测 量 平 差 太原理工大学测绘科学与技术系

第一章 观测误差及其传播

§1 概述 §2 观测误差及其分类 §3 偶然误差的规律性 §4 衡量精度的指标 §5 方差传播律及其应用 §6 权与定权的常用方法 §7 协因数和协因数传播律 §8 由真误差计算中误差及其实际应用 §9 系统误差与偶然误差的联合传播

§1 概 述 测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并评定测量成果的精度。解决这两个问题的基础，是要研究观测误差的理论，简称误差理论。 本章主要介绍偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法等。

§2 观测误差及其分类 当对某量进行重复观测时，常常发现观测值之间往往存在一些差异。例如，从几何上知道一个平面三角形三内角之和应等于180º，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观测值之和通常不等于180º。在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。

引起误差的主要来源 测量仪器：测量工作通常是利用测量仪器进行的。由于每一种仪器都具有一定限度的精密度，因而使观测值的精密度受到了一定的限制。 观测者：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数方面都会产生误差。 外界条件：观测时所处的外界条件，如温度、湿度、压强、风力、大气折光、电离层等因素都会对观测结果直接产生影响；随着这些因素的变化，它们对观测结果的影响也随之不同，因此观测结果产生误差是必然的。

根据观测误差的性质，可将观测误差分为 ： 系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差（举例）。 偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差（举例）。 粗差： 由于观测者工作态度和技术水平造成的错误

系统误差举例 测距仪的乘常数误差所引起的距离误差与所测距离的长度成正比地增加，距离愈长，误差也愈大；测距仪的加常数误差所引起的距离误差为一常数，与距离的长度无关。这是由于仪器不完善或工作前未经检验校正而产生的系统误差。又如，用钢尺量距时的温度与检定尺长时的温度不一致，而使所测的距离产生误差；测角时因大气折光的影响而产生的角度误差等等，这些都是由于外界条件所引起的系统误差

偶然误差举例 经纬仪测角误差是由照准误差、读数误差、外界条件变化所引起的误差和仪器本身不完善而引起的误差等综合的结果。而其中每一项误差又是由许多偶然因素所引起的小误差。例如照准误差可能是由于照准部旋转不正确、脚架或觇标的晃动与扭转、风力风向的变化、目标的背影、大气折光等等偶然因素影响而产生的小误差。因此，测角误差实际上是许许多多微小误差项构成，而每项微小误差又随着偶然因素的影响不断变化，其数值的大小和符号的正负具有随机性，这样，由它们所构成的误差，就其个体而言，无论是数值的大小或符号的正负都是不能事先预知的。因此，把这种性质的误差称为偶然误差。偶然误差就其总体而言，具有一定的统计规律，有时又把偶然误差称为随机误差。

§3 偶然误差的规律性 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。 §3 偶然误差的规律性 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。 就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。

偶然误差的规律性 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 偶然误差的数学期望为零，即： 换句话说，偶然误差的理论平均值为零。

偶然误差分布直方图

§4 衡量精度的指标 评定测量成果的精度是测量平差的主要任务之一。精度就是指误差分布的密集或离散的程度。 从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上，即有误差分布曲线较高而陡峭和误差分布曲线较低而平缓两种情形。

衡量精度的指标 在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于他们对应着同一种误差分布，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。

衡量精度的指标--方差和中误差 用 表示误差分布的方差，误差Δ的概率密度函数为： 由方差的定义： 由于在此主要包括偶然误差部分， ，所以有： 用 表示误差分布的方差，误差Δ的概率密度函数为： 由方差的定义： 由于在此主要包括偶然误差部分， ，所以有： 就是中误差：

衡量精度的指标--平均误差 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。 设以 表示平均误差，则有： 设以 表示平均误差，则有： 如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，平均误差为 即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。

衡量精度的指标--或然误差 或然误差的定义是：误差出现在 之间概率等于1/2，即 将Δ的概率密度代入上式，并作变量代换，令 则得： 或然误差的定义是：误差出现在 之间概率等于1/2，即 将Δ的概率密度代入上式，并作变量代换，令 则得： 由概率积分表查得，当概率为1/2时，积分限为0.6745，即得 上式是或然误差与中误差的理论关系。不同的也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差也可以作为衡量精度的指标。

