桥梁工程 —精品课程 第3篇 拱桥 土木与建筑工程学院 道桥教研室

第3章 拱桥的设计计算 拱桥的计算 拱轴线的选择与确定 恒载内力 活载内力 成桥状态的内力分析和强度、刚度、稳定验算 温度、收缩徐变 第3章 拱桥的设计计算 拱轴线的选择与确定 拱桥的计算 恒载内力 活载内力 成桥状态的内力分析和强度、刚度、稳定验算 温度、收缩徐变 拱脚变位 内力调整 拱上建筑的计算 施工阶段的内力分析和稳定验算

拱轴线的选择与确定 3.1 拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线的原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力，而无弯矩及剪力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料的抗压性能。实际上由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、收缩等因素的作用，实际上得不到理想的拱轴线。一般以恒载压力线作为设计拱轴线。

（一）圆弧线 线形最简单，施工最方便。但圆弧拱轴线一般与恒载压力线偏离较大，使拱圈各截面受力不够均匀。常用于15~20m以下的小跨径拱桥。园弧线的拱轴方程为：

（二）抛物线拱 在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。对于恒载集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢筋混凝土拱桥，或钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥），往往可以采用抛物线拱。其拱轴线方程为：

（三）悬链线桥 实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬 链线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线 空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如下图），其 恒载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函数来表达。目前最 普遍的还是采用悬连线作为空腹拱的拱轴线，仅需拱轴线在拱顶、 跨径的四分之一点和拱脚初与压力线重合。

1、拱轴方程的建立（实腹拱压力线） 如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为： 弯矩 Md=0 剪力Qd=0 恒载推力为Hg

对拱脚截面取矩，有: （1－2－12）  半拱恒载对拱脚的弯矩。 对任意截面取矩，有： （1－2－13） y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标； M 任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值。 对式（1－2－13）两边对x取两次导数，可得： （1－1－14）

由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道恒载的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的恒载可以用下式表示： （1－2－15） 拱顶处恒载强度；  拱上材料的容重。 由上式，取y1=f，可得拱脚处恒载强度 g j 为： （1－2－16） 其中： 称为拱轴系数。 这样gx可变换为： （1－2－19）

将上式代入式（1－2－14），并引参数: 则： 可得： （1－2－20） 令 （1－2－21） 则 上式为二阶非齐次微分方程。解方程，得到拱轴线（压力线）方程为： 悬链线方程 （1－2－22）

其中ch k为双曲余弦函数： 对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（1－2－22）可得： 通常m为已知，则可以用下式计算k值： （1－2－23） 反双曲余弦函数对数表示 当m=1时 gx=gj，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次抛物线，其方程变为：

由悬链线方程可以看出，当拱的跨度和失高确定后，拱轴线各点的坐 标取 确于拱轴系数m。其线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示： 当 时， ；代 到悬链线方程（1－2－22）有： 半元公式 随m的增大而减小（拱轴线 抬高，随m减小而增大（拱轴线降低）。

2、拱轴系数m值的确定 （1）实腹式拱m值的确定 拱顶恒载分布集度 gd 拱脚恒载分布集度 gj 其中 拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重 拱顶填料厚度 拱圈厚度 拱脚处拱轴线的水平倾角

由上计算m值的公式可以看出，除 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用试算法，具体做法如下： a) 先假设mi b)根据悬链线方程（1－2－22）求 ； 将式（1－2－22）两边取导数，有: 其中 k可由式（1－2－23）计算 代=1，如上式，即可求得： c) 根据计算出的 计算出gj后，即可求得mi+1 d) 比较mi和mi+1，如两者相符，即假定的mi为真实值；如两者相差较大，则以计算出的mi+1作为假设值，重新计算，直到两者相等

（2）空腹式拱拱轴系数的确定 空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载由两部分组成，即主拱圈承受由实腹段自重的分布力和空腹部分通过腹孔墩传下的集中力（如左图）。由于集中力的存在，拱的压力线为在集中力作用点处有转折的曲线。但实际设计拱桥时，由于悬链线的受力情况较好，故多用悬链线作为拱轴线。 为了使悬链线与其恒载压力线重合，一般采用“五点重和法”确定悬链线的m值。即要求拱轴线在全拱（拱顶、两l/4点和两拱脚）与其三铰拱的压力线重合。其相应的拱轴系数确定如下

