电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力 第二章 静电场 主 要 内 容 电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力 1. 电场强度 2. 真空中静电场方程 3. 电位与等位面 4. 介质极化 5. 介质中的静电场方程 6. 两种介质的边界条件 7. 介质与导体的边界条件 8. 电容 9. 电场能量 10. 电场力

真空中静电场的基本规律 静电场：由静止电荷产生的电场。 重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用。 库仑定律与电场强度 2 真空中静电场的基本规律 静电场：由静止电荷产生的电场。 重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用。 库仑定律与电场强度 1. 库仑（Coulomb）定律(1785年) 真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:

3 电场力服从叠加定理 真空中的N个点电荷 （分别位于 ） 对点电荷 （位于 ）的作用力为 q4 q3 q q5 q2 q7 q6 q1

根据上述定义，真空中静止点电荷q 激发的电场为 4 2. 电场强度 电场强度矢量 —— 描述电场分布的基本物理量 ——试验正电荷 根据上述定义，真空中静止点电荷q 激发的电场为 如果电荷是连续分布呢？

5 体密度为 的体分布电荷产生的电场强度 小体积元中的电荷产生的电场 面密度为 的面分布电荷的电场强度 线密度为 的线分布电荷的电场强度

1. 电场强度 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。 式中,q 为试验电荷的电荷量;F 为电荷q 受到的作用力。 电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以  表示，即

电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。 定义曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，这种曲线称电场线 电场管 电场线方程 几种典型的电场线分布   带电平行板  正电荷  负电荷 电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。

2. 真空中静电场方程 实验表明，真空中静电场的电场强度 E 满足下列两个积分形式的方程 式中，0 为真空介电常数。

此式称为高斯定律。它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电荷量与真空介电常数之比。 此式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。

根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度分别为 左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。 真空中静电场是有散无旋场。

已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度E 应为 x P z y r O

已知 求得 因此 标量函数 称为电位。因此，上式表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。

按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为 将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为

若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度 S 及线密度l 的关系分别为

静电场几个重要特性 （1）高斯定律中的电荷量q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正、负电荷的总和。 （2）静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。 （3）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关，它是一种保守场。

（4）若电荷分布已知，计算静电场的三种方法是： 利用高斯定律计算电场强度 通过电位求出电场强度 直接根据电荷分布计算电场强度

简捷计算条件： 可以提到积分号以外，使积分方程简化为代数方程 17 5. 利用高斯定律简捷计算电场强度的条件 简捷计算条件： 可以提到积分号以外，使积分方程简化为代数方程 什么情况下， 可以提到积分号以外？ 在S上均匀分布时！或积分结果已知时！ 什么问题，具有这种特性呢？ 具有对称性的问题! 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等 均匀带电球体 带电球壳 多层同心球壳

轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。 18 轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。 无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。 (b) (a)

解 利用高斯定律求解。取中心位于点电荷的球面为高斯面，得 例1 计算点电荷的电场强度。  x z y 高斯面 解 利用高斯定律求解。取中心位于点电荷的球面为高斯面，得 上式左端积分为 得 或

若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度E 为 也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时， 。那么点电荷的电位为 求得电场强度 E 为 若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度E 为

解 由于电位及电场强度均与电荷量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为 z 例2 计算电偶极子的电场强度。 解 由于电位及电场强度均与电荷量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为   x –q +q z y l r r– r+  O

若观察距离远大于间距 l ，则可认为 , ，那么 z r 求得 式中，l 的方向规定由负电荷指向正电荷。 x –q +q y l r– r+   x –q +q z y l r r– r+  O 求得 式中，l 的方向规定由负电荷指向正电荷。

乘积 q l 称为电偶极子的电矩，以 p 表示，即 已知 ，求得电偶极子的电场强度为 可见电偶极子的 ， ，而且两者均与方位角 有关。

电偶极子的电场线和等位线

例3 设半径为a，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱内、外的电场强度。 x z y a L  S1 选取圆柱坐标系，由于场量与 z 坐标无关，且上下对称，因此电场强度一定垂直于 z 轴。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度  无关。 因此，可以利用高斯定律求解。

x z y a L  S1 取半径为 r ，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律，得 因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为

