第3章 弹性地基梁理论

内容摘要 第一方面 第二方面 第三方面 第四方面 概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁

定义： 弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁，等等。 3.1 概述 定义： 弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁，等等。 通过这种梁，将作用在它上面的荷载，分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力。 地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放的。 地基介质可以是岩石、土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质。 弹性地基梁是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论。

3.1 概述

3.1 弹性地基梁与普通梁的区别 普通梁只在有限个支座处与基础相连，梁所受的支座反力是有限个未知力，普通梁是静定的或有限次超静定的结构。 3.1 概述 3.1 弹性地基梁与普通梁的区别 普通梁只在有限个支座处与基础相连，梁所受的支座反力是有限个未知力，普通梁是静定的或有限次超静定的结构。 弹性地基梁与地基连续接触，梁所受的反力是连续分布的，弹性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个未知反力。 弹性地基梁是无穷多次超静定结构。超静定次数是无限还是有限，这是它们的一个主要区别。 普通梁的支座通常看作刚性支座，弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。一方面梁给地基以压力，使地基沉陷，反过来，地基给梁以相反的压力，限制梁的位移。而梁的位移与地基的沉陷在每一点又必须彼此相等，满足变形连续条件。 地基的变形是考虑还是略去，这是它们的另一个主要区别。

3.2 弹性地基梁的计算模型 局部弹性地基模型 半无限体弹性地基模型 由于地基梁搁置在地基上，梁上作用有荷载，地基梁在荷载作用下与地基一起产生沉陷，因而梁底与地基表面存在相互作用反力 ，的大小与地基沉降y 有密切关系，很显然，沉降越大，反力 也越大，因此在弹性地基梁的计算理论中关键问题是如何确定地基反力与地基沉降之间的关系，或者说如何选取弹性地基的计算模型问题。

3.2.1 局部弹性地基模型 1867年前后，温克尔（E.Winkler）地基假设：地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即 3.2 弹性地基梁的计算模型 3.2.1 局部弹性地基模型 1867年前后，温克尔（E.Winkler）地基假设：地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即 式中：y 为地基的沉降，m ；k 为地基系数，kPa/m；p为单位面积上的压力强度，kPa。 其物理意义为：使地基产生单位沉降所需的压强。 将地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧。由于弹簧是彼此独立的，只在该点局部产生沉降y，而在其他地方不产生任何沉降。称作局部弹性地基模型。

3.2.1 局部弹性地基模型 优点： 缺点： 可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直线分布假设中的缺点。 3.2 弹性地基梁的计算模型 3.2.1 局部弹性地基模型 优点： 可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直线分布假设中的缺点。 缺点： 没有反映地基的变形连续性，当地基表面在某一点承受压力时，实际上不仅在该点局部产生沉陷，而且也在邻近区域产生沉陷。 特别对于密实厚土层地基和整体岩石地基，将会引起较大的误差。 如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石，则地基情况与图中的弹簧模型比较相近，将得出比较满意的结果。

3.2 弹性地基梁的计算模型 3.2.2 半无限体弹性地基模型 优点： 缺点： 本章所讨论的弹性地基梁计算理论采用局部弹性地基模型。

（1）地基梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉降或隆起与梁的挠度处处相等； 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 基本假设 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 对应齐次微分方程的通解 初参数解 弹性地基梁挠度曲线微分方程的特解 除局部弹性地基模型假设外，还需假设： （1）地基梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉降或隆起与梁的挠度处处相等； （2）由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去不计，地基反力处处与接触面相垂直； （3）地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。

3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.1 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 局部弹性地基梁上的长为l、宽度b为单位宽度1的等截面直梁，梁与地基之间的反力为(x) 。 以沉降函数y(x)作为基本未知量，地基梁在外荷载q(x) 、 Q作用下产生变形，最终处于平衡状态。 选取坐标系xoy，外荷载，地基反力，梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。

3.3.1 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 为建立y(x)应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段dx，考察该段的平衡有： 得： （3.2） 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.1 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 为建立y(x)应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段dx，考察该段的平衡有： 得： （3.2） 化简得： 得： 略去二阶微量得： （3.3） 将上式对于x求导得： （3.4）