衡量精度的指标--极限误差 在大量同精度观测的一组误差中，误差落在 和 的概率分别为：68.3%、95.5%和99.7%。上式反映了中误差与真误差间的概率关系。绝对值大于中误差的偶然误差，其出现的概率为31.7%；而绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5%；特别是绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅有0.3%，这已经是概率接近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。

衡量精度的指标--相对误差 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为1。 对于真误差与极限误差，有时也用相对误差来表示。例如，经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭合差不能超过，它就是相对极限误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差。与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。

§5 方差传播律及其应用 协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。在实际工作中，某些量的大小往往是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的

协方差与相关 协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X和Y，它们的协方差定义是： 式中： 和 分别是X和Y的真误差。 设是观测值的真误差，是观测值的真误差，而协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即 实用上总是有限值，所以也只能求得它的估值，记为

协方差与相关 当X和Y相互独立时： 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着相互独立。只有当和服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互独立是等价条件。

协方差与相关 如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间互不影响，或者说，它们的误差是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，对于正态随机变量而言，“不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。

协方差与相关 在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。

协方差与相关 通过变换将随机变量标准化，则两个标准化变量乘积的数学期望就是一个无量纲的数，称之为相关系数： 由于 和 为正，所以 的正负取决于 的正负。 大于零称为正相关， 小于零称为负相关， 等于零称为不相关。可以证明 的绝对值不大于1。

协方差与协方差阵 假定有 个不同精度的相关观测值 ，它们的数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为: 假定有 个不同精度的相关观测值 ，它们的数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为: 式中 为观测值向量，简称为观测值； 为的数学期望； 为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。

协方差与协方差阵 设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。 令： ；则 的方差阵为： 设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。 令： ；则 的方差阵为： 式中 和 分别为X和Y的协方差阵， 是X关于Y的互协方差阵。

观测值线性函数的方差 设有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为 ,即 式中 为 的方差， 为 和 的协方差，又设有 的线性函数为： 令： 设有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为 ,即 式中 为 的方差， 为 和 的协方差，又设有 的线性函数为： 令： 则：

观测值线性函数的方差 对上式两边取数学期望： Z的方差为： 即：

观测值线性函数的方差 当向量 中的各分量两两独立时，它们之间的协方差 =0，此时上式为： 线性函数的协方差传播律叙述为： 设有函数： 则：

多个观测值线性函数的协方差阵 设有观测值向量 和 ， 的数学期望和协方差阵分别为 和 ， 的数学期望和协方差阵分别为 和 ， 关于 的互协方差阵为 。

多个观测值线性函数的协方差阵 若有 的 个线性函数： 若令： 则：

多个观测值线性函数的协方差阵 即 设另有 的 个线性函数

多个观测值线性函数的协方差阵 令 即： 根据互协方差阵的定义：

多个观测值线性函数的协方差阵

协方差传播律 设有观测值向量 和 的线性函数： 设有观测值向量 和 的线性函数： 的方差阵 ， 的方差阵 ， 关于 的互协方差阵为 （ ）， 、 、 、 为常系数阵。则有如下方差和协方差计算公式： 这就是协方差传播律的实用计算公式，其它计算公式均可由此导出。

单个非线性函数 设有观测值 的非线性函数 ： 或表示为 已知 的协方差阵 ，求 的方差 。 假定观测值 有近似值： 将函数式 按台劳级数在点 设有观测值 的非线性函数 ： 或表示为 已知 的协方差阵 ，求 的方差 。 假定观测值 有近似值： 将函数式 按台劳级数在点 处展开为：

单个非线性函数 式中 是函数对各个变量所取的偏导数，并 以 近似值代入所算得的数值，它们都是常数， 当 与 非常接近时，上式中二次以上各项很 式中 是函数对各个变量所取的偏导数，并 以 近似值代入所算得的数值，它们都是常数， 当 与 非常接近时，上式中二次以上各项很 微小，可以略去，将上式写为： 令： 得： 这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，然 后用线性函数的协方差传播律计算协方差。

