第6章 微分方程模型

在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科的许多系统中，有时很难找到该系统有关变量之间的函数表达式，但却容易建立这些变量的微小增量或变化率之间的关系式，这个关系式就是微分方程模型。 前面的章节可以看到在很多问题的数学建模中或多或少都涉及到微分方程的概念和理论，这不足为怪，因为微分方程本身就是处理带有涉及变化率或增量特征的问题。

微分方程模型 6.1 微分方程模型的建模步骤 6.2 作战模型 6.3 传染病模型 习题

6.1 微分方程模型的建模步骤 ？ 例1 某人的食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他每天大约每千克体重消耗69焦的热量。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1千克脂肪含热量41868焦，试研究此人的体重随时间变化的规律。 模型分析 问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的 微分方程。

模型假设 1. 表示 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为 ； 2. 关于 连续而且充分光滑； 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。 模型建立 对于“每天”：体重的变化= W = 输入-输出 体重的变化/天= = 输入/天—输出/天

代值： 输入/天 = 10467—5038 = 5429（焦/天） 输出/天 = 69× = 69 （焦/天） 输入/天—输出/天=5429-69 W （焦/天） 考虑单位的匹配，利用单位转换公式 “1千克=41868焦”，有增量关系 （焦/天） 取极限并加入初始条件，得微分方程模型

模型求解结果 模型讨论 此人的体重会达到平衡吗? 显然由 的表达式，当 时，体重有稳定值 直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下， 是不发生变化的，所以 。这就非常直接地给出了

建立微分方程模型方法 根据规律列方程 微元分析法。 模拟近似法。

6.2 作战模型 问题的提出 影响一个军队战斗力的因素是多方面的，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。 ？ 模型分析 甲乙两支部队互相交战，在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的诸多因素转化为数量非常困难。为此，我们作如下假定把问题简化。

模型假设 1. x(t) , y(t) 表示甲乙双方在时刻 t 的人数， x(0)=x0 ,y(0)=y0 分别表示甲乙双方在开战时的初始人数，x0 > 0, y0 >0； 2.设x(t) , y(t)是连续变化的，并且充分光滑； 3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f(x,y) , g(x,y)分别表示甲乙双方的战斗减员率； 4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数 分别对应甲乙双方； 5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以u(t) , v(t) 表示。

模型建立 根据假设得到一般的战争模型

正规作战模型 模型假设 1.不考虑增援，并忽略非战斗减员； 2.甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上。

正规作战模型 因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比例关系，以b 、a 分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力，称为战斗有效系数。 以rx 、ry 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队的武器装备；以 px 、py 分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，它们主要取决于士兵的个人素质，则有

模型建立 正规作战数学模型的一般形式 由假设2，甲乙双方的战斗减员率分别为 于是得正规作战的数学模型

其中 模型求解 借助微分方程图解法求解。注意到相平面是指把时间 t作为参数，以 为坐标的平面，而轨线是指相平面中由方程组的解所描述出的曲线。借此可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局。 求解轨线方程。将模型方程的一式除以二式，得到 用分离变量法得该模型的解

图6-1 平方律的双曲线

战争结局分析 模型解确定的图形是一条双曲线，箭头表示随着时间 的增加， 、 的变化趋势。而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”（全部投降或被歼灭）的一方为败。因此，如果 ，则乙的兵力减少到 时甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知， 时，甲方获胜。而当 时，双方战平。 甲方获胜的充要条件为 代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为

故可找到一个用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数： 式中Z表示参战方的初始人数，可以取甲方或乙方。综合战斗力的评价函数暗示参战方的综合战斗力与参战方士兵的射击率（武器装备的性能）、士兵一次射击的（平均）命中率（士兵的个人素质）、士兵数的平方均服从正比例关系。

模型应用 正规作战模型在军事上得到了广泛的应用，主要是作战双方的战斗条件比较相当，方式相似。J.H.Engel就曾经用正规战模型分析了著名的硫磺岛战役，发现和实际数据吻合得很好。