拱顶处弯矩Md=0；剪力Qd=0。对拱脚取距，由 有： 对拱脚取距，由 得： （1－2－26） 对l/4截面取距，由 得： 代上式到式（1－2－26），可得： （1－2－27） 自拱定至拱跨1/4点的恒载对l/4截面的力距。

求得 后，即可求得m值： （1－2－28） 空腹拱的m值，任需采用试算法计算（逐次渐近法）。

（3）悬链线无铰拱的弹性中心 无铰拱是三次超静定结构。对称无铰拱若从拱定切开取基本结构，多余力X1（弯矩），X2 （轴力）为对称，而X3（剪力）是反对称的，故知副系数： 但仍有 为了使 ，可以按下图引用“刚臂 ”的办法达到。

可以证明当 时，

设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI就代表此图的面积，而上式就是计算这个图形的形心公式，其形心称为弹性中心。 对于悬链线无铰拱有： 其中： 则： 这样：

（4）空腹式无铰拱压力线与拱轴线偏离产生的附加内力 对于静定三铰拱，各截面的偏离弯矩值Mp可以按下式计算： 其中：y为三铰拱压力线在该截面 的偏离值 对于无铰拱，由于其是超静定结构，偏离弯矩将引起次内力，其计算过程如下： 取左图所示的基本结构，赘余力X1， X2作用在弹性中心，则有：

（1－2－29） （1－2－30） 任意截面的弯矩为： 其中：y以弹性中心为原点（向上为正）的拱轴坐标。

拱顶、拱脚处：Mp=0 拱顶： 拱脚： 其中，ys弹性中心至拱顶的距离。 （5）拱轴系数初值的选定 坦拱：m值选用较小 陡拱：m值选用较大

拱桥内力计算 3.2 恒载内力 （一） 等截面悬链线拱桥恒载（自重）内力计算 不考虑弹性压缩 拱轴线与压力线相符 弹性压缩 拱轴线与压力线不相符产生次内力 拱轴线与压力线不相符 不考虑弹性压缩 弹性压缩 1、不考虑弹性压缩的恒载内力 1）实腹拱 实腹式悬链线的拱轴线与压力线重合，恒载作用下拱的任意截面只存在轴力，而无弯矩，此时拱中轴力可按以下公式计算。 在进行悬链线方程推导时有：

（1－2－20）  恒载水平推力Hg ：利用上式有 （1－2－42） 其中： （1－2－23）  拱脚的竖向反力：拱脚的竖向反力为半拱的恒载重力，即

代 到上式，并积分，有 （1－2－43） 其中 拱圈各截面的轴力N：由于不考虑弹性压缩时恒载弯矩和剪力为零，有 （1－2－44）

2）空腹拱 在计算空腹式悬链线不考虑弹性压缩的恒载内力时，可分为两部分，即先不考虑拱轴线与压力线偏离的影响，假设恒载压力线与拱轴线完全重和，然后再考虑偏离的影响，计算由偏离引起的恒载内力，二者叠加。 不考虑偏离的影响：此时拱的恒载推力Hg，拱脚的竖向反力Vg和 拱任意截面的轴力可由静力平衡条件得到 半拱恒载对拱脚的弯矩 （半拱恒载重力） 偏离的影响可按式（1－2－29）～式（1－2－30）首先计算出 然后根据静力平衡条件计算任意截面的轴力N，弯矩M和剪力Q。

（1－2－45） 在设计中小跨径的空腹式拱桥时可以偏于安全地不考虑偏离 弯矩的影响。大跨径空腹式拱桥的恒载压力线与拱轴线一般 比中、小跨径偏离大，一般要计入偏离的影响。