单个非线性函数 如果令： 则上式可写为 上式是非线性函数式的全微分。根据协方差传播 律： 为求非线性函数的方差，对它求全微分就可以了。

多个非线性函数 如果有 的 个非线性函数 将 个函数求全微分得

多个非线性函数 若记 则有： 根据协方差传播律得 的协方差阵： 因此，对于非线性函数，首先将其线性化，然后 根据协方差传播律得 的协方差阵： 因此，对于非线性函数，首先将其线性化，然后 用线性函数的协方差传播律计算。线性化方法可 用台劳级数展开或求全微分。

应用协方差传播律的具体步骤 1.按要求写出函数式，如： 2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得： 3.写成矩阵形式 ： 或 3.写成矩阵形式 ： 或 4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。

本节重要知识点 1.权的定义和特性； 2.权在测量平差计算中的作用； 3.单位权方差； 4.定权的基本方法； §6权与定权的常用方法 本节重要知识点 1.权的定义和特性； 2.权在测量平差计算中的作用； 3.单位权方差； 4.定权的基本方法；

权的定义 1.权概念的产生 如生活中有这样的例子： 某商店卖某商品，若该商品一天内售出3件，1件按10元/每件价格售出，2件按13元/每件价格售出，该商品当天的平均售价为12元

由计算式可知：10元、13元两个销售价位在平均价的构成中，分别占 的比例，这个比例就是权。 这里，商品价格是被观测量，每次的具体售价就是价格的观测值。 对本例而言，商品每个价位在平均价中的所占的比例（或称权重）由商品的销售量决定。

测绘实践中，也有确定计算比例的需要： 对一个量（如一段距离）进行了多次观测，得到多个观测值，每个观测值的精度可能高，也可能低，实际应用要求，在用这些观测值计算该段距离的最终取值（最佳估值）时，所计算出的最终值的精度应尽量地高，同时使数据的利用率尽量高。

2.测量平差中定义权时应遵循的原则 要满足“所计算出的最终值的精度应尽量地高”的要求，就必须定义一个确定计算比例（定权）的原则，在这个定权的原则下： 精度高的观测值，在最终结果中应占有比精度低的观测值更大的比例；精度越高的观测值权越应大，精度越低的观测值权越应小；

3.权的定义 满足上述原则，并顾及测量偶然误差的传播特性，定义权如下： 对一组观测值Li，i=1、2 、 n ，若已知各观测值的方差为 --- ，选定任一不为 零常数 ，则观测值Li的权为 1-6-1

说明 式中的方差 既可是同一量不同观 测值的方差，也可是不同观测量的方差，式1-6-1既可计算同一量不同观测值的权，也可计算同一平差问题中各个不同观测量的权。

由权的定义式可知 该关系式形象地反映了权的作用

由上式和权的定义可知，所定义的权可以反映“计算比例”，且符合方差愈小—观测值精度愈高---权愈大---计算中所占比例愈大的要求。 4.权的特性： 1)选定一个 值，即有一组对应的权。或者说，有一组权就对应一个 值 2)一组观测值的权，其大小随 的不同而异，但无论选用何值，权之间的比例关系不变。下面用一个定权的例子说明

定权示例：图示的某水准网共有5条水准路线，（属同一平差问题不同观测量间定权） 水准网观测完后，可已知： 各条路线的距离为：S1= 1.5km, S2=2.5km, S3=2.0km,S4=4.0km,S5=3.0km 各段水准观测条件相同

（1）确定各观测量（各段观测高差）的方差 根据给定的条件“各段水准观测条件相同”，结合水准测量的特点，可知：在该水准网中，路线长度相同时，高差的观测误差相等，即每km高差中误差相等，设每km高差中误差为

根据协方差传播律，网中各段观测高差hi的方差为：

（2）选定一个 常数 （3）由式（1-6-1） ， 可计算出 该水准网各段高差观测值的权。 为了说明 与权的关系，现分别赋 予 不同的值定权：

定权第1次：赋予 即将第5段水准的观测高差h5的高差中误差取作 ，则水准网各路线高差观测值第一次定权结果 注意：第5段水准的观测高差h5的权p5=1

定权第2次：赋予 即将第1段水准的观测高差h1的高差中误差取作 ，则水准网各路线高差观测值第二次定权结果 注意：第1段水准的观测高差h1的权

两次确定的水准路线各段观测高差的权值是不一样的，但各观测值权间的比例不变： 即权间的比例关系不受 取值的影响

3)权具有比较观测值精度高低的作用，精度高的权大。反之，权小。为保证权能具有比较观测值精度高低的作用，在同一平差问题中，只能选定一个 值 4)只要给定一定的观测条件,就可以定出权的数值,如示例中,只知道“各段水准观测条件相同”,以及各段水准的观测长度