此即为弹性地基梁的挠曲微分方程式 3.3.1 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.1 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 如果梁的挠度已知，则梁任意截面的转角Q，弯矩M，剪力Q可按材料力学中的公式来计算，即: 此即为弹性地基梁的挠曲微分方程式

3.3.2 对应齐次微分方程的通解 上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非齐次微分方程，令式中 ，即得对应齐次微分方程： 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.2 对应齐次微分方程的通解 上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非齐次微分方程，令式中 ，即得对应齐次微分方程： （3.7） 由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为寻找四个线性无关的特解，令 并代入上式有： 或 由复数开方根公式得： （3.8） （3.9） 令 ， 若地基梁宽度为b，则有 是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把 称为特征系数， 称为换算长度。

3.3.2 对应齐次微分方程的通解 式中B1、B2、B3、及B4均为待定积分常数 （3.10） 利用双曲函数关系： 且令 则有 （3.11） 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.2 对应齐次微分方程的通解 （3.10） 利用双曲函数关系： 且令 式中B1、B2、B3、及B4均为待定积分常数 则有 （3.11） 式（3.10）和式（3.11）均为微分方程（3.7）的通解，在不同的问题中，有各自不同的方便之处。

3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.3 初参数法 由式（3.11），再据式（3.5）有 （3.12） 式（3.12）中积分常数B1、B2、B3、B4的确定是一个重要环节，梁在任一截面都有四个参数量，即挠度y、转角 、弯矩M、剪力Q、而初始截面（x=o）的四个参数 、 、 、 就叫做初参数。

3.3.3 用初参数表示积分常数 初参数法基本思路：把四个积分常数改用四个初参数来表示: 使积分常数具有明确的物理意义； 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.3 用初参数表示积分常数 初参数法基本思路：把四个积分常数改用四个初参数来表示: 使积分常数具有明确的物理意义； 根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。 （二）用初参数表示积分常数 如图3.4所示，梁左端的四个边界条件（初参数）为 （3.13）

3.3.3 用初参数表示积分常数 将上式代入式（3.12），解出积分常数得： （3.14） 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.3 用初参数表示积分常数 将上式代入式（3.12），解出积分常数得： （3.14） 再将式（3.14）代入式（3.12），并注意 ，则有 （3.15）

3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.3 用初参数表示积分常数 其中 、 、 、 称为双曲线三角函数，它们之间有如下微分关系：

3.3.3 用初参数表示积分常数 式（3.15）即为用初参数表示的齐次微分方程的解； 其显著优点是式中每一项都具有明确的物理意义； 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.3 用初参数表示积分常数 式（3.15）即为用初参数表示的齐次微分方程的解； 其显著优点是式中每一项都具有明确的物理意义； 如式（3.15）中的第一式中，1表示当原点有单位挠度（其他三个初参数均为零）时梁的挠度方程， 表示原点有单位转角时梁的挠度方程，等等； 另一个显著优点是，在四个待定常数 、 、 、 中有两个参数可由原点端的两个边界条件直接求出，另两个待定初参数由另一端的边界条件来确定。这样就使确定参数的工作得到了简化。

弹性地基梁 已知初参数 A端边界条件 待求初参数 自 由 端 简 支 实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 M0=0 Q0=0 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 弹性地基梁 已知初参数 A端边界条件 待求初参数 自 由 端 M0=0 Q0=0 M0=-m Q0=-P1 MA=0 QA=0 QA=P2 θ0 y0 简 支 y0=0 M0=m1 yA=0 MA=m2 Q0

固 定 端 弹性固定端 实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 θ0=0 y0=0 θA=0 yA=0 M0 Q0 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 固 定 端 θ0=0 y0=0 θA=0 yA=0 M0 Q0 弹性固定端 θ0=M0β0

3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 式（3.7）等价于地基梁仅在初参数作用下的挠曲微分方程。 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 集中荷载作用下的特解项 分布荷载作用下的特解项 共同作用下挠曲线微分方程的通解 式（3.7）等价于地基梁仅在初参数作用下的挠曲微分方程。 式（3.6）等价于地基梁既有初参数作用，又有外荷载作用的挠曲微分方程，其特解项就是仅在外荷载作用下引起的梁挠度的附加项。 下面根据梁上作用的各种形式荷载分别加以讨论。

