第5章 图像增强

5.1 图像噪声 5.2 空间域的点运算 5.3 空域滤波增强 5.4 频域滤波增强 5.5 空域技术与频域技术

学习目标 了解图像噪声的产生、分类和特点 了解灰度变换并掌握直方图修正 掌握空域滤波增强方法 掌握频域滤波增强方法 理解空域技术与频域技术

问题的引入 看两个图例，分析画面效果不好的原因。 亮暗差别不是很大

解决问题的思路 提高对比度，增加清晰度

对比度的概念 对比度：通俗地讲，就是亮暗的对比程度。 对比度通常表现了图像画质的清晰程度。

图像增强（Image enhancement）是数字图像处理技术中最基本的内容之一。图像增强处理是图像的预处理的方法之一，图像预处理是相对于图像识别、图像理解而言的一种前期处理。 图像增强的目的： 1、采用一系列技术改善图像的视觉效果，提高图像的清晰度及图像的可懂度； 2、将图像转换成一种更适合于人或机器进行分析处理的形式。

图像增强的主要目标是处理图像，以便处理结果图像比原图像更适合于特定的应用。 特定意味着增强方法针对特定的问题，不同的问题适合采用不同的增强方法。 没有一个图像增强的统一理论，如何评价图像增强的结果好坏也没有统一的标准。 主观标准：人 客观标准：结果

图像增强技术 图像增强的方法分为两大类：空间域方法和频域方法。 “空间域”是指图像平面自身，这类方法是以对图像的象素直接处理为基础的。“频域”处理技术是以修改图像的傅氏变换为基础的。

空间域处理方法是在图像像素组成的二维空间里直接对每一像素的灰度值进行处理，它可以是在一幅图像内的像素点之间的运算处理，也可是数幅图像间的相应像素点之间的运算处理。 频率域处理方法是在图像的变换域对图像进行间接处理。

图像空间域与频率域变换处理流程框图 图像的空间域与频率域变换处理流程框图

5.1 图像噪声 对于数字图像处理而言，噪声是指图像中的非本源消息，因此，噪声会影响人的感官对所接收的信源消息的准确理解。 5.1 图像噪声 对于数字图像处理而言，噪声是指图像中的非本源消息，因此，噪声会影响人的感官对所接收的信源消息的准确理解。 从严格意义上分析，图像噪声可认为是多维随机信号，可以采用概率分布函数、概率密度函数以及均值、方差、相关函数等描述噪声特征。

5.1.1 图像噪声的产生 大多数数字图像系统中，输入光图像是通过扫描方式将多维图像变成一维电信号，再对其进行存储、处理和传输等，最后形成多维图像信号。 在这一系列复杂过程中，图像数字化设备、电气系统和外界影响将使得图像噪声的产生不可避免。 例如，处理高放大倍数遥感图片和X射线图像系统中的噪声等已成为不可或缺的技术。

5.1.2 图像噪声分类 按其产生的原因分：外部噪声和内部噪声。 外部噪声是指系统外部干扰从电磁波或经电源传进系统内部而引起的噪声，如电气设备、自然界的放电现象等引起的噪声。

一般情况下，数字图像中常见的外部干扰主要包括如下几种。 (1)设备元器件及材料本身引起的噪声。如磁带、磁盘表面缺陷所产生的噪声。 (2)系统内部设备电路所引起的噪声。包括电源系统引入的交流噪声，偏转系统和箱位电路引起的噪声等。 (3)电气部件机械运动产生的噪声。如数字化设备的各种接头因抖动引起的电流变化所产生的噪声，磁头、磁带抖动引起的抖动噪声等。

按统计特性分：平稳噪声和非平稳噪声。 统计特性不随时间变化的噪声称为平稳噪声； 统计特性随时间变化的噪声称为非平稳噪声。

按噪声和信号之间的关系分：加性噪声和乘性噪声。 理论上，加性随机噪声方法成熟，且处理比较方便；而乘性随机噪声处理方法目前还没有成熟的理论，并且处理起来非常复杂。一般条件下，现实生活中所遇到的绝大多数图像噪声均可认为是加性噪声。

常见的图像噪声有椒盐噪声和高斯噪声。 椒盐噪声是由图像传感器，传输信道，解码处理等产生的黑白相间的亮暗点噪声； 高斯噪声是指它的概率密度函数服从高斯分布的一类噪声，除了采用通用的噪声抑制方法外，对高斯噪声的抑制方法常常采用数理统计方法。

5.1.3 图像噪声特点 含噪图像

一般情况下，图像中的噪声有以下三个特点。 1.叠加性 在图像的串联传输系统中，各个串联部分引起的噪声一般具有叠加效应，使信噪比下降。 2.分布和大小不规则 由于噪声在图像中是随机出现的，所以其分布和幅值也是随机的。

3.噪声与图像之间具有相关性 通常情况下，摄像机的信号和噪声相关，明亮部分噪声小，黑暗部分噪声大。数字图像处理技术中存在的量化噪声与图像相位相关。例如，图像内容接近平坦时，量化噪声呈现为轮廓，但此时图像信号中的随机噪声会因为颤噪效应而使量化噪声变得不很明显。

5.2 空间域的点运算 点运算是一种简单而又很重要的技术。 点操作包括灰度变换、图像运算和直方图修正。 本节着重介绍灰度变换和直方图修正。

5.2.1 灰度变换 灰度变换可使图像： 动态范围加大； 对比度扩展； 图像更加清晰； 特征更加明显。 灰度变换其实就是按一定的规则修改图像每一个像素的灰度，从而改变图像灰度的动态范围。