游击作战模型 模型假设 1.不考虑增援，忽略非战斗减员； 2.甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵的活动均具有隐蔽性，对方的射击行为局限在某个范围考虑可以被认为是盲目的。因此，甲乙双方的战斗减员率不光与对方的兵力有关，同样设为是正比关系；而且与自己一方的士兵数有关，这主要是由于其活动空间的限制所引起的，士兵数越多，其分布密度会越大，显然二者服从正比例关系，这样对方投来的一枚炮弹的平均杀伤力（期望值）也会服从正比例关系增加； 3.若以 、 分别表示甲乙双方的有效活动区域的面积，以 、 分别表示甲乙双方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，以 、 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率， 、 、 、 主要取决于部队的武器装备的性能和贮备； 、 也取决于士兵的个人素质。所以甲方的战斗有效系数 ，乙方战斗有效系数

模型建立 游击作战模型的形式： , 由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为 结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型

模型求解 类似正规作战模型的处理，从模型方程可以得到 进而可得该模型的解 其中 在相平面中画出如下轨线图（图6-2）

混合作战模型 模型假设 1.不考虑增援，忽略非战斗减员 2.甲方以游击作战方式，乙方以正规作战方式； 3.以 、 分别表示甲乙双方的战斗有效系数，若以 、 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，以 、 分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，以 表示甲方的有效活动区域的面积，以 表示乙方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，则 ， 模型建立 混合作战的数学模型：

其中 模型求解 该模型的解： 在相平面中画出如下轨线图（图6-3）

模型应用 假定以正规作战的乙方火力较强，以游击作战的甲方虽火力较弱，但活动范围较大，利用上式可以估计乙方为了获胜需投入多大的初始兵力。不妨设 ， ， ，活动区域 平方千米，乙方每次射击的有效面积 平方米，则可得乙方获胜的条件为： 即 ，乙方必须10倍于甲方的兵力。

点评与讨论 应用了微分方程建模的思想 这类模型反映了我们描述的对象随时间的变化。

6.3传染病模型 问题的提出 上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ ？ 问题分析 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化。 把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（SusceptibleI )类；感病者（Infective）；R类，移出者（Removal）

2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。 记时刻t的得病人数为 ，开始时有 个传染病人，则在 时间内增加的病人数为 建立模型 SI模型1 模型假设 1.每个病人在单位时间内传染的人数为常数 ； 2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。 记时刻t的得病人数为 ，开始时有 个传染病人，则在 时间内增加的病人数为 得： 其解为：

模型分析与解释 这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律无限增加，显然与实际不符

2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 （传染强度）； SI模型2 记时刻 的健康者人数为 模型假设 1.总人数为常数 ，且 ； 2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 （传染强度）； 3.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。 在此假设下可得微分方程 解得：

模型分析 易得 的极大值点为： 。当传染强度 增加时， 将变小，即传染高峰来得快，这与实际情况吻合。但当 时， ，这意味着最终人人都将被传染，显然与实际不符。 带宣传效应的SI模型3 模型假设 1.单位时间内正常人被传染的比率为常数 ； 2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。 由导数的含义和假设，易得微分方程：

解得： 假设宣传运动的开展将使得传染上疾病的人数减少，减少的速度与总人数成正比，这个比例常数取决于宣传强度。若从 开始，开展一场持续的宣传运动，宣传强度为 ，则有数学模型为 其中： 为Heaviside函数。求得微分方程的解为：

如果宣传运动是短暂进行的，这在日常生活中是常见的，例如仅仅是听一个报告，或街头散发传单等，即在 等 个时刻进行 次宣传，宣传强度分别为 ，则模型变为 解得： 表明持续的宣传是起作用的，最终会使发病率减少。 但此时有 ，这表明短暂的宣传是不起作用的，最终还是所有的人 都染上了疾病。

SIS模型 有些传染病如伤风、痢疾等愈后的免疫力很底，可以假定无免疫性。于是痊愈的病人仍然可以再次感染疾病，也就是说痊愈的感染者将再次进入易感者的人群。 模型假设 1.总人数为常数 ，且 2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 k（传染强度）； 3.感病者以固定的比率 h痊愈，而重新成为易感者。

该假设下的模型为： 其解为： 或

时， ； 时， 。这里出现了传染病学中非常重要的阈值概念，或者说门槛（threshhold）现象，即 是一个门槛 模型分析： 时， ； 时， 。这里出现了传染病学中非常重要的阈值概念，或者说门槛（threshhold）现象，即 是一个门槛 SIR模型 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非易感者，也非感病者，因此他们将被移出传染系统，我们称之为移出者，记为R类。