当 r < a 时，则电荷量q 为 , 求得电场强度为

a2 可以认为是单位长度内的电荷量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为a2 的线电荷产生的电场。 因此线密度为 的无限长线电荷的电场强度为 由上可见，对于无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。

例4 求长度为L，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。 解 令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角 无关。 x z y r 2 1  O 因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律，必须直接求积。

x z y r 2 1  O 因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点P 位于yz平面，即 ，那么 考虑到

求得 当长度 L   时，1  0，2 ，则 此结果与例3 完全相同。

例 5 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。 32 例 5 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。 解： P(0,0,z) b r R y z x 均匀带电的环形薄圆盘 dS a 场点： 源点： 由于 由于

例 6 求真空中均匀带电球体产生的电场。已知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。 33 例 6 求真空中均匀带电球体产生的电场。已知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。 解：（1）球外某点的场强 a r 0 E ( r ≥ a ) （2）求球体内一点的场强 （r < a）

列7：氢原子处于基态，其电子电荷（总电量为-e）均匀地分布在半径为a的球内，核电荷集中在球心，求原子中总电场和电位分布，并分别画出分布示意图。 解： 根据高斯定理： 电子产生的电荷密度为： 加上核电荷的影响：

氢原子电场、电位分布示意图

电位的物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。 3. 电位与等位面 电位的物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。 这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电位差，或者说是以无限远处作为参考点的电位。 任取一点可以作为电位参考点。 当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。

电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是，任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参考点的选择不会影响电场强度的值。 电位的数学表示 式中，q 为电荷量；W 为电场力将电荷 q 推到无限远处所作的功。

若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。 电位相等的曲面称为等位面，其方程为 式中常数 C 等于电位值。 由于 ，电场线与等位面处处保持垂直。 若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。

几种电场线和等位面的分布   电场线 E  等位面

媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。 4. 介质极化 导体中的电子称为自由电子，其电荷称为自由电荷。介质中的电荷不会自由运动，因此称为束缚电荷。 媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。   无极分子 有极分子 1）在外加电场作用下，电介质会产生极化现象： 无极分子发生为位移极化 有极分子发生取向极化 2）极化程度的大小，由介质内 电偶极矩的多少决定 结 论 有极分子 无极分子   Ea

介质极化现象是逐渐形成的。自外电场Ea 加入发生极化后，一直达到动态平衡的过程如下图所示。 合成场Ea+ Es 介 质 极 化 二次场Es

42 极化强度矢量 定义：单位体积中电矩的矢量和，即 无极分子 有极分子 有外加电场   E

讨 论 1）介质没有外场作用时 对于无极分子： 2）介质在外场作用下 且 对于有极分子： 其中，n 为单位体积内受极分子数 无极分子  43 讨 论 1）介质没有外场作用时 对于无极分子： 2）介质在外场作用下 且 对于有极分子： 其中，n 为单位体积内受极分子数 无极分子   有极分子 无外加电场   E

结 论 1） 极化强度的大小与介质材料有关 2） 极化强度的大小也与外加电场强度 有关 介质极化后，将在空间中产生额外的电场 44 结 论 1） 极化强度的大小与介质材料有关 2） 极化强度的大小也与外加电场强度 有关 介质极化后，将在空间中产生额外的电场 介质内外空间中的总电场 为 实验发现： 对于线性、各向同性介质， 与 成正比，即 其中， 称为介质的极化率

可见，极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。 另一类介质的极化强度P与电场强度 E 的关系可用下列矩阵表示 可见，极化特性与电场强度方向有关，这类介质称为各向异性介质。