动态范围的概念 动态范围：是指图像中所记录的场景中从暗到亮的变化范围。 动态范围对人视觉的影响：由于人眼可以分辨的灰度的变化范围是有限的，所以当动态范围太大时，很高的亮度值把暗区的信号都掩盖了。

 方法  空间域处理 全局运算：在整个图像空间域进行。 局部运算：在与像素有关的空间域进行。 点运算： 对图像作逐点运算。  频域处理  方法  空间域处理 全局运算：在整个图像空间域进行。 局部运算：在与像素有关的空间域进行。 点运算： 对图像作逐点运算。  频域处理 在图像的Fourier变换域上进行处理。

点运算 在图像处理中，图像灰度变换和直方图修正属于点运算范畴，点运算的概念是，当算子T的作用域是以每一个单个像素为单位，图像的输出g(x, y)只与位置(x, y) 处的输入f(x, y) 有关，实现的是像素点到点的处理时，称这种运算为“点运算”。

点运算的表达为： 或者 其中， r、s分别是输入、输出像素的灰度级；T为灰度变换函数的映射关系;

通过上述式子可将原图像 (x,y)处的灰度f (x,y)变为T[f (x,y)] ， T算子描述了输入灰度级和输出灰度级之间的映射关系。 点运算有时又被称为“灰度变换”、“对比度拉伸”或“对比度增强”。

1. 灰度线性变换 灰度倒置线性变换 图像反转的效果

反转变换 适于处理增强嵌入于图像暗色区域的白色或灰色细节,特别是当黑色面积占主导地位时。 灰度反转图像

线性灰度变换 输入图像 灰度范围为[a, b]， 输出图像 灰度范围为[c, d]。

f(x,y)灰度范围为[a, b]，g(x,y)灰度范围为[c, d]。输入输出灰度线性映射关系为:

灰度线性变换关系

为了突出图像中感兴趣的目标或者灰度区间，将图像灰度区间分成两段乃至多段分别作线性变换称之为分段线性变换。 分段线性灰度变换 为了突出图像中感兴趣的目标或者灰度区间，将图像灰度区间分成两段乃至多段分别作线性变换称之为分段线性变换。 分段线性灰度变换

分段线性灰度变换输入输出线性映射关系为:

其形式可以任意组合,有些重要的变换可以应用分段线性函数描述. 分段线性变换函数 其形式可以任意组合,有些重要的变换可以应用分段线性函数描述. 对比拉伸 (a)变换函数的形式 (b)低对比度图像 (c)对比度拉伸的结果 (d)门限化的结果

对比度展宽效果示例

线性动态范围调整效果示例

其他线性灰度变换 灰度倒置线性变换关系

局部斜率线性变换关系:

分两段的线性变换 分两段的线性变换 (a)低灰度区扩展高灰度区压缩的线性变换 (b)低灰度区压缩高灰度区扩展的线性变换

2. 灰度非线性变换 用某些非线性函数，例如平方、对数、指数函数等作为映射函数时，可实现图像灰度的非线性变换。灰度的非线性变换简称非线性变换，是指由这样一个非线性单值函数所确定的灰度变换。

非线性动态范围调整 —— 原理 提出非线性动态范围调整，是因为线性动态范围调整的分段线性影射不够光滑。 非线性动态范围调整 —— 原理 提出非线性动态范围调整，是因为线性动态范围调整的分段线性影射不够光滑。 非线性动态范围调整，要求可以用光滑的曲线来实现。 考虑到人眼对视觉信号的处理过程中，有一个近似对数算子的环节，因此，可采用对数运算来实现非线性动态范围调整。

基本灰度变换 三种基本类型： s = T(r) 灰度级变换函数 线性的(正比或反比) 输出灰度级 对数的(对数和反对数的) n次方根 对数 n次幂 正比 反对数 灰度级变换函数 s = T(r) 三种基本类型： 线性的(正比或反比) 对数的(对数和反对数的) 幂次的(n次幂和n次方根变换) 用于图像增强的某些基本灰度变换函数

非线性变换映射函数 非线性变换映射函数

对数变换映射函数 a,b,c是按需要可以调整的参数。 对数变换特点： 低灰度区扩展，高灰度区压缩。

采用非线性对数变换处理的图像 对数变换前、后图像效果图

对数变换 使一窄带低灰度输入图像映射为一宽带输出值。 可以用于扩展被压缩的高值图像中的暗像素。 对数变换的图像

指数变换映射函数 a、b、c是为了调整曲线位置和形状的参数

指数变换的特点： 高灰度区扩展，低灰度区压缩。 与对数变换正好相反，它可用来压缩低值灰度区域，扩展高值灰度区域，但由于与人的视觉特性不太相同，因此不常采用。

5.2.2 直方图修正 灰度图像直方图 对一幅数字图像，若对应于每－灰度值，统计出具有该灰度值的像素数，并据此绘出像素数-灰度值图形，则该图形称该图像的灰度直方图，简称直方图。 直方图是以灰度值作横坐标，像素数作纵坐标。有时直方图亦采用某一灰度值的像素数占全图总像素数的百分比（即某一灰度值出现的频数）作为纵坐标。

图像的直方图

灰度图像直方图 设变量r代表图像中像素灰度级,在图像中，像素的灰度级可作归一化处理，这样r的值将限定在下述范围之内： 0≤r≤1

在离散的形式下，用rk代表离散灰度级，用P(rk)代表概率密度函数，并且有下式成立： 式中nk为图像中出现rk这种灰度的像素数，n是图像中像素总数，nk/n就是概率论中的频数，l是灰度级的总数目。在直角坐标系中作出rk与P(rk)的关系图形，就得到直方图

