本节内容 本课内容 用待定系数法确定 一次函数表达式 4.4

许多实际问题的解决都需要求出一次函数的 表达式. 怎样才能简便地求出一次函数的表达式呢？

探究 如图4-14，已知一次函数的图象经过P（0，-1）， Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 图4-14

因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0），要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）. 选取 画出 函数解析式 y=kx+b 满足条件的两点 (x1,y1),(x2,y2) 一次函数的图象 直线l 解出 选取

｛ ｛ 因为P（0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上， 因此它们的坐标应满足y=kx+b ， 将这两点坐标代入该 式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组： k·0 + b = -1， k + b = 1. ｛ ｛ 解这个方程组，得 k=2， b=-1. 所以，这个一次函数的表达式为y = 2x- 1.

像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型）， 再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数 的表达式的方法称为待定系数法.

议一议 要确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 举例和大家交流.

举 例 例1 温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度. 水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为 212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度 度量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关 近似地为一次函数关系，你能不能想出一个 办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？ 例1 举 例

｛ C = kF + b， 用C,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设 解 由已知条件，得 212k + b =100， 32k + b = 0 . ｛ 解这个方程组，得 因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为

小提示 在上述例子中，由于我们求出了摄氏温度与华氏温度的函数关系式，因此可以方便地把任何一个华氏温度换算成摄氏温度.

某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h） 之间为一次函数关系，函数图象如图4-15所示. （1）求y关于x的函数表达式； （2）一箱油可供拖拉机工作几小时？ 例2 举 例 图4-15

｛ （1）求y关于x的函数表达式； （1） 解 设一次函数的表达式为y = kx + b ，由于 点P （2，30）， Q（6，10）都在一次 函数图象上，将这两点坐标代入表达式，得 2k + b =30， 6k + b =10. ｛ 解这个方程组，得 所以 y = -5x + 40.

（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？ （2）解 当剩余油量为0时， 即y=0 时， 有 -5x + 40 = 0， 解得 x = 8. 所以一箱油可供拖拉机工作8 h．

练习 解 1. 把温度84华氏度换算成摄氏温度. 由摄氏温度与华氏温度的函数关系得 解得 C≈28.9(℃) 因此，把温度84华氏度换算成摄氏温度约为28.9度.

解 2. 已知一次函数的图象经过两点A(-1，3)，B(2，-5)，求这个函数的解析式. -k + b = 3， 2k + b = -5. 设y=kx+b，由于两点A，B都在这个函数的图象上. 因此 -k + b = 3， 2k + b = -5. 因此所求一次函数的解析式为 解得 k= ，b= . y = x + .

解 k×0 + b = 5.250 ， k×40 + b = 5.481. 3. 酒精的体积随温度的升高而增大，体积与温度之间 3. 酒精的体积随温度的升高而增大，体积与温度之间 在一定范围内近似于一次函数关系，现测得一定量 的酒精在0 ℃时的体积为5.250 L，在40 ℃时的体积 为5.481 L，求这些酒精在10 ℃和30 ℃时的体积各是 多少？ 解 设体积与温度之间的函数关系为y=kx+b，由已知得： k×0 + b = 5.250 ， k×40 + b = 5.481. 解得 k=0.005775，b= 5.250 . 因此所求一次函数的解析式为 y=0.005775x+5.250.

在10 ℃，即x=10时， 体积y=0.005775×10 +5.250=5.30775(L). 在30 ℃，即x=30时， 体积y=0.005775×30 +5.250=5.42325(L). 答：这些酒精在10 ℃和30 ℃时的体积各是 5.30775L 和5.42325L.

中考 试题 例 百舸竞渡，激情飞扬，端午节期间，某地举行龙舟比赛.甲、乙两支龙舟队在比赛时路程y(米)与时间x(分)之间的函数图象如图.根据图象回答下列问题： （1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先位置？ （2）在这次龙舟赛中，哪支龙舟队先到达终点？提前多 少时间到达？ （3）求乙队加速后，路程y(米)与时间x(分)之间的函数 关系式. 300 O 1 2 3 4 600 1050 150 5 4.5 乙 甲 y(米) x(分)

分析 （1）（2）观察图象可得.（3）用待定系数法解. 解 由图象可知， （1）1.8分钟时甲龙舟队处于领先位置. （2）在这次龙舟赛中， 乙龙舟队先到达终点，比甲提前0.5分钟. （3）设乙队加速后， y与x的关系式为：y=kx+b. 将(2，300)、(4.5，1050）分别代入上式，得 解得 ∴ y = 300x-300(2≤x≤4.5) 300 O 1 2 3 4 600 1050 150 5 4.5 乙 甲 y(米) x(分)

结 束