2、弹性压缩引起的内力 在恒载产生的轴向压力作用下，拱圈的弹性变性表现为拱轴长度的缩短。首先将拱顶切开，假设拱圈可以自由变形，并假设弹性压缩会使拱轴方向缩短l（右图所示）。由于在实际结构中，拱顶没有相对水平位移，其变形受到约束，则在弹性中心处必有一水平拉力Hg Hg的计算 由变形相容方程有： 其中：

其中：

则： 由Hg在拱内产生的弯矩、剪力和轴力

桥规规定，下列情况可不考虑弹性压缩的影响 3、恒载作用下拱圈各截面的总内力 不考虑弹性压缩恒载内力 不考虑压力线与拱轴线偏离时（实腹式拱） 弹性压缩产生的内力 轴向力： 弯 矩： 剪 力： （1－2－56）

不考虑弹性压缩恒载内力 考虑压力线与拱轴线偏离时 （空腹式拱） 计入偏离影响 弹性压缩产生的内力 轴向力： 弯 矩： 剪 力： （1－2－57） 其中：

（二）恒载内力计算 1、横向分布系数 石拱桥、混凝土箱梁桥荷载横向分布系数 假设荷载均匀分布于拱圈全部宽度上。对于矩形拱，如取单位拱圈宽度计算，则横向分布系数为： （1－2－58） 对于板箱拱，如取单个拱箱进行计算，则横向分布系数为： （1－2－59） 式中：C车列数； B拱圈宽度 n 拱箱个数 肋拱桥荷载横向分布系数 对双肋拱桥（包括上、中、下承式），可以采用杆杠原理计算。对于多肋拱，拱上建筑一般为排架式，其荷载分布系数可按梁式桥计算。

2、内力影响线 赘余力影响线 在求拱内力影响线时，常采用如右图所示的基本结构，赘余力为 ，根据弹性中心的性质，有：

其中： 式中： 为系数，可查相应的表格得到；

为了计算变位，在计算MP时，可利用对称性，将单位荷载分解为正对称和反对称两组荷载，并设荷载作用在右半拱。

（二）活载内力计算 1、横向分布系数  石拱桥、混凝土箱梁桥荷载横向分布系数  石拱桥、混凝土箱梁桥荷载横向分布系数 假设荷载均匀分布于拱圈全部宽度上。对于矩形拱，如取单位拱圈宽度计算，则横向分布系数为： （1－2－58） 对于板箱拱，如取单个拱箱进行计算，则横向分布系数为： （1－2－59） 式中：C车列数 B拱圈宽度 n 拱箱个数  肋拱桥荷载横向分布系数 对于双肋拱桥（包括上、中、下承式），可以采用杆杠原理计算。 对于多肋拱，拱上建筑多为排架式，荷载分布系数可按梁桥计算。

2、内力影响线  赘余力影响线 在求拱内力影响线时，常采用如右图所示的基本结构，赘余力为 ，根据弹性中心的性质，有：

其中： 式中： 为系数，可查相应的表格得到；

为了计算变位，在计算MP时，可利用对称性，将单位荷载分解为正对称和反对称两组荷载，并设荷载作用在右半拱。 将上述系数代入式（1－1－60）后，即可得P＝1作用在B点时的赘余力， 。为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等分。当P＝1从左拱脚以l为部长（ l=l/48）移到右拱脚时，即可利用式（1－2－60），得出 影响线的竖坐标（如下图）。

 内力影响线 有了赘余力影响线后，拱中任意截面影响线都可以利用静力平衡条件和叠加原理求得。 拱中任意截面水平推力H1的影响线 由 知 ，因此H1的影响线与赘余力X2的影响线相同： 拱脚竖向反力V的影响线 将赘余力X3移至两支点后，由 得： 式中：V0简支梁的影响线，上边符号适用于左半跨，下边符号适用于右半跨 X3正方向 反力正方向

任意截面弯矩的影响线 如左图，可得任意截面i 的弯矩影响线 式中： 为简支梁弯矩 对于拱顶截面x=0，上式可写为： 任意截面轴力和剪力影响线 任意截面I 的轴力和弯矩影响线在截面I处有突变，比较复杂。可先算出该截面的水平力H1和拱脚的竖向反力V，再按下列计算式计算轴向力N和Q。