电离层 1000km O3 平流层 60km 对流层 12km

12. 等离子体中的平面波 等离子体是一种电离气体，它由带负电的电子，带正电的离子以及中性分子组成，由于电子与离子数目相等，因此称为等离子体。位于地球上空 60 ~ 2000 km 处的电离层就是等离子体。 等离子体在恒定磁场作用下，显示电各向异性的特点，即其介电常数可能多至 9 个分量。 在地球磁场的作用下，位于地球上空的电离层的介电常数为 地球的磁通密度大约为0.03~0.07mT。

进一步分析还表明，平面波的极化方向也会发生偏转。 电离层 平面波进入电离层后将被分裂为两条不同路径传播，形成两个折射波，这种现象称为双折射现象。 地 球 进一步分析还表明，平面波的极化方向也会发生偏转。 E(t1) E(t2)

Pr:Y2SiO5的结构 Y2SiO5： 单斜双轴晶系 两个光轴 包含两个畸变的八面体Y格位和一个畸变的四面体Si格位。 空间点群： a=10.410Ao a b b=6.721Ao c=12.490Ao c β=102.039o 两个光轴 包含两个畸变的八面体Y格位和一个畸变的四面体Si格位。 YI : Y–O distance:2.309 A ˚ YII: Y–O distance: 2.269 A ˚ 空间点群：

空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质。 极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质，否则，称为非线性介质。 因此，若极化率是一个正实常数，则适用于线性均匀且各向同性的介质。若前述矩阵的各个元素都是一个正实常数，则适用于线性均匀各向异性的介质。

极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否则称为运动媒质。 介质的均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。 各向异性的介质能否是均匀的？是 非均匀介质能否是各向同性的？是 非均匀指的是分布，各项同性和各项异性指的是和电场方向

可以证明，极化电荷产生的电位为 式中，极化强度 与极化电荷的关系为 极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部不均匀，在介质内部出现体分布的束缚电荷。这些面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。 可以证明，极化电荷产生的电位为 式中，极化强度 与极化电荷的关系为

可见，总面极化电荷为 再利用散度定理，求得内部总体极化电荷为 可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的。

式中， q 为自由电荷； 为束缚电荷。那么 令 ，求得 此处定义的 D 称为电通密度。 5. 介质中的静电场方程 5. 介质中的静电场方程 在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为 式中， q 为自由电荷； 为束缚电荷。那么 令 ，求得 此处定义的 D 称为电通密度。

可见，介质中穿过任一闭合面的电通密度的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。 上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用散度定理不难推出其微分形式为 该式表明，某点电通密度的散度等于该点自由电荷的体密度。

电通密度线方程 用电通密度线围成电通密度管。 电通密度也可用一系列曲线表示，电通密度线的定义与电场线完全相同。 电通密度管轴线 电通密度线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。

已知各向同性介质的极化强度 ，求得 令 则 式中， 称为介质的介电常数。 由于 ， 因此 ？

相对介电常数 r 定义为 >1 几种介质的相对介电常数 r 介 质 空 气 1.0 石 英 3.3 油 2.3 云 母 6.0 纸 1.3~4.0 陶 瓷 5.3~6.5 有机玻璃 2.6~3.5 纯 水 81 石 腊 2.1 树 脂 聚乙烯 聚苯乙烯 2.6 r

各向异性介质的电通密度与电场强度的关系为 可见，各向异性介质中，电通密度和电场强度的关系与外加电场的方向有关。 均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线性介质的介电常数与电场强度的大小无关。静止介质的介电常数与时间无关。

对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得 可见，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只需将0 换为 即可。 上式中 q ,  是什么电荷？

例：空气中半径为a，介电常数为 的介质球，其中充满密度 为Ruo0的电荷，试求 （1）介质球内外的E和P （2）介质球内束缚电荷体密度和介质球表面的束缚电荷密度 解： 利用： 得到：当r<a时： 当r>a时

(2) 介质球中：当r<a时 介质球表面

通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。 6. 两种介质的边界条件 由于介质的特性不同，引起场量在两种介质的分界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边界条件。  1  2 en et 通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。 n — normal t — tangential