集中荷载作用下的特解项 集中力Pi作用下的特解项 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 OA和AB段挠曲微分方程分别为： 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 集中荷载作用下的特解项 集中力Pi作用下的特解项 OA和AB段挠曲微分方程分别为： 集中力作用于地基梁

3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 由A点的变形连续条件和受力情况有： 当 时， 当 时，特解项为零。 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 由A点的变形连续条件和受力情况有： 当 时， 当 时，特解项为零。

集中荷载作用下的特解项 b.集中力偶mi作用下的特解项 当 时，取特解项为零。 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 集中力偶作用于地基梁 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 集中荷载作用下的特解项 b.集中力偶mi作用下的特解项 集中力偶作用于地基梁 当 时，取特解项为零。

分布荷载作用下的特解项 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载可分解成多个集中力，按集中力求解特项。 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载作用下的特解项 分布荷载可分解成多个集中力，按集中力求解特项。 荷载在右边截面x处引起的挠度特解项为： x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为： 分布荷载作用于地基梁

分布荷载作用下的特解项（均布荷载） 荷载均布与ab段 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 （积分限 ） 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载作用下的特解项（均布荷载） 荷载均布与ab段 （积分限 ）

3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载作用下的特解项（均布荷载） （积分限 ）

当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有： 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载作用下的特解项（均布荷载） 当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有：

分布荷载作用下的特解项（三角形分布） 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 微段上荷载引起的挠度附加项为： 三角形荷载作用于地基梁 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载作用下的特解项（三角形分布） 微段上荷载引起的挠度附加项为： 三角形荷载作用于地基梁

3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载作用下的特解项（三角形分布） 当 时，积分限是 ，

3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载作用下的特解项（三角形分布） 当 时，积分限是 ，

分布荷载作用下的特解项（三角形分布） 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有： 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载作用下的特解项（三角形分布） 当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有：

分布荷载作用下的特解项（全跨梯形分布） 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 只须把均布荷载与三角形荷载作用下两式叠加即可。 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 分布荷载作用下的特解项（全跨梯形分布） 只须把均布荷载与三角形荷载作用下两式叠加即可。 梯形荷载作用于地基梁

共同作用下挠曲微分方程的特解项 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 共同作用下挠曲微分方程的特解项 同时作用有集中力、力偶、均布荷载、三角形荷载时，综合各种荷载的影响，就可得出挠度的一般公式。 进行微分运算后，还可得出转角、弯矩及剪力的一般公式。 即：

共同作用下挠曲微分方程的特解项 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 （3.31） 3.3 弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 3.3.4 弹性地基梁挠曲线方程的特解 共同作用下挠曲微分方程的特解项 （3.31） 式（3.31）中，当 ， 时，pi 、mi两项取值为零。

3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 弹性地基梁的分类 长梁的计算 刚性梁的计算 上节的结果，能直接用于计算各种几何尺寸及弹性特征值 的弹性地基等截面直梁。在工程实践中，经计算比较及分析表明，可根据不同的换算长度 ，将地基梁进行分类，然后采用不同的方法进行简化。通常将弹性地基梁分为三种类型。

3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.1 弹性地基梁的分类 短梁（又称有限长梁），当弹性地基梁的换算长度 1< <2.75时，属于短梁，它是弹性地基梁的一般情况。 长梁：无限长梁、半无限长梁。当换算长度  ≥ 2.75时，属于长梁；若荷载作用点距梁两端的换算长度均 不小于2.75时，可忽略该荷载对梁端的影响，这类梁称为无限长梁；若荷载作用点仅距梁一端的换算长度不小于2.75时，可忽略该荷载对这一端的影响，而对另一端的影响不能忽略，这类梁称为半无限长梁，无限长梁可化为两个半无限长梁。 刚性梁，当换算长度 ≤ 1时，属于刚性梁。可认为梁是绝对刚性的，即EI→∞或α→0。

3.4.1 弹性地基梁的分类 长梁、短梁和刚性梁的划分标准主要依据梁的实际长度与梁和地基的相对刚度之乘积，划分的目的是为了简化计算。 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.1 弹性地基梁的分类 长梁、短梁和刚性梁的划分标准主要依据梁的实际长度与梁和地基的相对刚度之乘积，划分的目的是为了简化计算。 事实上，长梁和刚性梁均可按上一节介绍的公式进行计算，但长梁、刚性梁与短梁相比有其自身的一些特点，较短梁相比，计算可以进一步简化。