的km数,并不需要知道每km观测高差中误差的具体值,就可定出权的具体值。 这一特性具有重要实用意义，也是测量平差中广泛使用权的原因。 注意：理解权的含义与特性时，不要认为 只可取现实的一组观测值中的任一观测值的中误差值， 也可是一虚拟的值

单位权中误差、单位权方差 由示例可知，定权过程中 虽只起一个比例常数的作用，但一经选定，它便有了具体的含义。 示例中，当分别选定 由示例可知，定权过程中 虽只起一个比例常数的作用，但一经选定，它便有了具体的含义。 示例中，当分别选定 和 定权时，第5段、第1段高差观测值的权均为1即

由此可见，凡中误差等于 的观测值，其权为P=1；反之，权等于1的观测值，其中误差必等于 据此，测量平差中产生了下列述语： 单位权观测值：将权等于1的观测值称为单位权观测值。 如：示例中的 h5 (第一次定权时) h1 (第二次定权时)

单位权方差：将权等于1的观测值方差称为单位权方差,或方差因子。 如示例 中的 是第一次定权时,第五段水准路线的高差h5的高差观测中误差

单位权中误差：将权等于1的观测值中误差称为单位权中误差。

权的单位 由权的定义式 可知：权的单位决定于单位权中误差 和观测值中误差 的单位。 可知：权的单位决定于单位权中误差 和观测值中误差 的单位。 当在一组同类型的观测元素间定权时，所选单位权中误差取与观测值中误差相同的单位，由此确定的权没有单位，是一组无量纲的值。

当要确定权的观测值（或它们的函数）中，包含两种以上不同类型的观测元素（或它们的函数），则可能出现有些权有量纲，有些权无量纲的情况。 如：观测值中有角度量（单位：秒）、长度量（单位：mm），若取单位权中误差 的单位为秒，则观测值权的单位中，角度观测值权为无量纲，长度观测值权的单位为：“秒2/mm2”

测量上常用的定权方法 实际测量中，观测值或其函数的中误差需在平差后才能知道，而观测的权则可在未知观测值中误差的情况下，通过已知的观测条件或其它条件确定，因此平差前先行

确定观测值的权,在测量平差数据处理中占有重要地位。 通过先确定观测值的权，也就是先确定观测值间精度的相对数字指标，再通过平差计算，一方面确定观测值的最佳估值，另一方面确定观测值精度的绝对数字指标（方差）的平差计算方法，已经成为测量平差中普遍采用的方法。

下面讨论几种主要类型的测量观测值定权的方法 1.距离观测值的权 设单位长度(如1km)的距离观测值方差为 ,根据协方差传播律,全长为S km的距离观测值的方差为

取C km距离观测值的方差为单位权方差,即取: 任一距离观测值的权为 距离的权时,只需知道距离观测值的长度

根据距离定权公式 如果一段距离S=1，其权P=C； 而当P=1时，C=S，所以， C是1km距离观测值的权 C是单位权距离观测值的km数

2.水准测量观测值的权 方法一 用水准路线的测站数定权

图示的水准网中,共测n(=7)条水准路线,得各段观测高差分别为 h1, h2, h3, h4, h5, h6, h7,…hn 各路线的测站数为 N1, N2, N3, N4, N5, N6, N7 … Nn 设每一站高差观测的精度相同,每站观测高差的方差为

根据协方差传播律,各段水准路线观测高差的方差为 或中误差为 取C站的高差观测值的方差为单位权方差 第i条水准路线观测高差的权为

根据高差按测站数定权公式： 当某段高差的测站数Ni=1时，它的权P=1 而当Pi=1时，Ni=C，所以 C是一测站观测高差的权 C是单位权观测高差的测站数

方法二 用水准路线的长度定权 图示的水准网中,共测n(=7)条水准路线,得各段观测高差分别为 h1, h2, h3, h4, h5, h6, h7,…hn 各段水准路线长度为 S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7 … Sn 设每km高差观测的精度相同,每km观测高差的方差均为

