第2章 椭圆、双曲线、抛物线 2.1 椭圆
创设情境 兴趣引入 我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次 为直线的方程，二元二次方程 方程 为圆的 方程． 下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应 的曲线．
创设情境 兴趣引入 先来做一个实验： 准备一条长度一定的线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下 面的步骤画一个椭圆： （1）如图所示，将绳子的两端固定在画板上的 和 两 点，并使绳长大于 和 的距离． （2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔 尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形． 从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，与 两个定点 和 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的 长度）． 我们将平面内与两个定点 的距离之和为常数（大于 ）的点的轨迹（或集合）叫 做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点，两个焦点间的距离叫做焦 距．
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． 动脑思考 探索新知
动脑思考 探索新知 实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． 取过焦点 的直线为x轴，线段 的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）， 椭圆上的点与两个定点 的距 离之和为2a（a＞0），则 的 坐标分别为（－c，0）， （c，0）， 由条件 得
动脑思考 探索新知 实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． 移项得 取过焦点 的直线为x轴，线段 的垂直平分线为 设 ， 不仅使得方程变得 简单规整，同时在后 面讨论椭圆的集 合性质时，还会看 到它有明确的几何 意义． 两边平方得 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 整理得 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）， 两边平方后，整理得 椭圆上的点与两个定点 的距 离之和为2a（a＞0），则 的 由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0， 坐标分别为（－c，0）， （c，0）， 所以 由条件 得 设 则 等式两边同时除以 得
动脑思考 探索新知 （2.1） 方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是 并且
动脑思考 探索新知 （2.2） 方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是 并 想一想 想一想 已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？ 所表示的椭圆的焦点是 并
巩固知识 典型例题 例1 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的 点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程． 解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以 想一想 将例1中的条件“椭圆的焦点在x轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？ 由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 即
巩固知识 典型例题 例2 求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 分析 例2 求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 巩固知识 典型例题 分析 解题关键是判断椭圆的焦点在哪个数轴．方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴．
巩固知识 典型例题 例2 求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且 故 例2 求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 巩固知识 典型例题 解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且 故 因此 c = 1，2c = 2． 所以，椭圆的焦点为 焦距为2．
巩固知识 典型例题 例2 求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） （2）将方程化成标准方程，为 因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且 例2 求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 巩固知识 典型例题 （2）将方程化成标准方程，为 因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且 故 因此 所以，椭圆的焦点为 焦距为
运用知识 强化练习 1．已知椭圆的焦点为 椭圆上的点到两个 焦点的距离之和为8．求椭圆的标准方程． 2．写出下列椭圆的焦点坐标和焦距． （1） （2）
写出焦点在x轴焦点在y轴的椭圆的标准方程 理论升华 整体建构 焦点在x轴上的椭圆的标准方程是 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
学习效果 自我反思 目标检测 学习行为 学习方法
自我反思 目标检测 已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．
继续探索 活动探究 读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题2.1（必做） 学习指导2.1（选做） 实践调查：用本课所学知识解决 生活中的实际问题