拱顶 拱脚 轴向力 其它截面 拱顶：数值很小，可不考虑 剪力 拱脚： 拱顶：数值较小，可不考虑 3、内力计算 主拱圈是偏心受压构件，最大正压力是由截面弯矩M还轴向力N共同决定的，严格来说，应绘制核心弯矩弯矩影响线，求出最大和最小核心弯矩值，但计算核心弯矩影响线十繁琐。

在实际计算中，考虑到拱桥的抗弯性能远差于其抗压强度的特点，一般可在弯矩影响线上按最不利情况加载，求得最大（或最小）弯矩，然后求出与这种加载情况相应的H1和V的数值，以求得与最大（或最小）弯矩相应的轴力。 影响线加载 直接加载法 等代荷载法 直接加载法 a）首先画出计算截面的弯矩影响线、水平推力和支座竖向影响线； b）根据弯矩影响线确定汽车荷载最不利加载位置（最大、最小）；

c）以荷载值（车辆轴重）乘以相应的影响线坐标，求得最大弯矩（最小弯矩）及相应的水平推力和支座竖向反力 等代荷载（换算荷载）加载法 等代荷载是这样一均布荷载K，它所产生的某一量值，与所给移动荷载产生的该量值的最大值 相等： 是等代荷载K所对应影响线所包围的面积 a) 下图是拱脚处的弯矩及水平推力和支座竖向影响线，将等代荷载布置 在影响线的正弯矩区段。 b) 根据设计荷载和正弯矩区影响线的长度，可由拱桥手册查得最大正弯矩Mmax的等代荷载KM及相应推力和竖向反力的等代荷载KH和KV。 c) 以 ，分别乘以正弯矩及相应的 推力和竖向反力的面积 , 即可求得其内力

最大弯矩 相应推力 相应剪力 式中 横向分布系数  车道折减系数 d 相应轴力和剪力为： 拱顶 拱脚 轴向力 其它截面 拱顶：数值很小，可不考虑 剪力 拱脚： 拱顶：数值较小，可不考虑

注意： 由于活载弹性压缩产生的内力 活载弹性压缩与恒载弹性压缩计算相似，也在弹性中心产生赘余水平力H，其大小为： 取脱离体如下图，将各力投影到水平方向有： 相对较小，可近似忽略，则有：

则： 考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为： 活载弹性压缩引起的内力为： 弯矩： 轴力： 剪力：

（三）等截面悬链线拱其它内力计算 温度变化产生的附加内力 混凝土收缩、徐变产生的附加内力 拱脚变位产生的附加内力 水浮力引起的内力计算 其它内力 1、温度引起的内力计算 设温度变化引起拱轴在水平方向的变位为 ,与弹性压缩同样的道理，必须在弹性中心产生一对水平力Ht：

式中： 温度变化值，即最高（或最低）温度与合龙温度之差，温 度上升时为正，下降时为负； 材料的线膨涨系数； 由温度变化引起拱中任意截面的附加内力为： 弯矩 轴力 剪力 2、混凝土收缩引起的内力 混凝土收缩引起的变形，其对拱桥的作用与温度下降相似。通常将混凝 土收缩影响折算为温度降低。 整体浇筑的混凝土收缩影响，一般相当于降低温度200C，干燥地区为300C 整体浇筑的钢筋混凝土收缩影响，相当于降低温度150C 200C  分段浇筑的混凝土或钢筋混凝土收缩影响， 100C 150C  装配式钢筋混凝土收缩影响， 50C 100C

混凝土徐变的影响可根据实际资料考虑，如缺乏资料，其产生 内力可按下列要求考虑：  温度变化影响力：0.7  混凝土收缩影响：0.45 3、拱脚变位引起的内力计算  拱脚相对水平位移引起的内力 设两拱脚发生的相对位移为： 式中 左、右拱脚的水平位移，自原位置向右移为正。 由拱脚产生相对水平位移 在弹性中心产生的赘余力为：