灰度图像直方图的计算示例 灰度直方图计算示意图

图像灰度分布概率密度函数

从上图中的（a）和（b）两个灰度密度分布函数中可以看出： （b）图像的像素灰度值集中在亮区，因此，图像（b）的特性将偏亮， 一般在摄影中曝光太弱将导致这种结果。 显然，从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均不理想。

直方图显示与灰度图像的关系示例 灰度图像与对应直方图的显示

直方图显示与灰度图像的关系示例 灰度图像直方图分布曲线

直方图显示与彩色图像的关系示例 三个颜色分量的灰度直方图

直方图与灰度图像对应关系小结

直方图与图像动态范围的选择

为了改善图像质量，可以对灰度分布进行变换改变，其中一种方法称为直方图均衡化处理。 1.直方图均衡化 为了改善图像质量，可以对灰度分布进行变换改变，其中一种方法称为直方图均衡化处理。 直方图均衡化方法的基本思想是，对在图像中像素个数多的灰度级进行展宽，而对像素个数少的灰度级进行缩减。从而达到清晰图像的目的。 因为灰度分布可在直方图中描述，所以该图像增强方法是基于图像的灰度直方图。

直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的直方图修正法。假定变换函数为:

式中ω是积分变量，而T(r)就是r的累积分布函数。这里，累积分布函数是r的函数，并且单调地从0增加到1，所以这个变换函数满足T(r)在0≤r≤1内单值单调增加。

直方图均衡化效果示例

直方图均衡化 s的概率密度函数由输入函数的概率密度函数和所选择的变换函数决定 s = T(r) 0≤r ≤1 满足如下条件： (a) T(r)在区间0≤r ≤1中为单值且单调递增 (b)当0≤r ≤1时, 0≤ T(r)≤1 一幅图像的灰度级可视为[0,1]的随机变量,令 Pr(s)和Ps(s) 分别表示随机变量r和s的概率密度函数。 若Pr(s)和T(r)已知,则有如下结果: Ps(s)=Pr(r)*dr/ds s的概率密度函数由输入函数的概率密度函数和所选择的变换函数决定

累积分布函数(CDF) 满足如下条件： (a) T(r)在区间0≤r ≤1中为单值且单调递增 (b)当0≤r ≤1时, 0≤ T(r)≤1 对于离散值,处理其概率与和 灰度级rk出现的概率为: pr(rk)=nk/n k=0,1,2,…,L-1 则变换函数的离散形式为 求得sk的值后，还需将其取整扩展 变换回[0,L]区间

累积分布函数与r的关系 灰度变换函数关系 r和s的变换函数关系

直方图均衡化计算处理示例 用离散形式表示累积分布函数为： 其反变换为： 例如假定有一幅像素数为64×64，灰度级为8级的图像、其灰度级分布如表所示：

对一幅像素数为64×64，灰度级为8级的图像进行直方图均衡化计算处理 图像直方图均衡化处理示例

一幅像素数为64×64，灰度级为8级的图像、其灰度级分布如表所示：

对其进行均衡化处理，其过程如下：

以此类推

变换函数如图(b)所示。这里对图像只取8个等间隔的灰度级，变换后的s值也只能选择最靠近的一个灰度级的值。因此，对上述计算值加以修正：

由上述计算出的数值可见，新图像将只有5个不同的灰度级别，可以重新定义一个符号：

其中: r0经变换得s0=1/7，所以有790个像素取s0这个灰度值; r1映射到s1=3/7，所以有1023个像素取s1=3/7这一灰度值; 以此类推，有850个像素取s2=5/7这一灰度值。

但是，因为r3和r4均映射到s3=6/7这一灰度级，所以有656＋329=985个像素取这个值。 同样，有245＋122＋81=448个像素取s4=l这个新灰度值。用n=4096来除上述这些nk，由计算的值便可得到新的直方图。新直方图如图（c）所示。

由上面的例子可见，利用累积分布函数作为灰度变换函数，经变换后得到的新灰度的直方图虽然不很平坦，但毕竟比原始图像的直方图平坦得多，而且其动态范围也大大地扩展了。因此这种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的。

因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象，由于简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少的，这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡只是近似的。

直方图均衡化处理显示示例

直方图均衡化处理显示示例

直方图均衡化处理显示示例

2.直方图规定化 直方图规定化是使原图像灰度直方图变成规定形状的直方图而对图像作修正的增强方法，也称为直方图匹配。 直方图均衡化处理是直方图规定化的一个特例。 一般来说，正确选择规定化的函数可获得比直方图均衡化更好的效果。

直方图规定化方法的具体步骤 (1)对原直方图进行均衡化，即求其累计直方图Pi 。 (2)对规定直方图均衡化，即求其累计直方图 Pj 。 (3)按 最靠近的原则进行 的变换 。 (4)求出 的变换函数，对原图像进行灰度变换 。其中， 为原数字图像的直方图， 为规定直方图， i和j分别为原图像和期望图像的灰度级，且具有相同的取值范围，即 。

直方图规定化计算处理示例 对一幅像素数为64×64，灰度级为8级的图像进行直方图规定化计算处理 uk Pz(rk)=nk/n u0=0 0.00 u1=1 u2=2 u3=3 0.15 u4=4 0.20 u5=5 0.30 u6=6 u7=7 规定直方图概率分布

第1步，重复均衡化过程，计算直方图均衡化原始图像的灰度 对应的变换函数 ，8个灰度级合并成5个灰度级，结果如下：

第2步，对规定化的图像用同样的方法进行直方图均衡化处理，求出给定直方图对应灰度级:

