第六章 定积分的应用 利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 (L.P184) 定积分在物理上的应用

第一节 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第六章 (L.P184) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ; 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 表示为 (L.P184) 定积分定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二 、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 近似值 微分表达式 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式 (L.P183) 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 第二节 目录 上页 下页 返回 结束

第二节 定积分在几何学上的应用 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第六章 定积分在几何学上的应用 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 四、 旋转体的侧面积 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则 右下图所示图形面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 计算抛物线 与直线 所围图形 的面积 . 得交点 解: 由 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 求椭圆 所围图形的面积 . 有 解: 利用对称性 , 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 计算阿基米德螺线 对应  从 0 变 到 2 所围图形面积 . 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 对应  从 0 变 到 2 所围图形面积 . 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回. 心形线 目录 上页 下页 返回 结束

心形线(外摆线的一种) 即 参数的几何意义 点击图中任意点 动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长:

例7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8. 求双纽线 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : (P168) 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3) 曲线弧由极坐标方程给出: 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 下垂 成悬链线 . 悬链线方程为 求这一段弧长 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例10. 求连续曲线段 的弧长. 解: 典型P282 例1.24 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例11. 计算摆线 一拱 的弧长 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例12. 求阿基米德螺线 相应于 0≤≤2 一段的弧长 . 解: (P349 公式39) 根据学时安排, 若本次课只讲到此处, 则运行时点击按钮“小结”转向“内容小结”第一部分, 并根据情况运行后面的思考与练习题, 然后结束本次课. 小结 目录 上页 下页 返回 结束

三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 上连续, 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例13. 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 例14. 计算摆线 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束

绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 注 运行时, 点击按钮“注”, 可显示最后一个积分的计算过程, 显示完毕自动返回. 注 目录 上页 下页 返回 结束

注 (利用“偶倍奇零”) 分部积分

说明: 柱面面积 柱壳体积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

偶函数 奇函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例15. 设 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成  角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 其面积为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例17. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 的体积. 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 它的面积为 因此椭球体体积为 (L.P191 例7) 例17. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 的体积. 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 它的面积为 因此椭球体体积为 (L.P191 例7) 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例18. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. 解: 利用对称性 , 在第一象限 故旋转体体积为 (94 考研) 解: 利用对称性 , 在第一象限 故旋转体体积为 (94 考研数二) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、旋转体的侧面积 (补充) 设平面光滑曲线 求 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 积分后得旋转体的侧面积 (L.P197, 三)(L.P197 例13) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意: 侧面积元素 不是薄片侧面积△S 的 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例19. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例20. 求由星形线 绕 x 轴旋转 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性 运行时, 点击按钮 “星形线”, 可显示星形线的生成及参数的几何意义, 演示结束自动返回. 星形线 目录 上页 下页 返回 结束

星形线 星形线是内摆线的一种. (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线) 参数的几何意义 大圆半径 R＝a 小圆半径 点击图片任意处 播放开始或暂停

内容小结 1. 平面图形的面积 直角坐标方程 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 弧微分: 直角坐标方程 曲线方程 上下限按顺时针方向确定 1. 平面图形的面积 直角坐标方程 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 弧微分: 直角坐标方程 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 : 绕 y 轴 : 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为 (柱壳法) 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为 (注意在不同坐标系下 ds 的表达式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 弧线段部分 直线段部分 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 试用定积分求圆 绕 x 轴 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 上 半圆为 提示: 下 求体积 : 方法1 利用对称性 方法1 利用对称性 (L.P198 例14) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 上 半圆为 下 方法2 用柱壳法 说明: 上式可变形为 此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

