。

2.1.3 随机过程的分类 ★ 按状态和时间的连续性进行分类(续) ★ 按状态和时间的连续性进行分类(续) 　　2、状态连续而时间离散的随机过程称为连续的随机序列。对例题2.1中的余弦过程和2.2中的噪声过程沿时间轴进行抽样即得到连续的随机序列。 　　连续的随机序列其状态保持连续，时间则由连续变为离散的。

随机相位序列

2.1.3 随机过程的分类 ★ 按状态和时间的连续性进行分类(续) 3、状态离散而时间连续的随机过程称为离散型随机过程。 ★ 按状态和时间的连续性进行分类(续) 　　3、状态离散而时间连续的随机过程称为离散型随机过程。 　　4、状态和时间都离散的随机过程称为离散的随机序列。

2.1.3 随机过程的分类 ★ 按随机过程分布函数的特性进行分类 　　1、独立随机过程 　　2、马尔可夫过程 　　3、独立增量随机过程 　　4、平稳随机过程

2.1.3 随机过程的分类 ★ 不可预测过程和可预测过程 ★ 不可预测过程和可预测过程 　　对于任意一条样本函数，知道它的过去值，并不能确定它的未来值，这样的随机过程称为不可预测过程。 　　相反，如果随机过程的任意样本函数的未来值可以由该样本函数的过去值来确定，则该随机过程称为可预测过程。