第3步，由于是离散图像，所以采用“单映射最靠近”原则，用与 最接近的 来代替 ，的到如下结果：

并求逆变换得到 ：

第4步，图像总像素数为4096，根据第3步求出 相应的 的 ：

u’k nk p’u u’0=0 0.00 u’1=1 u’2=2 u’3=3 790 0.19 u’4=4 1023 0.25 u’5=5 0.00 u’1=1 u’2=2 u’3=3 790 0.19 u’4=4 1023 0.25 u’5=5 850 0.21 u’6=6 985 0.24 u’7=7 448 0.11 结果直方图概率分布

直方图规定化结果 (a)原直方图 (b)规定直方图 (c)结果直方图

5.3 空域滤波增强 空域滤波是指利用像素及像素邻域组成的空间进行图像增强的方法。 其原理是对图像进行模板运算。 5.3 空域滤波增强 空域滤波是指利用像素及像素邻域组成的空间进行图像增强的方法。 其原理是对图像进行模板运算。 模板运算的基本思路是将赋予某个像素的值作为它本身灰度值和其相邻像素灰度值的函数。

模板运算中最常用的是模板卷积，该方法在空域实现的主要步骤为： 将模板在途中漫游，并将模板中心与空域中某个像素位置重合； 将木板上的各个系数与模板下各对应像素点的灰度值相乘； 将所有乘积相加（为保持灰度范围，常将结果再除以模板的系数个数）； 将上述运算结果（模板的输出相应）赋给图中对应模板中心位置的像素。

(a)1幅图像的部分区域 (b)3×3模板 (c)处理后的增强图 用3×3的模板进行空间滤波的示意图

空域滤波是在图像空间借助模板进行邻域操作完成的，空域滤波按线性的和非线性特点有： 基于傅里叶变换分析的线性滤波器； 直接对邻域进行操作的非线性空间滤波器。 空域滤波器根据功能主要分成平滑滤波和锐化滤波。 平滑滤波可用低通滤波实现。 平滑的目的：（1）消除噪声；（2）去除太小的细节或将目标内的小间断连接起来实现模糊。 锐化滤波可用高通滤波实现，锐化的目的是为了增强被模糊的细节。

5.3.1 线性平滑滤波器 线性平滑滤波器包括邻域平均法（均值滤波器）、非线性平滑滤波器有中值滤波器。

1.邻域平均法 邻域平均法是简单的空域处理方法。这种方法的基本思想是用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度。 假定有一幅N×N个像素的图像f(x,y)，平滑处理后得到一幅图像g(x,y)。g(x,y)由下式决定：

式中x,y=0,1,2,…,N-1，S是(x,y)点邻域中点的集合，但其中不包括(x,y)点，M是集合内坐标点的总数。上式说明，平滑化的图像g(x,y)中的每个像素的灰度值均由包含在(x,y)的预定邻域中的f(x,y)的几个像素的灰度值的平均值来决定。例如，可以以(x,y)点为中心，取单位距离构成一个邻域，其中点的坐标集合为 S={(x,y+1),(x,y-1),(x+1,y),(x-1,y)}

下图给出了两种从图像阵列中选取邻域的方法。图（a）的方法是一个点的邻域，定义为以该点为中心的一个圆的内部或边界上的点的集合。图中选取点的灰度值就是圆周上4个像素灰度值的平均值。 图（b）是选择圆的边界上的点和在圆内的点为S的集合。

数字图像中的4-8点邻域

处理结果表明，上述选择邻域的方法对抑制噪声是有效的，但是随着邻域的加大，图像的模糊程度也愈加严重。为克服这一缺点，可以采用阈值法减少由于邻域平均所产生的模糊效应。其基本方法由下式决定：

式中T就是规定的非负阈值。这个表达式的物理概念是：当一些点和它的邻域内的点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值T时，就仍然保留其原灰度值不变，如果大于阈值T时就用它们的平均值来代替该点的灰度值。这样就可以大大减少模糊的程度。

平滑掩模算子有 以3×3邻域为例，模板与像素邻域的乘积和要除以9 ，均值滤波器所有的系数都是正数,选取算子的原则是必须保证全部权系数之和为单位值。

均值滤波器 —— 原理 在图像上，对待处理的像素给定一个模板，该模板包括了其周围的邻近像素。将模板中的全体像素的均值来替代原来的像素值的方法。

均值滤波器 —— 处理方法 以模块运算系数表示即： 待处理像素 3 4 4 5 5 6 6 7 8 C=6.6316 C=5.5263 1 均值滤波器 —— 处理方法 待处理像素 以模块运算系数表示即： 1 2 4 3 5 7 6 8 9 1 2 4 3 5 7 6 8 9 3 4 4 5 5 6 6 7 8 C=6.6316 C=5.5263

均值滤波器滤椒盐噪声的效果

均值滤波器滤高斯噪声的效果

2.加权平均法 均值滤波器的缺点是，会使图像变的模糊，原因是它对所有的点都是同等对待，在将噪声点分摊的同时，将景物的边界点也分摊了。 为了改善效果，就可采用加权平均的方式来构造滤波器。

如下，是几个典型的加权平均滤波器。 示例 示例 示例 示例

加权均值滤波器的效果(H1) H0的比较例 H1的效果

加权均值滤波器的效果（H2） H0的比较例 H2的效果

加权均值滤波器的效果（H3） H0的比较例 H3的效果

加权均值滤波器的效果（H4） H0的比较例 H4的效果

5.3.2 非线性平滑滤波器 虽然均值滤波器对噪声有抑制作用，但同时会使图像变得模糊。即使是加权均值滤波，改善的效果也是有限的。 为了有效地改善这一状况，必须改换滤波器的设计思路，中值滤波就是一种有效的方法。

