弯曲内力

弯曲内力 弯曲的工程实例和基本概念 弯曲内力－－剪力和弯矩 剪力方程、弯矩方程、剪力图与弯矩图 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 按叠加原理作弯矩图*

§弯曲的工程实例和基本概念§

工程实例 车及桥梁

工程实例 夹具及车刀

工程实例 火车轮轴

工程实例 桥式吊车

工程实例 石化直立反应塔

工程实例 水库重力坝

弯曲的概念 杆件受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时，轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 受力特点： 外力垂直于杆的轴线； 外力偶矩矢垂直于杆的轴线。 变形特点： 杆的轴线由直线变为曲线

平面弯曲 纵向对称面 对称轴 横截面 M P1 P2 q 梁的轴线 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，外力(或力偶作用面)与纵向对称面在同一平面内。

梁及其分类 梁(beam)：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。 梁的分类 按照轴线形式 直梁——轴线为直线 曲梁——轴线为曲线 静定梁与超静定梁 静 定 梁：由静力学方程可求出支反力。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。

梁的计算简图 为便于分析计算，进行必要的简化，抽象出计算简图。 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 支座简化 载荷简化 1 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2 支座简化 载荷简化 作用于梁上的载荷可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 3

梁的支座简化 A处简化为固定端约束， B处简化为自由端。 A处简化为固定铰支座， B处简化为可动铰支座。

梁的基本形式 悬臂梁 简支梁 外伸梁

载荷的简化 (1) 分布载荷q (2) 集中力P (3) 集中力偶 M

静定梁、超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出全部支反力。 超静定梁：由静力学方程不可求出部分或全部支反力。

§弯曲内力－－剪力和弯矩§

弯曲内力 [例]图示梁，已知：P，a，l。 求：距A端 l /2 处截面上内力。 解：(1)求外力

(2)求内力——截面法 1.剪力FQ：（也可用FS表示） 构件受弯时，横截面上的内力，该力的作用线平行于横截面。 2.弯矩M ： 构件受弯时，横截面上的内力偶矩，其作用面垂直于横截面。 弯曲构件内力：剪力、弯矩。

弯曲内力的正负号规定 (1) 剪力FQ 绕研究对象顺时针转，剪力FQ 为正。 FQ为正 FQ为负 (2)弯矩M使梁产成凹变形，弯矩M为正。

在实际求解问题中，预先设置剪力和弯矩为正方向。 剪力和弯矩均预设为正 剪力和弯矩均预设为正

正负号的差异 平衡方程式中的正负号 表示力的投影或力对点之矩，与投影轴或矩心有关 平衡方程结果的正负号 表示力的方向或力偶的转向是否与图示方向相同 内力图中剪力、弯矩的正负号 剪力FQ：绕研究对象顺时针转为正；逆时针转为负。 弯矩M：使梁变成凹形的为正；使梁变成凸形的为负。 当所假设的剪力绕研究对象顺时针转动，所假设的弯矩使梁变成凹形，所解得剪力和弯矩的正负号就是它们本身的正负号。

[例] 确定悬臂梁m-m 处的内力

(1) 求出A处的约束反力 (2) 若取m-m截面的左侧分析 C为该截面形心

(3) 若取m-m截面右侧分析

取m-m截面左侧分析 取m-m截面右侧分析 取截面左右两侧的部分构件分别计算，得到的内力大小相等。 截面左侧梁段和右侧梁段的剪力FQ、弯矩M大小相等、方向(转向)相反，符合作用与反作用原理。

根据已知主动力，求出约束反力，把它们作为外力，进行后续的内力求解。 求解梁指定截面的剪力和弯矩的一般步骤： 根据已知主动力，求出约束反力，把它们作为外力，进行后续的内力求解。 1 2 采用截面法，选择梁被截下部分作为研究对象，并预设剪力和弯矩为正方向，画出受力分析图； 3 根据受力图，按照静力学平衡方程，求出剪力和弯矩的表达式。