3.4.2 长梁的计算 无限长梁作用集中力Pi的计算 无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 半无限长梁作用初参数的计算 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.2 长梁的计算 无限长梁作用集中力Pi的计算 无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 半无限长梁作用初参数的计算 半无限长梁在梯形荷载作用下的计算

无限长梁作用集中力Pi的计算 3.4.2 长梁的计算 采用梁挠曲方程齐次解式，即： 由 有： 由对称条件 有： 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.2 长梁的计算 无限长梁作用集中力Pi的计算 采用梁挠曲方程齐次解式，即： 由 有： 由对称条件 有： 考虑地基反力与外载的平衡条件： 无限长梁作用集中力的计算

无限长梁作用集中力Pi的计算 3.4.2 长梁的计算 其中： 化简得到： 无限梁右半部分有： 其中： 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.2 长梁的计算 无限长梁作用集中力Pi的计算 其中： 化简得到： 无限梁右半部分有： 其中： 对于梁的左半部分，只需将式中 和 改变负号即可。

无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 3.4.2 长梁的计算 反对称条件： 代入齐次微分方程通解得： 无限长梁作用集中力偶的计算 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.2 长梁的计算 无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 反对称条件： 代入齐次微分方程通解得： 无限长梁作用集中力偶的计算

无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 3.4.2 长梁的计算 无限长梁右半部分的变形及内力为： 对于左半部分，只需将上式中y与M变号即可。 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.2 长梁的计算 无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 无限长梁右半部分的变形及内力为： 对于左半部分，只需将上式中y与M变号即可。

半无限长梁作用初参数的计算 3.4.2 长梁的计算 将 代入： 得到： 再由： 得到： 半无限长梁作用的初参数 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.2 长梁的计算 半无限长梁作用初参数的计算 将 代入： 得到： 再由： 得到： 半无限长梁作用的初参数

半无限长梁作用初参数的计算 3.4.2 长梁的计算 最终有： 如梁端作用有初参数 ,则可得到 与 之间的关系： 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.2 长梁的计算 半无限长梁作用初参数的计算 最终有： 如梁端作用有初参数 ,则可得到 与 之间的关系：

半无限长梁在梯形荷载作用下的计算 3.4.2 长梁的计算 故任一截面的变形与内力为： 是齐次微分方程 的一个特解。 梯形荷载作用于半无限长梁 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.2 长梁的计算 半无限长梁在梯形荷载作用下的计算 是齐次微分方程 的一个特解。 故任一截面的变形与内力为： 梯形荷载作用于半无限长梁

按静定梁的平衡条件，得到刚性梁的变形与内力为： 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.4.3 刚性梁的计算 按静定梁的平衡条件，得到刚性梁的变形与内力为： 刚性梁的计算

例子1 两端自由的弹性地基梁，长 ，宽 ， ，地基的弹性压缩系数 ，求梁1、2、3截面的弯矩 (1)判断梁的类型 3.5 算例 例子1 两端自由的弹性地基梁，长 ，宽 ， ，地基的弹性压缩系数 ，求梁1、2、3截面的弯矩 (1)判断梁的类型 考虑Pi集中载距右端为1m， 故属于短梁。

3.5 算例 例子1 (2)计算初参数 梁左端条件： 梁右端条件： 代入共同作用下挠曲微分方程的通解得：

3.5 算例 例子1 将各数值代入后得： 解得：

3.5 算例 例子1 （3）计算各截面的弯矩

例子2 长度λ及弹性特征系数α，作用荷载如图，如果 和 均 ，求i截面的 （1）由于 故为无限长梁。 3.5 算例 例子2 长度λ及弹性特征系数α，作用荷载如图，如果 和 均 ，求i截面的 （1）由于 故为无限长梁。 （2）求出每一荷载单独作用下地基梁的内力和变形，然后再叠加求总内力和变形。

3.5 算例 例子2 对于集中力作用情况，要分清所求截面是作用点左边还是右边，如所求截面在作用点左边，则需将所求得的相应项改变符号。

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