为了求出边界上的场量关系，必须令 h  0，则线积分 ① 电场强度的切向分量。 围绕某点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为l，高度为h，则电场强度沿该矩形曲线的环量为 E2 E1 et  1  2 1 3 2 4 l h 为了求出边界上的场量关系，必须令 h  0，则线积分

此式表明，在两种介质的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，或者说，电场强度的切向分量是连续的。 为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够短，以至于在 l 内可以认为场量是均匀的，则上述环量为 已知 , 得 此式表明，在两种介质的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，或者说，电场强度的切向分量是连续的。

此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电通密度的切向分量是不连续的。 已知各向同性的线性介质， ，得 此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电通密度的切向分量是不连续的。 ② 电通密度的法向分量。 围绕某点作一个圆柱面，其高度为h，端面为S。那么  1  2 en D2 D1 h S

边界法线的方向en规定为由介质①指向介质②。 h S  1  2 en D2 D1 ② ① 当 h0 ，则通过侧面的通量为零，又考虑到 S 必须足够小，则上述通量应为 边界法线的方向en规定为由介质①指向介质②。 求得 式中， S 为边界上自由电荷的面密度。

在两种介质的边界上不可能存在表面自由电荷，因此 此式表明，在两种介质边界上电通密度的法向分量相等，或者说，电通密度的法向分量是连续的。 对于各向同性的线性介质，得 可见，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的法向分量不连续。 还可证明

7. 介质与导体的边界条件 ⊕ E E = 0 ⊕ E 静电平衡 导体 E' E' + E = 0 7. 介质与导体的边界条件 静电平衡 ⊕ ㊀ E' + E = 0 E E = 0 导体 ⊕ ㊀ E' E 可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可能存在自由电荷。处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。

因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的电位梯度为零。所以，处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。 既然导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面，即 介质 E, D 导体 en

导体表面存在的自由电荷面密度为 或写为 式中， 为导体周围介质的介电常数。 已知导体表面是一个等位面，因 ，求得 已知导体表面是一个等位面，因 ，求得 考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表面束缚电荷面密度为

边界条件  1  2 en D2 D1 E2 E1  1  2 et 介质 E, D 导体 en

静电屏蔽 ⊕ ㊀ ⊕ ㊀   E = 0 E = 0 ⊕ ㊀ ⊕ ㊀ E = 0 E  0

试求：① 各区域中的电场强度； ② 各个表面上的自由电 荷和束缚电荷。 可以应用高斯定律求解吗? 例 已知半径为 r1 的导体球携带的正电荷量为q，该导体球被内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4 ，介电常数为2 ，外部区域为真空，如左下图所示。 试求：① 各区域中的电场强度； ② 各个表面上的自由电 荷和束缚电荷。  0  2 r2  1 r3 r1 r4 可以应用高斯定律求解吗?

解 在 r < r1及 r2< r < r3 区域中 E = 0 ？  0  2  1 ？ 在 r1< r < r2 区域中 同理，在 r3< r < r4 区域中，求得 在 r > r4 区域中，求得 注意，各区域中的介电常数不同！

根据 及 ，分别求得 r = r1: r1 r2 r3 r4  0  2  1 r = r2: r = r3: r = r4:

2014年考题：

实际中，使用 F（微法）及 pF（皮法）作为电容单位。 8. 电容 由物理学得知，平板电容器的电容为 电容的单位 F（法拉）。 C地球 F 实际中，使用 F（微法）及 pF（皮法）作为电容单位。

设：内导体带电量为q，外导体球壳带电量为-q。则空间各处电场为： 例 已知金属球的内导体半径为 a，外导体的内半径为b，,外壳半径为c， 内、外导体之间填充介质的介电常数为  0。试求单位长度内、外导体之间的电容。 设：内导体带电量为q，外导体球壳带电量为-q。则空间各处电场为： a b  导体球与导体球壳之间的电压为：

