1. 动量定理 §2-5 第二定律积分形式一：动量定理 §2-5 第二定律积分形式一：动量定理 微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动量定理与动能定理。 1. 动量定理 重写牛顿第二定律的微分形式 考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分 航天飞机
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。 动量定理 左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。 于是得到积分形式 这就是动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 动量定理的几点说明： (1)冲量的方向： 冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。
打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。 动量定理 (2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程 (3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。 打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。 动量定理 (4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其使用范围是惯性系。 (6)动量定理在处理变质量问题时很方便。 h 例题2-6 质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s， (2)=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。 解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：
解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 动量定理 解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。 初状态动量为 末状态动量为0 得到 解得 代入M、h、的值，求得： (1)
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。 动量定理 (2) 解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。 重力作用时间为 支持力的作用时间为 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即 得到解法一相同的结果
解：以物体A和B为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图： 动量定理 例题2-7 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及的M物体A和B， M大于m。B静止在地面上，当A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。 解：以物体A和B为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图： M m B A h B A 绳子刚好拉紧前的瞬间，物体A的速度为： 取竖直向上为正方向。
绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到： 忽略重力，考虑到绳不可伸长，有： 解得： 当物体B上升速度为零时，达到最大高度
2. 变质量物体的运动方程 物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并后的共同速度如图所示： 动量定理 2. 变质量物体的运动方程 物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并后的共同速度如图所示： 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为： 初始时刻 m dm m+dm 末时刻
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题， 变质量问题 对系统利用动量定理 变质量物体运动微分方程 略去二阶小量，两端除dt 值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题， 为尾气推力。
变质量问题 用火箭发射卫星
变质量问题的处理方法 (1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力 (5)应用动量定理求解 例1：匀加速提柔软链条 例2：装煤车的牵引力
变质量问题的处理方法 (1) 确定研究系统 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力 (5)应用动量定理求解 例1：匀加速提柔软链条 例2：装煤车的牵引力
以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐标系。 变质量问题 例1：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。 解： 以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐标系。 t时刻，系统总动量 X O
变质量问题 系统动量对时间的变化率为： t时刻，系统受合外力 O X 根据动量定理，得到
变质量问题 系统动量对时间的变化率为： t时刻，系统受合外力 O X 根据动量定理，得到
车和煤为系统,向下为Y正向，向左为X正向，建立坐标系。 变质量问题 例2：列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为m0,煤炭以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为。假设列车与轨道间的摩擦系数为,列车相对于地面的运动速度v2保持不变,求机车的牵引力。 X Y 解： 车和煤为系统,向下为Y正向，向左为X正向，建立坐标系。 tt+dt时刻，dm = dt
变质量问题 竖直 X Y 水平
变质量问题 竖直 X Y 水平