 拱脚相对垂直位移引起的内力 如拱脚的垂直相对位移为： 式中 左、右拱脚的水平位移， 均 自原位置向下移为正。 由拱脚产生相对垂直位移 在弹性中心产生的赘余力为：

 拱脚相对角变位引起的内力 如下图，拱脚B发生转角 ( 顺时针为正)之后，在弹性中心除产生相同的转脚 之外，还会引起水平位移 和垂直位移 。因此，在弹性中心会产生三个赘余力 。其典型方程为：

根据上图的几何关系，有： 将上式代到式（1－2－77）得： （1－2－78）

拱脚引起各截面的内力为： 同理，如为左拱角拱顺时针转动 则有：

 水的浮力引起的内力 如图所示，当拱有一部分淹没时，应考虑水浮力的作用： 不计弹性压缩时，浮力产生的弯矩和轴力分别为： 式中： 弯矩及轴力系数 A 拱圈外轮廓面积 水的容重 l 拱圈的计算跨度

内力调整 （四）内力调整 悬链线无铰拱桥在最不利荷载组合时，常出现拱脚负弯矩或拱顶 正弯矩过大的情况。为了减小拱脚、拱顶过大的弯矩，可以从设 计施工方面采取一些措施调整拱圈内力。 内力调整 假载法调整内力 用临时铰调整内力 改变拱轴线调整内力 1、假载法  实腹式拱桥 假载法主要是通过调整拱轴系数m，从而改变拱轴线达到改变主拱圈受力性能。 设调整前的拱轴系数为m，而调整后的拱轴系数为 （注：这时的拱轴线与压力线已不重合）。由于拱轴系数调整前后，拱顶截面的实际强度没有变化，而拱脚截面由于几何尺寸有些变化，对拱脚的荷载强度有影响，但影响较小可以忽略。在计算时假想 是从调整前的荷载强度减去或增加一层均布的虚荷载

1、假载法  实腹式拱桥 假载法主要是通过调整拱轴系数m，从而改变拱轴线达到改变主拱圈受力性能。 设调整前的拱轴系数为m，而调整后的拱轴系数为 （注：这时的拱轴线与压力线已不重合）。由于拱轴系数调整前后，拱顶截面的实际强度没有变化，而拱脚截面由于几何尺寸有些变化，对拱脚的荷载强度有影响，但影响较小可以忽略。在计算时假想 是从调整前的荷载强度减去或增加一层均布的虚荷载 (注：相应于 时的拱轴线与压力线是重合的） 由上式可求得

应注意的是：采用假载法调整内力，调整后的拱轴线与压力线是不重合的。采用假载法调整的具体过程如下： 首先计算 （即将 视为实际荷载，这时拱轴线与压力线重合），计算拱圈内力（包括弹性损失），这时拱顶产生正弯矩，拱脚产生负弯矩。 然后加上（ ）或减去〔 ）用均布荷载 乘以采用 绘制的影响线所得到的内力（包括弹性压缩），即得到实际结构恒载内力。 根据 计算活载、温度变化等产生的内力

调整时注意 时， 在拱顶，拱脚处产生的弯矩为正值（因拱顶、拱脚的影响面积和均为正值），可以抵销拱脚的负弯矩，但加大了拱顶的负弯矩。 时， 在拱顶，拱脚处产生的弯矩为负值，可以抵销拱顶的正弯矩，但加大了拱脚的负弯矩。 空腹式拱的内力调整 空腹式拱轴线的变化是通过改变l/4截面处的纵坐标 来实现的，设拱轴系数为 时， l/4截面处的纵坐标为 ，则有： 的负号为： 为正； 为负

拱轴系数调整后，拱的几何尺寸和内力计算应根据 确定。空腹拱的重力内力计算方法与实腹拱相同。即先计算结构重力和 共同作用下的水平推力： 不计弹性压缩损失： 计入弹性压缩损失： 然后减去或加上假载 作用下的内力 调整时注意 用假载法调整拱轴线不能同时改善拱顶、拱脚两个控制截面的内力。同时对其它截面内力也产生影响，调整时应全面考虑。