由于球与球壳分别带+q和-q电荷，电场完全分布与球与球壳之间。R>b时，电场出处为0，因此，球壳相当于接地，球壳对地没有电容。 导体球与球壳之间的电容为： 由于球与球壳分别带+q和-q电荷，电场完全分布与球与球壳之间。R>b时，电场出处为0，因此，球壳相当于接地，球壳对地没有电容。 a b  对于一般情况下，导体球带电荷q1，导体球壳电荷q2，则系统中各处电场为：

系统中各处电场为： 导体球上的电位： a b  导体球上的电位：

表明导体球之间有电位差，导体球与无穷远处，导体球壳与无穷远处也有电位差，因此不仅导体球与导体球壳之间有电容，导体球与无穷远处，导体球壳与无穷远处也有电容。 为了描述这种具有多个电容系统，定义电位系数P，则可以将电位表示为： 电位系数P（V/C),仅与导体系统的尺寸，结构和周围介电常数有关

比较三个电位公式：得 可见：P12=P21 可以将上式中的q用电容系数β表示及电位表示：

β11、 β22为电容系数， β12， β21为感应系数 通过线性代数[β]-1=[P]. 为了表示系统中各个导体之间的电容关系，需要用导体的 电位及导体间的电位差来表示电荷q，因此上式可表示为：

上式另可表示为： 可以求出：

C12和C21给出的是导体球和球壳之间的互电容，C22给出的是导体球壳和地之间的自电容： 导体球的自电容C11=0，并不表明导体球与地之间的电容为0，有左图可以看出，自电容C11为0的情况下，导体球与地之间的电容等于C12与C22的串联。 C11=0？？

C11=0？？因为C11是该导体系统中金属球的自电容，它是在该导体系统中金属球的对地电容。 由于金属球被同心金属球壳所封闭，因此，能在金属球与地直接相连的电场为0，即这一部分的储存电能为0. 注意：不要把此时的C11与孤立金属球对地电容相混淆。 下面我们讨论在开放系统底下，C11的取值。

例:自由空间有半径为a1，a2的两个金属球，两球心间的距离为d 且d>>a1，a2.试求该导体系统的互电容和自电容。 当d>>a1,a2, 两个球几乎成为孤立的导体球，从而， C11和C22变成了孤立金属球的电容表达式，互电容为0.

各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为 多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关。 q1 q3 qn q2 || 各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为 式中，Cii 称为固有部分电容；Cij 称为互有部分电容。

例 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为b， 内、外导体之间填充介质的介电常数为  。试求单位长度内、外导体之间的电容。 能否应用高斯定律求解?

解 设内导体单位长度内的电荷量为q，围绕内导体作一个单位长度圆柱面作为高斯面S，则 a b  那么内、外导体之间的电位差 U 为 因此单位长度内的电容为

9. 电场能量 电场力作功，需要消耗自身的能量，可见静电场是具有能量的。 v ㊉ E ㊉ F 9. 电场能量 电场力作功，需要消耗自身的能量，可见静电场是具有能量的。 ㊉ E v ㊉ F ㊉ 外力反抗电场力作功，此功将转变为静电场的能量储藏在静电场中。 ㊉ E 根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。

9. 电场能量 在一个由点电荷q1产生的电场中，将另一个电荷q2由无穷远处 移至距点电荷q1为R12处时，外力反抗电场所做的功为： 表示由点电荷q1在点电荷q2处产生的电位。 同样，在点电荷q2产生的电场中，将电荷q1由无穷远处移至距点电荷q2为R21处时，外力反抗电场所做的功为： 表示由点电荷q2在点电荷q1处产生的电位。

9. 电场能量 在线性介质中，外力做功的大小与电荷的建立方式无关，所以 上面两种移动方式做功相等，即W1=W2.在q1、q2构成的系统中 ，得到N=2系统的电场能量为：

9. 电场能量 如果在此系统中再将另一个点电荷q3由无穷远处移动到距离q1 为R13，距离q2为R23处，则移动电荷q3外力所作的功为： 表示由q1和q2在点电荷q3处产生的电位，于是N=3系统能量：

