数学第二轮专题复习第一部分 专题四 特殊与一般的思想方法

特殊与一般的思想方法 知识概要 ＞＞ 03 考题剖析 ＞＞ 05 规律总结 ＞＞ 21

特殊与一般的思想方法 知识概要 1.由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过 程就是数学研究中特殊与一般的思想. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 知识概要 2. 由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置.在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，突出体现了特殊化方法的意义与作用.如通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题等等. ←返回目录

考 题 剖 析 ←返回目录

特殊与一般的思想方法 A ←返回目录 考题剖析 1.（2007·湖南岳阳市）数列{an}中，若a1= , an= (n≥2,n∈N),则a2007的值为（ ） A.－1 B. C.1 D.2 A ［解析］ ∵a1= ,an= (n≥2,n∈N) 则当n＝２时，a2= = =2，当n＝３时，a3= = =－1， 当n＝４时，a4= = = ，同理a5=2,a6=－1,… 所以数列{an}是一个周期数列且T＝３，故a2007＝a3=－1. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 考题剖析 ［点评］ 本题考查归纳、猜想思想方法.要求考生结合试题领悟“特殊与一般”的思想，首先通过特例探索，发现规律，然后利用这一规律来解题. 对于求递推关系给出的数列某一项的问题，常见解法一是直接求通项再用通项来求某一项，二是直接将数列按顺序写出，三是写出部分项发现规律用规律得出结论. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 ←返回目录 考题剖析 2.（2007·江苏常州市）如果函数y＝sin2x+acos2x的图象关于 ［解析］解法1：因为函数f (x)＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=－ 对称，则f (x)=f (－ －x) 即sin2x+acos2x＝sin2(－ －x)+acos2(－ －x) 得sin2x+acos2x＝－cos2x－asin2x恒成立 所以（１＋a）(sin2x+cos2x)=0恒成立， 则必有１＋a＝０ 所以a＝－１ ←返回目录

特殊与一般的思想方法 ←返回目录 考题剖析 解法2：因为函数f(x)＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=－ 对称，所以f (x)=f (－ －x)，取 x＝0,则f(０)=f(－ ) 即有a＝－１ 解法3：函数y＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=－ 对称， 则函数在x=－ 处取得极值， 又y′=2cos2x－2asin2x 所以y′|x=－ =2cos2(－ )－2asin2(－ )＝０ 得a＝－１ ［点评］ 本题主要考查三角函数的对称性问题，若函数f（x)的图象关于直线x＝a对称，则恒有f(x)=f(2a－x)成立，但作为填空题，可以取特值进行运算. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 考题剖析 3.（2007·湖南雅礼三月模拟）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.①f(x)=p·qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=x(x－q)2+p.（以上三式中p,q均为常数，且q>1）. (Ⅰ)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？ (Ⅱ)若f(0)=4,f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数的定义域是［0,5］，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，以此类推）； （Ⅲ）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 ←返回目录 考题剖析 ［解析］ (Ⅰ)应选f(x)=x(x－q)2+p. 因为①f(x)=p·qx是单调函数； ②f(x)=px2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征； ③f(x)=x(x－q)2+p中,f ′(x)=3x2－4qx+q2, 令f ′(x)=0，得x=q,x= , f (x)有两个零点.可以出现两个 递增区间和一个递减区间. ←返回目录

(Ⅱ) 由f(0)=4,f(2)=6得： 特殊与一般的思想方法 ←返回目录 考题剖析 解之得 （其中q=1舍去）. ∴函数f(x)=x(x－3)2+4，即f(x)=x3－6x2 + 9x + 4（0≤x≤5） （Ⅲ）由f ′(x) ＜0，解得1＜x＜3 , ∴函数f(x)=x3－6x2 + 9x + 4在区间（1，3）上单调递减， ∴这种果品在5月，6月份价格下跌. ［点评］本题是一个简单的数学建模问题，主要考查函数知识在实际生活中的运用，也是特殊与一般思想在生 活中的运用. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 ←返回目录 考题剖析 ４.（2007·河北省唐山市） 设函数fn(x)=1－x+ － +…－ , n∈N* （Ⅰ）研究函数f2(x)的单调性； （Ⅱ）判断fn(x)=0的实数解的个数，并加以证明. ［解析］ （Ⅰ）f2 (x) = 1－x + － , f ′2 (x) = －1 + x－x2 = －(x－ )2－ < 0 所以f2(x)在(－∞,+∞)单调递减. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 ←返回目录 考题剖析 （Ⅱ）f1(x)=1－x有唯一实数解x=1. 由 f2(0)=1>0, f2(2)=1－2+ － <0，以及f2(x)在(－∞,+∞) 单调递减，知f2(x)在(0,2)有唯一实数解，从而f2(x)在 (－∞,+∞)有唯一实数解. 推断fn(x)在(－∞,+∞)有唯一实数解 当n≥2时，由fn(x)=1－x+ － +…－ , n∈N*，得： f ′n (x) = －1 + x－x2 + … + x2n－3－x2n－2 若x=－1，则 f ′n (x) = f ′n (－1) = －(2n－1) < 0 若x=0，则 f ′n (x) = f ′n (0)=－1<0 若x≠－1且x≠0时，则 f ′n (x) = － ←返回目录