中值滤波（median filter）是一种最常用的去除噪声的非线性平滑滤波处理方法，其滤波原理与均值滤波方法类似，二者的不同之处在于：中值滤波器的输出像素是由邻域像素的中间值而不是平均值决定的。中值滤波器产生的模数较少，更适合于消除图像的孤立噪声点。

中值滤波器 —— 设计思想 因为噪声（如椒盐噪声）的出现，使该点像素比周围的像素亮（暗）许多。 中值滤波器 —— 设计思想 因为噪声（如椒盐噪声）的出现，使该点像素比周围的像素亮（暗）许多。 如果在某个模板中，对像素进行由小到大排列的重新排列，那么最亮的或者是最暗的点一定被排在两侧。 取模板中排在中间位置上的像素的灰度值替代待处理像素的值，就可以达到滤除噪声的目的。

中值滤波的算法原理是，首先确定一个奇数像素的窗口W，窗口内各像素按灰度大小排队后，用其中间位置的灰度值代替原f(x,y)灰度值成为窗口中心的灰度值g(x,y)。

2 6 中值滤波器 —— 原理示例 m-2 m-1 m m+1 m+2 6 10 2 5 8 数值排序 m m+1 m - 2 m+2 中值滤波器 —— 原理示例 m-2 m-1 m m+1 m+2 6 10 2 5 8 数值排序 m m+1 m - 2 m+2 m - 1 6 10 2 5 8 2 6

中值滤波的主要工作步骤为： （1）将模板在图中漫游，并将模板中心与图中的某个像素位置重合； （2）读取模板下各对应像素的灰度值； （3）将模板对应的像素灰度值进行从小到大排序； （4）选取灰度序列里排在中间的1个像素的灰度值； （5）将这个中间值赋值给对应模板中心位置的像素作为像素的灰度值。

中值滤波器 —— 例题 1 2 4 3 5 7 6 8 9 1 2 4 3 5 7 6 8 9 2 3 4 5 6 6 6 7 8 C=5.5263 C=6.6316

例： 有一个序列为{0，3，4，0，7}，窗口是5，则中值滤波为重新排序后的序列是{0，0，3，4，7}，中值滤波的中间值为3。此例若用平均滤波，窗口也是5，那么平均滤波输出为（0+3+4+0+7）/5=2.8。 中值滤波比低通滤波消除噪声更有效。因为噪声多为尖峰状干扰，若用低通滤波虽能去除噪声但陡峭的边缘将被模糊。中值滤波能去除点状尖峰干扰而边缘不会变坏。

中值滤波器的效果（椒盐噪声）

中值滤波器的效果（高斯噪声）

中值滤波器与均值滤波器的比较 对于椒盐噪声，中值滤波效果比均值滤波效果好。

原因： 椒盐噪声是幅值近似相等但随机分布在不同位置上，图像中有干净点也有污染点。 中值滤波是选择适当的点来替代污染点的值，所以处理效果好。 因为噪声的均值不为0，所以均值滤波不能很好地去除噪声点。

中值滤波器与均值滤波器的比较 对于高斯噪声，均值滤波效果比中值滤波效果好。

原因： 高斯噪声是幅值近似正态分布，但分布在每点像素上。 因为图像中的每点都是污染点，所以中值滤波选不到合适的干净点。 因为正态分布的均值为0，所以均值滤波可以消除噪声。（注意：实际上只能减弱，不能消除。）

5.3.3 线性锐化滤波器 图像锐化的概念 图像锐化的目的是加强图像中景物的细节边缘和轮廓。 锐化的作用是使灰度反差增强。 因为边缘和轮廓都位于灰度突变的地方。所以锐化算法的实现是基于微分作用。

图像细节的灰度变化特性 图像细节的灰度分布特性 灰度跃变 灰度渐变 细线 平坦段 孤立点 250 200 150 100 50 0 50 100 150 200 250

图像细节的灰度变化微分特性 一阶微分曲线 图像细节的灰度分布特性 灰度渐变 孤立点 细线 灰度跃变 平坦段 二阶微分曲线

锐化处理的目的是突出图像中的细节或者增强被模糊了的细节. 锐化处理可以用空间微分来完成. 微分算子的响应强度与图像在该点的突变程度有关，图像微分增强了边缘和其他突变(如噪声)而消弱了灰度变化缓慢的区域. 我们最感兴趣的微分性质是恒定灰度区域(平坦段)、突变的开头与结尾(阶梯与斜坡突变)以及沿着灰度级斜坡处的特性。 对于一阶微分必须保证： 平坦段微分值为零 在灰度阶梯或斜坡的起点处微分值非零 沿着斜坡面微分值非零 对于二阶微分必须保证: 在平坦区微分值为零 在灰度阶梯或斜坡的起始点处微分值非零 沿着斜坡面微分值为零

最简单的锐化滤波器是线性锐化滤波器； 典型的线性锐化滤波方法为拉普拉斯算子。 典型的线性锐化滤波器模板

锐化处理实例 （a）原始图像 （b）拉普拉斯滤波后的图像

5.3.4 非线性锐化滤波器 实现图像的锐化可使图像的边缘或线条变得清晰，高通滤波可用空域高通滤波法来实现。本节将围绕空间高通滤波讨论图像锐化中常用的运算及方法，其中有： 梯度运算 各种锐化算子 拉普拉斯（Laplacian）算子

