第八章 力法 如果力矩分配法不讲，不要点击“弯矩分配法”。

遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想，可有不同的出发点： 以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法（force method）。 以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为位移法（displacement method）。 如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。 在本章中将主要介绍力法和位移法(含弯矩分配法)。

有一个多于约束的超静定结构，有四个反力，只有三个方程。 1. 力法的基本原理 (Fundamentals of the Force Method) 只要满足 有一个多于约束的超静定结构，有四个反力，只有三个方程。 为任意值，均平衡。 因此必须设法补充方程

力法的基本思路 超静定计算简图 解除约束转化成静定的 基本结构承受荷载和多余未知力 基本体系受力、变形解法已知

用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形 由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题 力法的基本思路 用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形 同样方法分析“荷载”下的受力、变形 位移包含基本未知力Xi 为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件 由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题

基本原理举例 转化 例1. 求解图示单跨梁 原结构 待解的未知问题 基本结构 已掌握受力、变形 A B 基本结构 已掌握受力、变形 primary structure or fundamental structure 基本体系 fundamental system or primary system

(The Compatibility Equation of Force Method ) 以掌握的问题 未知力的位移 “荷载”的位移 消除两者差别 总位移等于已知位移 变形协调条件 力法典型方程 (The Compatibility Equation of Force Method )

系数求法 单位弯矩图 荷载弯矩图 系数和未知力等于多少？ 或 系数求法 单位弯矩图 荷载弯矩图 — 广义荷载位移 互乘 — 位移系数 自乘 系数和未知力等于多少？ 叠加作弯矩图

基 本 未 知 力 有两个多于约束 解除约束代以未知力 例 2. 求解图示结构 解法1: 基本体系 一 FP 原结构 FP 基 本 未 知 力 有两个多于约束 解除约束代以未知力

基本未知力引起的位移 荷载引起的位移 变形协调条件 P FP 基本未知力引起的位移 荷载引起的位移 变形协调条件 力法典型方程 或

作单位和荷载弯矩图 FP FPa 求系数、建立力法方程并求解 仅与刚度相对值有关

FP （×Fpa） FP FPa 由叠加原理求得

力法基本思路小结 根据结构组成分析，正确判断多于约束个数——超静定次数。 解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程。 从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。

将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。

由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。 原结构 基本体系 FP 解法 2： 原结构 基本体系 FP 解法3：

原结构 FP 基本体系 FP M2图 M1图 FPa FP MP图 单位和荷载弯矩图

由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图 由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程 FPa FP MP图 FP 由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程 M1图 M2图 FPa FP MP图 FP （×Fpa）

原结构 FP 基本体系 FP 图 图 FPa FP 图 单位和荷载弯矩图

() 能否取基本体系为 问题： 小结：力法的解题步骤 (1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系) 超静定次数 = 基本未知力的个数 FP 问题： () 小结：力法的解题步骤 (1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系) 超静定次数 = 基本未知力的个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数

（3 次） 或

或 （14 次）

(1 次）

(6 次)

(4 次)

确定超静定次数时应注意： (a) 切断弯曲杆次数3、链杆1，刚结变单铰1，拆开单铰2。总次数也可由计算自由度得到。 (b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。因此，要选取工作量较少的基本结构。 (c) 可变体系不能作为基本结构 (2) 建立力法典型方程 或写作矩阵方程

(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 (4) 求基本结构的位移系数 图乘来求 (5) 求基本结构的广义荷载位移 注意： 用图乘法求 和 时应注意图乘条件 (6) 解方程求未知力

(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图 (8) 任取一基本结构，求超静定结构的位移 例如求 K截面竖向位移： FP （×Fpa） K

FP （×Fpa） K

对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。 FP （×Fpa） （9）对计算结果进行校核 对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。 如： 问题：使结构上的任一部分都处于平 衡 的解答是否就是问题的正确解？

原结构 FP 基本体系 假如： FP FPa M 图 由 求得： (×) 可证：平衡条件均能满足。 但：

结论：对计算结果除需进行力的校核外， 还必需进行位移的校核。 FP （×Fpa）

2. 力法解超静定结构举例 例 1. 求解图示两端固支梁。 解：取简支梁为基本体系 力法典型方程为： 单位和荷载弯矩图 为： 基本体系 FP 例 1. 求解图示两端固支梁。 EI 解：取简支梁为基本体系 基本体系 FP 力法典型方程为： 单位和荷载弯矩图 为：

由于 所以 又由于 图 FP 于是有

两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力 典型方程改写为 图乘求得位移系数为 代入并求解可得 FPab l FPa2b l2 FPab2

例 2. 求超静定桁架的内力。 EA为常数 解： 力法典型方程为： 基本体系 其中： 解得： （拉） FP FP=P FP FP=P FP FNP 图 解得： （拉）