根据协方差传播律,各段水准路线观测高差的方差为 或中误差为 取C km高差观测值的方差为单位权方差 第i条水准路线观测高差的权为

根据高差按路线长度定权公式 当某段水准路线的长度Si=1时，Pi=C 当Pi=1时，Si=C，所以， C是1km观测高差的权 C是单位权观测高差的km数

3.同精度观测值算术平均值的 设有n个观测值 它们分别是N1, N2, … Nn次同精度观测值的平均值,若每次观测的方差均为

根据协方差传播律,任一算术平均值Li的方差为 若取单位权方差为 第i个算术平均值Li的权为

根据上述定权公式： 当Ni=1时,C=1/Pi，pi=1时，C=Ni 这里常数C的两个意义是 C是一次观测的权倒数 C是单位权观测值的观测次数

权在测量平差中的作用： 1.在平差中，方差是表征精度的绝对数字指标，权则是表征精度的相对数字指标,权可用来比较各观测值相互之间精度高低，确定观测值在参加平差计算时的比例,权的意义不在于其本身数值的大小，而在于权之间存在的比例关系。 2.权可在观测值方差未知的情况下，根据观测条件先行确定，满足平差计算的需要。

§7 协因数和协因数传播律 权是一种比较观测值之间精度高低的指标，同样可以用权来比较各个观测值函数之间的精度。在此引进协因数和协因数阵的概念解决根据观测值的权来求观测值函数权的问题。

协因数与协因数阵 设有观测值 和 ，它们的权分别为 和 ，它们的方差分别为 和 ，它们之间的协方差为 ，单位权方差为 。 令： 或写为： 设有观测值 和 ，它们的权分别为 和 ，它们的方差分别为 和 ，它们之间的协方差为 ，单位权方差为 。 令： 或写为： 称为 的协因数或权倒数， 为 的协因数或权倒数， 为 关于 的协因数或相关权倒数。

协因数与协因数阵 设有观测值向量（或者是观测值函数向量）X和Y，它们的方差阵分别为 和 ， 关于 的互协方差阵为 单位权方差为 。 令： 或写为： 称为X的协因数阵， 为Y的协因数阵， 为X关于Y的互协因数阵。协因数阵中的主对角线元素就是各个的权倒数，它的非主对角线元素是关于的相关权倒数

协因数与协因数阵 设有独立观测值 ，其方差为 ，权为 ，单位权方差为 。 的协因数阵为 则有

协因数传播律 这就是协因数传播律的实用计算公式，也称为权 逆阵传播律。通常将协方差传播律与协因数传播 律合称为广义传播律

协因数传播律 设有观测值向量 和 的线性函数： 的协因数阵 ， 的协因数阵 ， 关于 的互协因数阵为 （ ）， 、 、 、 为常系数阵。 设有观测值向量 和 的线性函数： 的协因数阵 ， 的协因数阵 ， 关于 的互协因数阵为 （ ）， 、 、 、 为常系数阵。 假设单位权方差为 ， 的方差阵 ， 的方差阵 ， 关于 的互协方差阵为 （ ）。由协方差传播律，并顾及协因数阵与协方差阵的关系式，得

§8 由真误差计算中误差及其实际应用 用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式 由真误差计算中误差的应用 由三角形闭合差求测角方差 由双观测值之差求中误差

用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式 设有一组同精度独立观测值 ，它们的数学期望为 ，真误差为 ， ， ，有 观测值的方差为 当n为有限值时得到方差的估值 上式是根据一组同精度独立的真误差计算方差的基本公式。 现在设 是一组不同精度的独立观测值， 的数 学期望、方差和权分别为 、 和 ， ， 。

用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式 为了求得单位权方差，需要得到一组精度相同且其权均为1的独立的真误差，作如下变换： 根据协因数传播律得： 对于一组不同精度独立的真误差，经变换后，得 到一组权为的同精度独立的真误差： 。单 位权方差 上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单 位权方差的理论值。由于总是有限的，故只能求 得单位权方差的估值