9. 电场能量 N=3系统能量： N=3系统时，q1处的电位 由点电荷q2和q3产生，其余类似。

9. 电场能量 N=3系统能量： 将上式扩展到N点电荷构成的系统： 是除qi之外其他所在的电荷在qi处产生电位：

9. 电场能量 此公式没有包含各个点电荷在自身形成所积累的能量。

求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为 或者为 已知带电体的电位随着电荷荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。 那么当电荷量增至最终值 Q 时，外力作的总功为 已知孤立导体的电位  等于携带的电量 Q 与电容 C 的之比， 即 求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为 或者为

对于 n 个带电体，设每个带电体的电荷量均从零开始，且以同样的比例增长。若周围介质是线性的，则当各个带电体的电荷量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。 设第 i 个带电体的电位最终值为 i，电荷量最终值为 Qi ，若某一时刻第 i 个带电体的电荷量为 qi =  Qi ( < 1)，则电位为

那么当各个带电体的电荷量均以同一比例  增长，外力必须作的功为 当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总电场能为 求得

式中， (r) 为体元 dV、面元 dS、或线元 dl 所在处的电位；积分区域为电荷分布的整个空间。 当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由 ，求得总能量为 式中， (r) 为体元 dV、面元 dS、或线元 dl 所在处的电位；积分区域为电荷分布的整个空间。 从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母 we 表示。

又知 ， 求得 设两个导体携带的电荷量为Q1和 Q2，其表面积分别为 S1和 S2，如下所示。 已知电荷分布在导体的表面上，因此，该系统的总能量为 S2 Q2 Q1 S1 V en 又知 ， 求得

若在无限远处再作一个无限大的球面 S，由于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分 Q2 Q1 S1 V en 那么，上面的储能公式可写为 式中 。

利用散度定理，上式可写 考虑到区域 V 中没有自由电荷，所以 。 又 ，代入上式，求得 由此求得静电场的能量密度

已知各向同性的线性介质， ，代入后得 此式表明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠加原理，即多带电体的总能量并不等于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和。 因为第2个带电体引入系统时，外力必须反抗第1个带电体对第2个带电体产生的电场力而作功，此功转变为电场能量，这份能量称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固有能。

能量计算

已知半径为a，电荷量为 Q 的导体球的电位为 解 可以通过三种途径求解。  Q a ① 通过电位。 已知半径为a，电荷量为 Q 的导体球的电位为

② 通过表面电荷。 已知导体表面是一个等位面，那么积分求得 ③ 通过能量密度。 已知电荷量为 Q 的导体球外的电场强度为 求得

10. 电场力 若上式中 E 为点电荷 q 产生的电场强度，则 式中， 为该点电荷周围介质的介电常数。 10. 电场力 某点电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷 受到的电场力为 若上式中 E 为点电荷 q 产生的电场强度，则 式中， 为该点电荷周围介质的介电常数。

那么，点电荷 q 对于点电荷 的作用力为 库仑定律 式中er 为由 q 指向 的单位矢量。 q q' F

这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。 根据库仑定律可以计算电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的。 为了计算电场力，通常采用虚位移法。 这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。

假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。 以平板电容器为例，设两极板上的电荷量分别为+q 及 – q ，板间距离为 l 。 假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。 dl l – q +q 两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，在上述假定下，求出的作用力应为负值。

式中，下标 “q=常数” 说明发生位移时，极板上的电荷量没有变化，这样的带电系统称为常电荷系统。 已假定作用力 F 导致位移增加，因此，作用力 F 的方向为位移的增加方向。这样，为了产生 dl 位移增量，电场力作的功应为 根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即 式中，下标 “q=常数” 说明发生位移时，极板上的电荷量没有变化，这样的带电系统称为常电荷系统。

已知平板电容器的电容及能量分别为 代入前式 求得平板电容器两极板之间的作用力为 式中，负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。

根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。 如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。 根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。