上 半圆为 下 求侧面积 : 利用对称性 上式也可写成 它也反映了环面微元的另一种取法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 面积及弧长部分： P279 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 体积及表面积部分： P279 13; 14 ; 15 (1), (4); 17; 18 补充题: 设有曲线 过原点作其切线 , 求 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. 第三节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1. 求曲线 所围图形的面积. 解： 显然 又 故在区域 同理其它. 面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.  为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 解: 与 x 轴所围面积 分析曲线特点 故 由图形的对称性 , 也合于所求. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 求曲线 与 所围成 图形的公共部分的面积 . 解： 得 所围区域的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 . 4. 设平面图形 A 由 与 所确定 , 求 图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 若选 y 为积分变量, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第三节 定积分在物理学上的应用 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充) 第六章 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 . 解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 故作用在活塞上的 力为 功元素为 所求功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 (KN) 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 比重现在不用了 过去: 1) 单位体积所受的重力 ; 2) 与水比的相对重量 设水的密度为 ( KJ ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、液体侧压力 设液体密度为  深为 h 处的压强: • 当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为 面积为 A 的平板 • 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 例4. 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为  的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 方程为 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 小窄条上各点的压强 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 ( P350 公式67 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、 引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算 例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

棒对质点的引力的垂直分力为 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

移到 b (a < b) 处时克服引力作的功, 说明: 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 移到 b (a < b) 处时克服引力作的功, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 注意正负号 引力大小为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、转动惯量 (补充) 质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为 的质点系 关于轴 l 的转动惯量为 若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; 例6. 设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , ⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; ⑵ 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 . 解: ⑴ 建立坐标系如图. 设圆盘面密度为 . 对应于 的小圆环对轴 l 的转动惯量为 故圆盘对轴 l 的转动惯量为 小圆环质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

⑵ 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图. 平行 y 轴的细条 关于 y 轴的转动惯量元素为 故圆盘对y 轴的转动惯量为 细条质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有: 条、段、环、带、 扇、片、壳 等. (2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 2.定积分的物理应用: 变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污 泥后提出井口, 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 缆绳每 提升速度为3m /s , 在提升过程中污泥 以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 问 克服重力需作多少焦耳( J ) 功? (99考研) 提示: 作 x 轴如图. 将抓起污泥的抓斗由 x 提升 dx 所作的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3m∕s, 污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉 克服抓斗自重: 克服缆绳重: 抓斗升至 x 处所需时间 : 提升抓斗中的污泥: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 设星形线 上每一点处线密 度的大小等于该点到原点距离的立方, 在点O 处有一单 位质点 , 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 提示: 如图. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业: P287 2 , 3 , 5 , 9 , 12 同理 故星形线在第一象限的弧段对该质点的 引力大小为 习题课 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于 水中, 并使一直角边与水面相齐, 问斜边与水面交成的 锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 . 解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l , 则其方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

即 故得唯一驻点 由实际意义可知最大值存在 , 故此唯一驻点 即为所求. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

习题课 定积分的应用 第六章 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、 体积、 弧长、 表面积 . 物理方面 : 质量、 作功、 侧压力、 引力、 转动惯量 . 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、 段、 带、 片、 扇、 环、 壳 等. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 且为最小点 . 故所求切线为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 例2. 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 面积为 2 , (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 体积最小 ? 解: (1) 由方程得 即 故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 证明曲边扇形 绕极轴 旋转而成的体积为 证: 先求 上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积 体积微元 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 求由 与 所围区域绕 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 曲线上任一点 到直线 的距离为 则 故所求旋转体体积为 例4. 求由 与 所围区域绕 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 曲线上任一点 到直线 的距离为 则 故所求旋转体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 半径为 R , 密度为 的球沉入深为H ( H > 2 R ) 的水池底, 水的密度 现将其从水池中取出, 需做 多少功 ? 解: 建立坐标系如图 . 则对应 上球的薄片提到水面上的微功为 提出水面后的微功为 微元体积 所受重力 上升高度 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此微功元素为 球从水中提出所做的功为 “偶倍奇零” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1) 求 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 at (升) , 而高为 h 的球缺的体积为 故有 半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成 两边对 t 求导, 得 体积元素: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提 到池沿高度所需的功. 对应于 薄层所需的功元素 故所求功为 微元体积: 微元的重力 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P288 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 机动 目录 上页 下页 返回 结束