[例] 求梁AB截面I-I、II-II截面的剪力和弯矩。

(1) 计算梁的约束反力

(2) 选I-I截面左侧研究 预设剪力和弯矩为正方向 C

(3)选II-II截面右侧研究 设剪力和弯矩为正方向 d

[例] 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0，试求截面C 上的内力，已知C 到A点距离为a)。 解：(1)先求支反力

(2)再求截面C的内力 思考：是否可以将梁上全部的分布荷载用静力等效后的合力代替后再求截面C 的内力？

§剪力方程、弯矩方程、剪力图与弯矩图§

弯曲内力的表达方法 描述弯曲内力变化的方法： 1. 数学方程——剪力方程与弯矩方程； 2. 直观图形——剪力图与弯矩图。 一般情况，梁横截面上的剪力FQ和弯矩M随截面位置x而变化，若以函数表示： 剪力方程 弯矩方程 分别依照剪力方程和弯矩方程绘制内力曲线图： x轴—横截面位置，y 轴—剪力(剪力图)和弯矩(弯矩图)。

变化区间——控制面 内力在某一段杆上将按一种函数规律变化，为了区别不同杆段的不同函数关系，需确定关键截面，即为控制面。 控制面——外力规律(不是外力的值)发生变化的截面，即集中力、集中力偶及分布荷载的起点与终点间的横截面。

[例] 作以下悬臂梁的剪力图和弯矩图 分析 (1) 用截面将梁截开，取一部分作为研究对象； (2) 在截面上画出内力，并预设正方向； (3) 根据平衡方程，求得剪力方程、弯矩方程； (4) 画出内力图。

(1)以杆件最左端为原点建立x 轴 AB段上任取一横截面m-m 取此截面左侧部分研究 用x表明截面的位置 剪力方程: 弯矩方程:

(2)画出剪力图、弯矩图

[例] 求下面图示梁的内力方程并画出内力图。

解： (1)以杆件最左端为原点建立x 轴 梁上任取一横截面，取此截面右侧部分研究 用x表明截面的位置 剪力方程 弯矩方程

(2)根据方程画内力图 剪力方程: 弯矩方程:

常规弯曲内力画法 土木工程弯曲内力画法 注意M(x)的正方向

[例] 求下面图示梁的内力方程并画出内力图。 解： 建立x 轴，任取截面 对截取的构件列平衡方程 (0≤x≤l) (0≤x≤l)

内力方程： (0≤x≤l) (0≤x≤l) 内力图如左。

[课堂练习]试列出图示梁的内力方程并画出内力图。

[例] 试作简支梁的剪力图弯矩图 解： (1) 求支反力 (2)内力方程 FQ x (3)根据方程画内力图 x M 剪力图上发生向下的非线性渐变，渐变总的值等于该均布载荷的合力。

集中力对内力图的影响 [例] 作以下简支梁的剪力和弯矩图

1. 计算约束反力 C点作用有集中力，故分别考虑AC和CB的剪力方程、弯矩方程。 2. 取AC段中某截面左侧分析： 3. 取CB段中某截面右侧分析：

得到剪力方程和弯矩方程为分段函数。 剪力方程： 弯矩方程： x=a时 x=a时

结果分析 C处存在集中力F 剪力图上发生突变 突变的大小为DF 集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力 向下的集中力，剪力图上发生向下突变。反之亦然。

集中力偶对内力图的影响 [例] 作以下简支梁的剪力图、弯矩图，并找出剪力图、弯矩图中的相关规律。

解： 1. 求约束反力 FA FB 2. 建立剪力方程和弯矩方程

结果分析 C处存在集中力偶M 弯矩图上发生突变 突变的大小为 集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩 逆时针集中力偶，弯矩图上发生向下的突变。反之亦然。