设正极板的电荷增量为dq，负极板为– dq ，对应的电位分别为  1 及  2 ，则电场能量的增量为 常电位系统 由于位移增加，电容减小，为了保持电位不变，极板电荷一定增加。 dl l –2 +1 U + – 设正极板的电荷增量为dq，负极板为– dq ，对应的电位分别为  1 及  2 ，则电场能量的增量为 式中 为两极板之间的电压。

为了将dq电荷移至电位为1的正极板，将电荷–dq 移至电位为2 的负极板，外源必须作的功为 根据能量守恒定律，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此

已知平板电容器的电容及能量分别为 那么能量为 求得同样结果

例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。 ㊀ ⊕ 表面张力的单位是什么？ N/m

根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即 解 利用虚位移概念。 假定由于极板上的同性电荷相斥产生的表面张力F，使极板面积扩大了dS，则电场力作的功为 根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即

已知平板电容器的能量为 ，代入上式，得 那么将 代入，即可获得同样结果。 已知平板电容器的能量为 ，代入上式，得 若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力F 应为 那么将 代入，即可获得同样结果。

如果将 及 两式中的变量 l 理解为一种广义坐标，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。 单 位 位 移 力 N 面 积 表面张力 N/m 体 积 膨胀力 N/m2 角 度 转 矩 N•m

式中的偏微分符号是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关，l 代表对应于广义力的广义坐标。 若规定广义力的方向为广义坐标增加的方向，那么，广义力与广义坐标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为 式中的偏微分符号是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关，l 代表对应于广义力的广义坐标。

带电系统的能量与多少种广义坐标有关，就存在多少种广义力。 为什么两个公式符号相反？ 如何选用？ 带电系统的能量与多少种广义坐标有关，就存在多少种广义力。 例如平板电容器的能量为 因此存在改变间距 l 的拉力和改变面积 S 的张力。 当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若其能量没有改变，也就不存在使该广义坐标变化的广义力。

例 计算带电肥皂泡的膨胀力。 + 解 设肥皂泡的电荷量为q ，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中的广义坐标 l 代表体积 V，则受到的膨胀力F 为

已知半径为a，电荷量为q 的带电球的电位为 又知球的体积为 求得 如果利用库仑定律，如何计算？

函数及其相关函数 当 因此

可以得到 当R=0，则上述微分不能运算，为了要计算包括R=0的区域中 的值，我们可以令源点P’移动到坐标原点，则位置矢量 r’=0，R=r。 以坐标原点为球心做一个半径为a的球，将函数 对该球进行积分，利用散度定理：

当 若体积V中不包括R=0的原点， 有 根据 函数的定义，有

函数及其相关性质 电荷的分布特性可以用电荷体密度Ruo(r)来表示，一般为空间 坐标连续函数。 但是在电磁场问题中会碰到点电荷的情况，如果将点电荷q也 视为分布电荷时，就会出现一个特殊情况：在点电荷所在处， 其电荷体密度为无穷大，为奇异点。但是对点电荷的电荷密度 进行体积分时，去得到一个有限值q。 为了描述点电荷的这种特殊性质引入了Delta函数

函数的定义 对于单位点电荷，其位置为r’，则任一点（位置矢量为r） 的密度函数为： 表示体积分范围包含了单位点电荷所在的点。

函数的定义 同样对于电荷量为q的点电荷，其密度函数为： 函数，也称为冲激函数，在电子学中，Delta函数可以 描述这样一个脉冲，高度为无穷大，宽度为0，而脉冲面积为1，即

函数的有关性质 1. 函数的筛选性（抽样性） 若f(r)为连续函数，则有： 意义：这是对 的体积分，除了在点电荷所在处（r=r’的奇点） 积分值等于1之外，其余地方为0，因而对 进行体积分，就得到在奇点处该函数的值 。即把奇点处 的函数值 筛选出来。

函数的有关性质 δ函数是一个偶分布 缩放性 δ与x 的分布积等于零：

函数的有关性质 所以在整个积分区域内，其余部分为零，只有以场点(x,y,z)为球心， a为半径的小球体处才对积分有贡献，当 a 足够小时p(x’,y’, z’)可以用场点的p(x, y, z)来代替。