特殊与一般的思想方法 考题剖析 当x<－1时，x + 1 < 0,x2n－1 + 1 < 0, f ′n (x) < 0 当x>－1时，x + 1 > 0,x2n－1 + 1 > 0, f ′n (x) < 0 总之f ′n (x) < 0，fn(x)在(－∞,+∞)单调递减. fn(0)=1，又 = = <0 所以fn(x)在(0,2)有唯一实数解，从而fn(x)在(－∞,+∞)有 唯一实数解. 综上，fn(x)=0有唯一实数解. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 考题剖析 ［点评］本题主要考查函数的单调性、导数及连续函数的图象与x轴的交点个数问题.用特殊的函数开路寻找到解题方法,即判断函数是单调的且图象与x轴有交点，然后用一般方法来解题. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 ←返回目录 ５.（2007·全国第二次大联考)已知函数y=f (x)对于任意实数 考题剖析 x，y都有f (x+y) =f (x)+f(y)+2xy . (1)求f(0)的值； (2) 若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想f(n)的表达式 并用数学归纳法证明你的结论(n∈N*)； (3) 若f(1)≥1，求证：f ( )>0 (n∈N*). ［解析］ (1)令x=y=0，则 f(0)=2 f (0)，∴f (0)=0 ←返回目录

特殊与一般的思想方法 ←返回目录 考题剖析 (2) ∵f (1)=1，∴f(2)=2f(1)+2=4， 猜想：f(n)=n2 (n∈N*)，下面用数学归纳法证明： 当n=1时，显然成立. 假设n=k(k∈N*)时成立，则有f(k)=k2 当n=k+1时， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k= k2+1+2k=(k+1)2，结论也成立. 故f(n)=n2 (n∈N*)成立 ←返回目录

特殊与一般的思想方法 ←返回目录 (3)证明：∵f (1)≥1，∴f (1)=2f( )+ ≥1， 考题剖析 假设n=k(k∈N*)时结论成立.即f ( )≥ >0，则： ∴ 即n=k+1时也成立，∴ ←返回目录

特殊与一般的思想方法 ←返回目录 考题剖析 ［点评]本题主要考查抽象函数的有关知识和数学归纳法的运用. 对于抽象函数求值通常是对抽象函数表达式赋特殊的值来求解，但 对于常见的抽象函数表达形式可以类比熟悉的函数进行思考，如f(x) 恒有关系式f(x+y)=f(x)f(y)成立可类比指数函数，f(x)恒有关系式 f(xy)=f(x)＋f(y)成立可类比对数函数等. 数学归纳法往往用于一些与自然数有关问题的解答，观察－归 纳－猜想－证明是一个从特殊到一般的思考过程，也是一个严格而 科学的探索问题和解决问题的过程，是思考问题的通常方法，对这 种方法在高考中考查十分常见. ←返回目录

规 律 总 结 ←返回目录

特殊与一般的思想方法 规律总结 1.特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种重要的数学思想方法，对于一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定问题都可考虑运用特殊与一般的思想方法去探求解题途径. 2.对于递推数列问题，采用“归纳——猜想——证明”的方法去解决问题，首先通过特例探索、发现一般规律，然后再用这个规律来解决其他特殊问题，这是特殊与一般思想最常见的应用之一. 3.对于某些特殊的问题，如求值、比较大小等，要注意研究其数量特征，发现一般模型，再由一般解决特殊. ←返回目录

特殊与一般的思想方法 规律总结 4.抽象函数问题，一是常联想具体的、熟知的函数，实现抽象向具体的转化，二是通过赋值，把抽象问题具体化. 5.对于某些“信息迁移题”，常从简单情形做起，通过观察、归纳和类比，进行合乎逻辑的推理，得到一般的规律，再用来解决相应问题.这种题型对阅读理解能力要求较高，对“一般与特殊”的辩证关系的理解和掌握要达到较高的层次. ←返回目录