分布力对内力图的影响 [例] 作以下简支梁的剪力和弯矩图，并找出剪力图或弯矩图的规律。

1. 求支反力 2. 建立剪力方程和弯矩方程

结果分析 整个梁段上存在均布载荷q 剪力图上发生线性渐变 渐变总的值为: 等于均布载荷载整个梁段上的作用力的大小。 分布力作用处，剪力值发生渐变，渐变总和=分布力合力大小 向下均布载荷，剪力图上发生向下线性渐变。反之亦然。

思考：对称性与反对称性 结论： 结构对称、外力对称时，剪力图反对称，弯矩图正对称； 结构对称、外力反对称时，剪力图正对称，弯矩图反对称。

[例] 已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm，列出外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画剪力图和弯矩图。

1. 求约束反力 在CA AD DB三段中，剪力和弯矩需要分三段建立剪力方程和弯矩方程。

2. 取CA段中任意截面的左侧部分加以分析: 3. 取AD段中任意截面的左侧部分加以分析:

4. 取DB段中任意截面的右侧部分加以分析

梁的剪力和弯矩方程如下： 求AD段的极值：

可以利用已经学的剪力图的相关规律来快速绘出剪力图 去除约束代之以反力（集中力） C点的剪力为0，从C到A截面左侧作用均布载荷，总的大小为6kN,则在剪力图上表现为向下的直线，变化的总剪力为6kN A点此时有集中力14.5kN向上作用，因此在剪力图上发生向上的突变，变化值为14.5 则 -6+14.5=8.5 集中力偶不影响剪力图，不予考虑 DB段上无力（分布载）的作用，因此，剪力图上表现为平行x轴的直线 从A到D是均布载荷，类似CA段处理斜线达到 8.5-3×4=-3.5 B点集中力向上3.5kN,剪力图向上突变3.5，最后达到0。

由于载荷的不同，梁的剪力和弯矩图也不同。 左图中FQ=0 的截面上，弯矩有极值，其他的例子中也总结了一些规律，这都说明载荷、剪力、弯矩之间存在着一定的关系； 有了这些关系，就可以方便快速地画出剪力图、弯矩图。

剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 简支梁受到如图载荷的作用： 建立坐标系 取其中一微段dx，q(x)为连续函数，规定向上为正 取出该微段，受力分析

由（1）式可得: （2）式中略去高阶微量 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度q的大小。 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。

剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系

外力 无外力段 分布载荷 集中力 集中力偶 水平直线 斜直线(渐变) 突变 无变化 FQ＝0 FQ>0 FQ<0 增函数 减函数 C P C M q>0 q<0 q=0 水平直线 斜直线(渐变) 突变 无变化 FQ图特征 x FQ FQ＝0 x FQ FQ>0 FQ FQ<0 x 增函数 FQ x x FQ 减函数 x FQ C FQ1 FQ2 FQ1–FQ2=P x FQ C 斜直线 曲线 折角 突变 M图特征 x M 水平 x M 增函数 M x 减函数 x M 凹 x M 凸 x M M x M2 M1 M1–M2 =M

[例] 图示简支梁在其中间受q=100 kN/m的均布荷载。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系，检验剪力图和弯矩图是否正确。 x y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q + - 100 kN FS x FS 图 + 100 150 x M M图（kN·m）

该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且荷载向下，故微分关系中应为负值，即q=－100 kN/m。 y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q 该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且荷载向下，故微分关系中应为负值，即q=－100 kN/m。 + - 100 kN FS x FS 图 根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100 kN。根据斜直线的斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为

解：梁荷载及约束力于跨中对称，故约束力FA，FB为 y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q + - 100 kN FS x FS 图 1. 校核剪力图 该梁的AC段内无荷载， 而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为

y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q 该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力为 + - 100 kN FS x FS 图

2. 校核弯矩图 y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q 该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为 的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为 + - 100 kN FS x FS 图 + 100 150 x M M图（kN·m） 这与图中所示相符。

此式中的 从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。 事实上，这个弯矩值也可根据 + - 100 kN FS x FS 图 + 100 150 x M M图（kN·m） 通过积分来复核： 此式中的 从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。

弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变； y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q 对于该梁的CD段，根据 可知： 弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变； + - 100 kN FS x FS 图 + 100 150 x M M图（kN·m）

由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。 y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q 由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。 + - 100 kN FS x FS 图 + 100 150 x M M图（kN·m）

弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为 + - 100 kN FS x FS 图 同样，根据 可知， + 100 150 x M M图（kN·m） 在剪力为零的跨中截面E处， 弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为 这些均与图(c)中所示相符。

y FA FB A B C D E 2 m 1 m 4 m q 对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。 + - 100 kN FS x FS 图 + 100 150 x M M图（kN·m）

[课堂练习]已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶） FQ(kN) 2 1 + + x – 3 1m 2m 1m 5kN 1kN q=2kN/m M(kN·m) 1 x + – 1 1.25

简易作图法 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。 解题的一般步骤: 依照实际情况来计算求出支座反力。 1 依照实际情况来计算求出支座反力。 根据外力情况，对梁进行分段，分析判断每一段剪力图和弯矩图的曲线性质。 2 确定出图形所需的控制点，求出这些控制点处的剪力和弯矩值，并采取同一比例的纵坐标注明在图上。 3 4 用正确的曲线将这些控制点连接起来。 注意：画图时不要使比例严重失调。

[例] 简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。 1kN.m B A C D E F 1.5m 2kN FAY FBY 解： (1)确定约束力 求得A、B 二处的约束力 FAy＝0.89 kN , FBy＝1.11 kN (2) 确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。

4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在Q－ x和M－x 坐标系中。 B A 1.5m FAY FBY 1kN.m 2kN E D C F FAy= 0.89 kN FBy ＝1.11 kN 3．建立坐标系 建立Q－x 和M－x 坐标系 0.89 x FQ (kN) O 1.11 4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在Q－ x和M－x 坐标系中。 1.335 1.67 M (kN.m) x O 5．根据微分关系连图线 0.335

[例] 画内力图 FQ x qa – 分段，确定控制面， 求控制面上的剪力和弯矩 M x 左端点： 分区点A： 右端点：

[例] 画内力图 q qa A a FQ x qa – 2qa M x

[例] 画内力图 q 解：求支反力 qa2 A B C D A点右： qa RA RD B点左： qa/2 FQ x + B点右： – – qa/2 qa/2 C点左： qa2/2 M x + M 的驻点： – 3qa2/8 qa2/2 qa2/2 C点右： 右端点D：

[例]不列剪力、弯矩方程，绘出下面梁剪力、弯矩图。

计算约束反力： 画出剪力图

根据微分关系列表如下 哪个是对的？

[例] 不列剪力方程和弯矩方程，绘出下面外伸梁的剪力和弯矩图。

约束反力计算略，可得A和B处的反力的大小。 直接画出剪力图 根据微分关系列表

[例] 不列剪力方程和弯矩方程，绘出下面悬臂梁的剪力和弯矩图。

计算约束反力： 画出剪力图 画出弯矩图

[例]画出下面组合梁的剪力图和弯矩图 提示：B处为一个铰，AB和BC并不是一个构件

注意B点: 为什么B点的弯矩等于0？

比较以下两个图: 此类铰接，铰处无法承受弯矩，因此 M = 0 此类铰接，M 不一定为0

[例]不考虑数值是否正确，下列剪力、弯矩图有否错误？

1 2 3 4 1-受到集中力，在剪力图上应发生突变。 2-剪力的数值为正，但弯矩图上相应的斜率为负。 3-剪力为0的截面上弯矩图上并未有极值。 数值为正 斜率为负 剪力=0 弯矩无极值 4 4-CB段上剪力线性变小，弯矩图的斜率应逐步变小，而非图示变大。

改错 q qa2 A B a a 2a FQ qa/4 qa/4 x + – – 3qa/4 M 49qa2/32 5qa2/4 7qa/4 qa2/4 3qa2/2 + x

按叠加原理作弯矩图

观察以下的简支梁: 其弯矩方程为:

叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。叠加各个载荷单独作用时的内力，就可得到这些载荷共同作用时的内力。这一原理又称叠加法。 在小变形条件下，当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷引起的内力是各自独立的，并不互相影响，各个载荷与它所引起的内力成线性关系。 按叠加原理作弯矩图步骤： (1) 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； (2) 将其相应的纵坐标叠加。

= + 弯矩图： = +

利用叠加法绘制下面外伸梁的剪力和弯矩图。

= + 弯矩图： = +

对称性与反对称性的应用 在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称； 在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。 Q(+) Q(–) Q(+)

[例] P 剪力图 PL FQ x L – P P P 0.5P FQ1 x + L – 0.5P 0.5P 0.5P FQ2 x PL L – 0.5P 0.5P 0.5P

P 弯矩图 PL x + L P M PL P x L + 0.5PL M1 0.5P 0.5P 0.5PL PL x – L + 0.5PL 0.5P M2 0.5P

例(1) 2P x M + Pa a P = = 2P x M1 – 2Pa + + x M2 2Pa + P

例(2) x M a q – qa2 a q = = x M1 + qa2/2 q + q + x M2 – 3qa2/2

例(3) P PL/2 M PL/2 – x a = P x M1 = PL/4 + + + M2 PL/2 PL/2 – x

= = + + 例(4) x M 50kN 20kNm + 20kNm 30kNm 20kNm a x M1 20kNm 20kNm – + + 50kN x M2 50kNm +

§平面曲杆和刚架的内力图§

平面曲杆的内力图 平面曲杆 某些构件，如活塞环、链环、拱等一般也都有一纵向对称面，其轴线是一平面曲线，当载荷作用于纵向对称面内时，曲杆将发生弯曲变形。这时横截面上的内力一般有剪力FQ、弯矩M和轴力FN。如果载荷不是作用于纵向对称面内，其横截面上可能还有扭矩Mx。下面以四分之一圆周的曲杆为例来说明内力的计算。 某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。

内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。 对于曲杆的内力符号约定: 引起拉伸变形的轴力FN为正； 使轴线曲率增加的弯矩M 为正； 以剪力FQ对所考虑的一段曲杆内任一点取矩，力矩为顺时针则剪力为正。 绘制弯矩图时，将弯矩M 画在轴线的法线方向，并画在杆件的受压一侧，无须注明正负号。

曲杆的内力图 画出该曲杆的内力图 解：写出曲杆的内力方程 – +

曲杆的内力图（土木） [例] 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。 O 解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面m–m的位置。 q m R P A B x

O M图 A B q m O R P A B x 2PR + O Q图 N图 O – + P P

m-m 截面上有哪些内力分量？ 剪力 轴力 弯矩

根据约定，下面图中预设的各个内力应为正还是负？

画出曲杆的弯矩图

平面刚架的内力图 平面刚架 同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。特点：刚架各杆的内力有：FQ、M、FN。 刚架是由多根直杆连接处为刚性连接而成。 一般情况下，在外力作用下刚架的横截面上同时产生轴力、剪力和弯矩，其内力符号的规定和曲杆相似。

已知平面刚架上的载荷及长度，试画出刚架的内力图。 B 解：1、确定约束力 2、写出各段的内力方程 Y 竖杆AB：A点向上为y ql B ql y FN(y) M(y) FQ(y)

B ql y 横杆CB：C点向左为x x B M(x) FN(x) FS(x) x

B ql y 3、根据各段的内力方程画内力图 竖杆AB： 横杆CB： M FN FQ － ＋ ＋ ql

[例] 求图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图

求约束反力：

画出轴力图 轴力图 易知FN1=0 FN2=-10kN

画出剪力图、弯矩图 1-1截面 2-2截面

剪力图 画出剪力图、弯矩图 弯矩图

P1 平面刚架的内力图（土木） a P1 P2 C B – l N 图 P2 A P1a P1 P1a + + Q 图 M 图 P1a+ P2 l

本章小结

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