第2课时 等比数列的性质及应用 【课标要求】 1．理解等比数列的性质并能应用． 2．了解等比数列同指数函数间的关系． 3．会用等比数列的性质解题． 【核心扫描】 1．等比数列的性质及应用．(重点) 2．等比数列与等差数列的综合应用．(重点) 3．与函数、方程、不等式等结合命题．(难点)

自学导引 1． 等比数列的项与序号的关系以及性质 设等比数列{an}的公比为q. (1)两项关系：an＝_______(m，n∈N*)． (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝____. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列． 等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两 amqn－m apaq 2． an－1 an－k＋1

3． 等比数列的“子数列”的性质 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为__的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为__的等比数列； 偶数项数列{a2n}是公比为__的等比数列； (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1. q q2 q2

：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N ：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？ 提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列． 事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2. 在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n＝p＋q＝2k，如非零常数列．

名师点睛 1． 等比数列的单调性 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{an}是递减数列． (3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列． (4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列． 等比数列的运算性质 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； 2．

④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列． 特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{anm}(m是实数常数)是公比为qm的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1q2的等比数列． (3)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为lg q的等差数列．

题型一　等比数列性质的应用 【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． [思路探索] 应用等比数列的性质：a2a4＝a32，a4a6＝a52，a1a3＝a22，化简已知，可求解． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，

∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 法二 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a32＋2a3a5＋a52＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6. (2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2.

在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．

【变式1】 在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值． 解 在等比数列{an}中， ∵a1·a9＝a3·a7， ∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得： ∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3. ∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4. ∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.

题型二 等差数列与等比数列的综合应用 【例2】 题型二　等差数列与等比数列的综合应用 【例2】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． [思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可．

所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1 所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；

【变式2】 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．

题型三　等比数列的实际应用 【例3】 某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底 (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 审题指导 本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列．

[规范解答] (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50， (2分) 令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0， 解得n≤－19或n≥10，而n是正整数． ∴n≥10. (4分) 故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (6分)

(2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1. 08，则bn＝400×(1 (2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， (8分) 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的最小正整数n＝6. (10分) 故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. (12分)

【题后反思】 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．

【变式3】 始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际原油价格从2008年 7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)? 解 设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列{an}，记：a1＝147(7月份价格)， 则8月份价格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)； 9月份价格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2. ∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%. 设an＝34，则34＝147·(1－18.8%)n－1， 解得n＝8. 即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．

误区警示　因没数清数列的项数致误 【示例】 A．(n－1)2 B．n2 C．(n＋1)2 D．n(2n－1) [错解] 易得an＝2n，且log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)

对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清． [正解] ∵a5·a2n－5＝22n＝an2，an＞0， ∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝log22n2＝n2.故选B. 答案　B

解决此类问题时，可根据通性通法，但有时用等比数列的性质，能加快解题速度，提高解题效率，达到事半功倍的效果．

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