由真误差计算中误差的应用 在一般情况下，观测量的真值(或数学期望)是不知道的。但是，在某些情况下，由若干个观测量(例如角度、长度、高差等)所构成的函数，其真值有时是已知的，因而，其真误差也是可以求得的。 例如一个平面三角形三内角之和的真值为180˚，由三内角观测值算得的三角形闭合差就是三内角观测值之和的真误差。 1．由三角形闭合差求测角方差 2．由双观测值之差求中误差

由三角形闭合差求测角方差 设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为 ，则三角形闭合差的方差为 当三角形个数为有限的情况下，可求得三角形闭合差的方差的估值 运用协方差传播律，并设测角方差均为，得 测角方差为： 测角中误差为：

由双观测值之差求中误差 设对量 分别观测两次，得独立观测值和权 分别为 其中观测值和是对同一量的两次观测的结果，称为 设对量 分别观测两次，得独立观测值和权 分别为 其中观测值和是对同一量的两次观测的结果，称为 一个观测对。在测量工作中，常常对一系列被观测 量分别进行成对的观测。假定不同的观测对的精度 不同；而同一观测对的两个观测值的精度相同，即 和 的权都为 。 由于观测值带有误差，对同一个量的两个观测值的 差数一般是不等于零的。设第 个量的两次观测值 的差数 为

由双观测值之差求中误差 设 的真值是 运用协因数传播律可得的权： 即： 这样就得到了 个真误差和它们的权 。得到由双 设 的真值是 运用协因数传播律可得的权： 即： 这样就得到了 个真误差和它们的权 。得到由双 观测值之差求单位权方差的公式 当n 有限时，其估值为 各观测值和的方差为： 第 对观测值的平均值 的方差为：

§9 系统误差与偶然误差的联合传播 由于种种原因，在观测成果中总是或多或少地存在残余的系统误差。由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法，不可能得到某些通用的处理方法。对于残余的系统误差对成果的影响，没有严密的计算方法。

观测值的系统误差与综合误差的方差 设有观测值 观测量的真值为 ，则的综合误差 可定义为 如果综合误差中只含有偶然误差 ，则： 。 设有观测值 观测量的真值为 ，则的综合误差 可定义为 如果综合误差中只含有偶然误差 ，则： 。 如果 中除包含偶然误差外 ，还包含系统误差 ，则： 由于系统误差不是随机变量，所以的数学期望为 可见， 也是观测值 的数学期望对于观测值的真值的偏差值。观测值 含的系统误差愈小， 愈小， 愈准确，有时也称 为 的准确度。

观测值的系统误差与综合误差的方差 当观测值中既存在偶然误差，又存在残余的系统误差时，常常用观测值的综合误差方差来表征观测值的可靠性。 顾及系统误差是非随机量，所以综合误差的方差为 即观测值的综合误差方差等于它的方差与系统误差的平方之和。 当系统误差小于等于中误差的三分之一时，即当 时，得 在这种情况下，如果不考虑系统误差的影响，所求得的的减小量不会大于5%。

系统误差的传播 设有观测值的真值、综合误差和系统误差，则： 又设有观测值的线性函数： ，则线性函数的综合误差与各个的综合误差之间的关系式为： 又设有观测值的线性函数： ，则线性函数的综合误差与各个的综合误差之间的关系式为： 对上式取数学期望得： 所以得： 上式就是线形函数的系统误差的传播公式。

系统误差的传播 对于非线性函数： ，可以用它们的微分关系代替它们的误差之间的关系，然后按线性函数的系统误差的传播公式计算： 令： 对于非线性函数： ，可以用它们的微分关系代替它们的误差之间的关系，然后按线性函数的系统误差的传播公式计算： 令： 则有线性函数： 同样有： 。

系统误差与偶然误差的联合传播 当观测值中同时含有偶然误差和残余的系统误差时，还有必要考虑它们对观测值的函数的联合影响问题。这里只讨论独立观测值的情况。 设有函数： ， 观测值的综合误差为： ， 函数Z的综合误差为： 函数Z的综合误差方差为：

再 见