1．梯度运算（算子） 图像f(x,y)，在其点(x,y)上的梯度是一个二维列向量，可定义为：

梯度的幅度（模值） 函数沿梯度的方向在最大变化率方向上的方向角θ为

函数沿梯度的方向在最大变化率方向上的方向角θ为

在实际计算中，为了降低图像的运算量，常用绝对值或最大值代替平方和平方根运算，所以近似求梯度模值（幅度）为：

对于数字图像处理，有两种二维离散梯度的计算方法，一种是典型梯度算法，它把微分，近似用差分代替，沿x和y方向的一阶差分可写成

由此得到典型梯度算法为 ((i, j)为当前像素点) 考虑到图像边界的拓扑结构性，根据这个原理派生出许多相关的方法。

单方向的一阶锐化 —— 基本原理 单方向的一阶锐化是指对某个特定方向上的边缘信息进行增强。 单方向的一阶锐化 —— 基本原理 单方向的一阶锐化是指对某个特定方向上的边缘信息进行增强。 因为图像为水平、垂直两个方向组成，所以，所谓的单方向锐化实际上是包括水平方向与垂直方向上的锐化。

水平方向的一阶锐化 —— 基本方法 水平方向的锐化非常简单，通过一个可以检测出水平方向上的像素值的变化模板来实现。

水平方向的一阶锐化 —— 例题 问题：计算结果中出现了小于零的像素值 1*1+2*2+1*3-1*3-2*0-1*8=-3 1 2 3 6 水平方向的一阶锐化 —— 例题 1*1+2*2+1*3-1*3-2*0-1*8=-3 1 2 3 6 8 7 9 -3 -13 -20 -6 1 12 5 问题：计算结果中出现了小于零的像素值

垂直方向的一阶锐化 —— 基本方法 垂直锐化算法的设计思想与水平锐化算法相同，通过一个可以检测出垂直方向上的像素值的变化模板来实现。

垂直方向的一阶锐化 —— 例题 问题：计算结果中出现了小于零的像素值 1*1+2*2+1*3-1*3-2*2-1*8=-7 -7 -17 4 垂直方向的一阶锐化 —— 例题 1*1+2*2+1*3-1*3-2*2-1*8=-7 -7 -17 4 -16 -25 5 -22 -3 1 2 3 6 8 7 9 问题：计算结果中出现了小于零的像素值

单方向锐化 —— 后期处理 这种锐化算法需要进行后处理，以解决像素值为负的问题。 后处理的方法不同，则所得到的效果也就不同。

这样做的结果是：可以获得类似浮雕的效果。 方法1：整体加一个正整数，以保证所有的像 素值均为正。 这样做的结果是：可以获得类似浮雕的效果。 -3 -13 -20 -6 1 12 5 20 2 0 17 7 14 21 32 25

水平浮雕效果

这样做的结果是，可以获得对边缘的有方向提取。 方法2：将所有的像素值取绝对值。 这样做的结果是，可以获得对边缘的有方向提取。 -3 -13 -20 -6 1 12 5 3 13 20 6 1 12 5

水平边缘的提取效果

无方向的一阶锐化 —— 问题的提出 前面的锐化处理结果对于人工设计制造的具有矩形特征物体（例如：楼房、汉字等）的边缘的提取很有效。但是，对于不规则形状（如：人物）的边缘提取，则存在信息的缺损。

非矩形目标物的单方向锐化

无方向的一阶锐化 —— 设计思想 为了解决上面的问题，就希望提出对任何方向上的边缘信息均敏感的锐化算法。 无方向的一阶锐化 —— 设计思想 为了解决上面的问题，就希望提出对任何方向上的边缘信息均敏感的锐化算法。 因为这类锐化方法要求对边缘的方向没有选择，所以称为无方向的锐化算法。

无方向的一阶锐化 —— 交叉微分 交叉微分算法（Roberts算法）计算公式如下： 另一种差分算法 特点：算法简单

两种二维离散梯度的计算方法 示例

交叉锐化效果图例1

交叉锐化效果图例2

交叉锐化与水平锐化的比较 水平锐化 交叉锐化

2．其他锐化算子 (1) Sobel锐化 Sobel锐化的计算公式如下： 特点：锐化的边缘信息较强 示例

Sobel锐化效果示例1 交叉锐化 Sobel锐化

Sobel锐化效果示例2 交叉锐化 Sobel锐化

(1) Priwitt锐化 Priwitt锐化算法的计算公式如下： 特点：与Sobel相比，有一定的抗干扰性。图像效果比较干净。 示例

Priwitt锐化效果图例 Sobel锐化 Priwitt锐化

一阶锐化 —— 几种方法的效果比较 Sobel算法与Priwitt算法的思路相同，属于同一类型，因此处理效果基本相同。 一阶锐化 —— 几种方法的效果比较 Sobel算法与Priwitt算法的思路相同，属于同一类型，因此处理效果基本相同。 Roberts算法的模板为2*2，提取出的信息较弱。 单方向锐化经过后处理之后，也可以对边界进行增强。

一阶锐化方法的效果比较 (a) 原图 (b) Sobel算法 (c) Priwitt算法 (d) Roberts算法 (e) 水平锐化 (f) 垂直锐化

5.4 频域滤波增强 图像增强除了可在空间域进行外，也可以在变换域进行，最常用的变换域是频域（频率域）。 频域技术的基础是卷积理论。

在频率域对图像进行增强效果是相当直观的，实际应用时，主要步骤如下： （1）计算需增强图的傅里叶变换； （2）将其与一个（根据实际需要的）转移函数相乘； （3）进行傅里叶逆变换以得到增强的图。