问题：若用拆除上弦杆的静定结构作为基本结构，本题应如何考虑？ FP=P FP 各杆最后内力由 叠加法得到： 由计算知，在荷载作用下，超静定桁架的内力与杆件的绝对刚度EA无关，只与各杆刚度比值有关。 基本体系 FP 问题：若用拆除上弦杆的静定结构作为基本结构，本题应如何考虑？

力法方程的实质为：“ 3、4两结点的相对位移 等于所拆除杆的拉（压）变形 ” 解： 力法方程的实质为：“ 3、4两结点的相对位移 等于所拆除杆的拉（压）变形 ” 互乘求Δ1P FP FP=P FP FNP 图 自乘求δ11 或互乘求δ11X1

令： 有： （拉）

例 3. 求作图示连续梁的弯矩图。 EI 解： 取基本体系， 典型方程： 基本体系 最终解得： ？ 当 (c) 当 M图由 作出：

例 4. 求解图示加劲梁。横梁 解：取基本体系如图(b) 典型方程： 如图示：

当 内力 有无下部链杆时梁内最大弯矩之比：

梁受力有利 令梁内正、负弯矩值相等可得： 如何求 A ？ 当 梁的受力与两跨 连续梁相同。 （同例3中 ） 46.82 -46.82 52.35 1.66m 13.7 如何求 A ？ 当 梁的受力与两跨 连续梁相同。 （同例3中 ）

例 5. 求解图示刚架由于支座移动所产生的内力。 EI常数 解：取图示基本结构 方程的物理意义是否明确？ 力法典型方程为： 其中 为由于支座移动所产生的位移,即

δ Δ1Δ、Δ2Δ、Δ3Δ等于多少？ 单位基本未知力引起的弯矩图和反力 最后内力（M图）： 支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗？ 这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？

问题：如何建立如下基本结构的典型方程？ 基本体系3 基本体系2

基本体系2

基本体系3 b a 用几 何法 与公 式法 相对 比。

试求图示两端固定单跨梁在下属情况下的M图。 (a) A端逆时针转动单位转角。 (b) A端竖向向上移动了单位位移。 (c) A、B两端均逆时针转动单位转角。 (d) A、B两端相对转动单位转角。 (e) A端竖向向上、B端竖向向下移动了单位位移。 FP A B EI

例 6. 求作弯矩图(同例3)。 EI常数 解：选取基本体系 基本体系二 建立典型方程

(下侧 受拉) (c) 弯矩图为： 进一步求D点竖向位移

例 7. 求图示刚架由于温度变化引起的内力与K点的 。 (a) 外侧t1 内侧t2 (b) 例 7. 求图示刚架由于温度变化引起的内力与K点的 。 EI常数 解：取基本体系如图 典型方程为： t1=250C t2=350C 温度变化引起的结构位移与内力的计算公式为：

设刚架杆件截面对称于形心轴，其高 则 温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关。

温度低的一侧受拉，此结论同样适用于温度引起的超静定单跨梁。 M 图 温度低的一侧受拉，此结论同样适用于温度引起的超静定单跨梁。

设基本未知力为 X，则 下侧正弯矩为 跨中支座负弯矩为 根据题意正弯矩等于负弯矩，可得 有了基本未知力，由典型方程可得

3. 力法计算的简化 无弯矩状态的判别 前提条件：结点荷载； 不计轴向变形。 刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况

刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况

利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使手算分析得到简化。

一、 对称性 (Symmetry) 的利用 支承不对称 几何对称 支承对称 刚度对称 刚度不对称 非对称结构 对称结构 注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不能称超静定结构是对称结构。

对称结构的求解： （1）选取对称的基本结构 力法典型方程为：

典型方程简化为： 正对称部分 反对称部分 正对称与反对称荷载：

如果作用于结构的荷载是对称的，如: 如果作用于结构的荷载是反对称的，如:

结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。 例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。

解：根据以上分析，力法方程为：

例： 由于 ，问题无法化简

（2）未知力分组和荷载分组 力法典型方程成为：

对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如： （3）取半结构计算： 对称轴

（d） （c） 问题：偶数跨对称刚架如何处理？

例1：求作图示圆环的弯矩图。 EI=常数。 （a) 解： 取结构的1/4分析 (b) 单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：

若只考虑弯矩对位移的影响，有： 弯矩为：

例 2. 试用对称性对结构进行简化。EI为常数。 FP 方法 1 FP FP /2 FP /2 I/2

FP /2 I/2 无弯矩， 不需求解 FP /4 I/2 FP /4 I/2

FP /4 I/2 FP/4 FP /4 I/2 FP /4 FP /4 I/2

无弯矩， 不需求解 FP /2 FP /4 方法 2 FP FP /2 FP /4 FP /2

FP /4 FP /2 I/2 FP /4 又看到您了！ FP /4 I/2 FP /4 I/2 FP /4

二、 使单位弯矩图限于局部

三、 合理地安排铰的位置

写力法解超静定拱 的读书摘记

对称结构按跨数可分为