5.4.1 低通滤波器 在分析一幅图像信号的频率特性时，其中，直流分量表示了图像的平均灰度，大面积的背景区域和缓慢变化部分则代表图像的低频分量，而它的边缘、细节、跳跃部分以及颗粒噪声都代表图像的高频分量，因此，在频域中对图像采用滤波器函数衰减高频信息而使低频信息畅通无阻的过程称为低通滤波。

在频域实现线性低通滤波器输出的表达式为 图像频域低通滤波流程框图

由卷积定理可知: G(u,v)=H(u,v)F(u,v) 其中F(u,v)是含有噪声图像的傅里叶变换，G(u,v)是平滑处理后的图像之傅里叶变换，H(u,v)是传递函数。选择传递函数H(u,v),使F(u,v)的高频分量得到衰减，得到G(u,v)后再经反傅里叶变换就可以得到所希望的平滑图像g(x,y)。

常用的低通滤波器 四种频域低通滤波器传递函数H(u,v)的剖面图

1．理想低通滤波器 H(u,v)对u,v来说是一幅三维图形。H(u,v)特性如下图所示。

所谓理想低通滤波器，是指以截频D0为半径的圆内的所有频率都能无损地通过，而在截频之外的频率分量完全被衰减。理想低通滤波器可以用计算机模拟实现，但却不能用电子元器件来实现。 理想低通滤波器平滑处理的概念是清晰的，但在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。这种现象正是由于傅里叶变换的性质决定的。

由卷积定理可知在空域中则是一种卷积关系， 即 g(x,y)=h(x,y)*f(x,y) 式中g(x,y)，h(x,y)，f(x,y)分别是G(u,v)，H(u,v)，F(u,v)的傅里叶反变换。 既然H(u,v)是理想的矩形特性，那么它的反变换h(x,y)的特性必然会产生无限的振铃特性。

经与f(x,y)卷积后则给g(x,y)带来模糊和振铃现象，D0越小这种现象越严重，当然，其平滑效果也就较差。这是理想低通不可克服的弱点。

2．Butterworth低通滤波器

Butterworth低通滤波器又称最大平坦滤波器。它与理想低通滤波器不同，它的通带与阻带之间没有明显的不连续性。也就是说，在通带和阻带之间有一个平滑的过渡带。通常把H(u,v)下降到某一值的那一点定为截止频率D0。

　　如果把H(u,v)下降到原来值的1/2时的D(u,v)定为截频点D0。一般情况下常采用下降到H(u,v)最大值的(1/2)1/2 那一点为截频点。这样，可把式低通滤波器的传递函数修改为下式的形式：

Butterworth低通滤波器H(u,v)如下图所示。

　　与理想低通滤波器的处理结果相比，经Butterworth滤波器处理过的图像模糊程度会大大减少。因为它的H(u,v)不是陡峭的截止特性，它的尾部会包含有大量的高频成份。另外，经Butterworth低通滤波器处理的图像将不会有振铃现象。这是由于在滤波器的通带和阻带之间有一平滑过渡的缘故。另外，由于图像信号本身的特性，在卷积过程中的折迭误差也可以忽略掉。由此可知，Butterworth 低通滤波器的处理结果比理想滤波器为好。

3．指数低通滤波器 在图像处理中常用的另一种平滑滤波器是指数低通滤波器。它的传递函数如下式表示： 　　在图像处理中常用的另一种平滑滤波器是指数低通滤波器。它的传递函数如下式表示： 式中D0为截止频率，D(u,v)的值由下式决定： D(u,v)=[u﹢v]1/2 式中的n是决定衰减率的系数。从式中可见，如果D(u,v)= D0，则 H(u,v)=1/e

如果仍然把截止频率定在H(u,v)最大值的 （1/2）1/2处，那么，公式可作如下修改： 指数低通滤波器传递函数图如下图所示。

由于指教低通滤波器有更快的衰减率，所以，经指数低通滤波的图像比Butterworth低通滤波器处理的图像稍模糊一些。由于指数低通滤波器的传递函数也有较平滑的过渡带，所以图像中也没有振铃现象。

4．梯形低通滤波器 梯形低通滤波器传递函数的形状介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波器之间。 它的传递函数由下式表示：

其中D(u,v)=[u﹢v]1/2，在规定D0 和D1 时要满足D0＜D1的条件。 梯形低通滤波器传递函数的示意图如下图所示。

由于梯形滤波器的传递函数特性介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带滤波器之间，所以其处理效果也介于其两者中间。梯形滤波法的结果有一定的振铃现象。

频域低通滤波举例 （a）高斯噪声后的图像 （b）巴特沃斯低通滤波后的图像 （c）指数低通滤波后的图像 （d）梯形低通滤波后的图像

5.4.2 高通滤波器 由于图像中的边缘、线条等细节部分与图像频谱中的高频分量相对应，在频域中用高通滤波器处理，能够使图像的边缘或线条变得清晰，图像得到锐化，。高通滤波器衰减傅立叶变换中的低频分量，通过傅立叶变换中的高频信息。 因此采用高通滤波的方法让高频分量顺利通过，使低频分量受到抑制，就可以增强高频的成分 。

图像的边缘、细节主要在高频，图像模糊是由于高频成分较弱产生的。为了消除模糊，突出边缘，可以采用高通滤波的方法，使低频分量得到抑制，从而达到增强高频分量，使图像的边沿或线条变得清晰，实现图像的锐化。

四种频域高通滤波器传递函数H(u,v)的剖面图 常用的高通滤波器 四种频域高通滤波器传递函数H(u,v)的剖面图

1．理想高通滤波器 滤波器转移函数 : 透视图和剖面图:

2．巴特沃斯高通滤波器 n阶高通具有D0截止频率的Butterworth高通滤波器滤波函数定义如下 :

3．指数型高通滤波器 具有截止频率为D0的指数高通滤波函数的转移函数定义为：

4．梯形高通滤波器 梯形高通滤波器的滤波函数由下式给出：

四种高通滤波器比较 理想高通有明显振铃，图像的边缘模糊不清。 Butterworth高通效果较好，振铃不明显，但计算复杂。 梯形高通的效果是微有振铃、但计算简单，故较常用。

频域高通滤波法举例

5.4.3 带阻带通滤波器 低通滤波和高通滤波分别消除或减弱图像中的高频和低频分量。 实际应用时，也可通过滤波消除或减弱图像中的某个频段范围内的分量，这种滤波器称为带阻滤波器。 与带阻滤波器密切相关的是带通滤波器。

1．带阻滤波器 带阻滤波器阻止一定范围内的信号通过而允许其它频率范围内的信号通过。 若使得频率范围的下限为0（上限不为），则带通滤波器称为了高通滤波器；上下限相反的话，则成为了低通滤波器。换句话说，高通滤波器和低通滤波器是带阻滤波器的特例。 用以消除频率原点为中心的邻域的带阻滤波器是放射对称的。

此放射对称的理想带阻滤波器的转移函数是： 其中W为带的宽度， 为放射中心。

常用的两个反射对称的带阻滤波器的转移函数是n阶巴特沃斯带阻滤波器和高斯带阻滤波器，它们的转移函数分别为

2．带通滤波器 通滤波器和带阻滤波器是互补的，如果设 为带阻滤波器的转移函数，那么对应的带通滤波器 只需将 翻转即可，有此得其传递函数为： 通滤波器和带阻滤波器是互补的，如果设 为带阻滤波器的转移函数，那么对应的带通滤波器 只需将 翻转即可，有此得其传递函数为： 低通滤波器和高通滤波器也可以看作是带通滤波器的特例。

5.4.4 同态滤波器 一幅图像f(x,y)能够用它的入射光分量和反射光分量来表示，其关系式如下 f(x,y)=i(x,y)r(x,y) 该模型可作为频率域中同时压缩图像的亮度范围和增强图像的对比度的基础。 但在频率域中不能直接对照度场和反射系数场频率分量分别进行独立的操作。　　　　

如果定义： 则有: 或者 这里I(u,v)以及R(u,v)分别是lni(x,y)和 lnr(x,y)的傅里叶变换。 同态滤波方法就是利用上式的形式将图像中的照明分量和反射分量分开。这样同态滤波函数就可以分别作用在这两个分量上。

图像中的照明分量往往具有变化缓慢的特征，而反射分量则倾向于剧烈变化，特别在不同物体的交界处。由于这种持征，图像的自然对数的傅里叶变换的低频分量与照明分量相联系，而其高频分量则与反射分量相联系。 同态滤波处理过程如下所示: H(u,v)要对图像中的低频和高频分量有不同的影响，所以称为同态滤波.

同态滤波器函数的径向剖面图

同态滤波效果图

5.5 空域技术与频域技术 图像增强可通过对图像空域和频域的操作技术来实现，二者存在密切的关系。 5.5 空域技术与频域技术 图像增强可通过对图像空域和频域的操作技术来实现，二者存在密切的关系。 一方面，很多空域增强技术可借助频域概念分析和帮助设计； 另一方面，很多空域增强技术可转化到频域来实现，而很多频域增强技术也可转化到空域来实现。

1．空域技术的频域分析 空域滤波主要包括平滑滤波器和锐化滤波器。 平滑滤波器是滤除不规则的噪声或干扰的影响。从频域角度看，不规则噪声具有较高的频率，所以，可用具有低通能力的频域滤波器来滤除。 空域的平滑滤波器对应频域的低通滤波器。 锐化滤波是要增强图像边缘和轮廓处的强度，所以，可用具有高通能力的频域滤波器来增强。 空域的锐化滤波器对应频域的高通滤波器。

空域增强时，图像和模板间的运算是一种卷积运算，由卷积定理，频域里图像的傅里叶变换和模板的傅里叶变换间的对应运算是乘法运算。 频域里低通滤波器的转移函数应该对应空域里平滑滤波器的函数模板的傅里叶变换，也可以说，对频域里低通滤波器的转移函数进行傅里叶反变换就能得到空域里平滑滤波器的模板函数。 频域里高通滤波器的转移函数应该对应空域里锐化滤波器的模板函数的傅里叶变换，或对频域里高通滤波器的转移函数求傅里叶反变换即可得到空域里锐化滤波器的模板函数。

2．空域或频域技术的选择 空域和频域的滤波器组成傅里叶变换对。 如果两个域内的滤波器具有相同的尺寸，那么借助快速傅里叶变换在频域中进行滤波一般效率更高。 在空域常可使用较小的滤波器来达到相似的滤波效果，那么计算量也有可能反而较小。

在频域中分析图像的频率成分与图像的视觉效果间的对应关系比较直观。 在实际中常先在频域对滤波器进行设计，然后对其进行反变换，得到空域中对应的滤波器，再借此结果指导对空域滤波器模板的设计。 空域滤波在具体实现上和硬件设计时都有一些优点。

频域技术和空域技术还是有一些区别的。 空域技术中无论使用点操作还是模板操作，每次都只是基于部分像素的性质； 频域技术每次都利用图像中所有像素的数据，具有全局的性质，有可能更好地体现图像的整体特性，如整体对比度和平均灰度值等。