模型假设 1.总人数为常数 ，且 ； 2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 （传染强度）； 3.单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为 ，称为恢复系数。 该假设下的模型为：

取初值： 把前面的两个方程相除，并整理，有： 解之得:

易得 ；而当 时， 单调下降趋于零； 时， 先单调上升到最高峰，然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象： 是一个门槛。 模型分析： 易得 ；而当 时， 单调下降趋于零； 时， 先单调上升到最高峰，然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象： 是一个门槛。 从 的意义可知，应该降低传染率，提高恢复率，即提高卫生医疗水平。 令 可得 假定 ，可得： 若记 ，则 ，这也就解释了本文开头的为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变的问题。

6.4药物试验模型   问题的提出 药物进入机体后，在随血液运输到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收，分布，代谢，最终排除体外。药物在血液中的浓度，即单位体积血液（毫升）中药物含量（微克或毫克），称血药浓度，随时间和空间（机体的各部位）而变化。血药浓度的大小直接影响到药物的疗效，浓度太低不能达到预期的效果，浓度太高又可能导致药物中毒，副作用太强或造成浪费。因此研究药物在体内吸收，分布和排除的动态过程，及这些过程与药理反应间的定量关系（即数学模型），对于新药研究，剂量确定，给药方案设计等药理学和临床医学的发展都有重要的指导意义和使用价值。 ？

问题分析 房室是指机体的一部分，药物在一个房室内呈均匀分布，即血药浓度是常数，而在不同房室之间则按照一定规律进行药物的转移，一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸收，分布，排除过程的具体情况，以及研究对象所要求的精度而定。现在我们只讨论二室模型，即将机体分为血药较丰富的中心室（包括心，肺，肾等器官）和血液较贫乏的周边室（四肢，肌肉组织等）。药物的动态过程在每个房室内室一致的，转移只在两个房室之间以及某个房室与体外之间进行。二室模型的建立和求解方法可以推广到多室模型。

1. , 和 分别表示第i室（i=1,2）的血药浓度，药量和容积； 2. 表示第i室向第j室药物转移速率系数； 模型假设 1.机体分为中心室（1室）和周边室（2室），两个室的容积（即血药体积或药物分布容积）在过程中保持不变。 2.药物从一室向另一室的转移速率，及向体外的排除速率，与该室的血药浓度成正比。 3.只有中心室与体外有药物交换，即药物从体外进入中心室，最后又从中心室排除体外。与转移和排除的数量相比，药物的吸收可以忽略。 模型建立 在二室模中设 1. , 和 分别表示第i室（i=1,2）的血药浓度，药量和容积； 2. 表示第i室向第j室药物转移速率系数； 3. 是药物从1室向体外排除的速率系数； 4. 是给药速率，由给药方式和剂量确定

为方便问题的表述和研究，画出二室模型示意图如下： 中心室 c1(t),x1(t), V1 周边室 c2(t),x2(t), V2 k12 k21 给药12 排除12 k13 图 6-4常用的一种二室模型

注意到 的变化率由1室向2室的转移 ，1室向体外的排除 ，2室向1室的转移 及给药 组成； 的变化率由1室向2室的转移 及2室向1室的转移 组成。利用函数导数的特点和含义，根据假设条件和上图，可以写出两个房室中药量 满足的微分方程为

代入（1）式可得数学模型 与血药浓度 ,房室容积 之间显然有关系式 至此，我们将问题变为了数学问题。 与血药浓度 ,房室容积 之间显然有关系式 至此，我们将问题变为了数学问题。 上式中只要给定给药方式函数 的具体形式就可以进行微分方程组的求解。 给药方式函数 的数学描述与对应的给药方式有如下3种：

1.快速静脉注射 这种注射为在t =0的瞬时将剂量D0的药物输入中心室，血药浓度立即上升为D0/V1，它可以用数学表示为 2.恒速静脉滴注 当静脉滴注的速率为常数k0时，可以用数学表述为 3.口服或肌肉注射 这种给药方式相当于在药物输入中心室之前先有一个将药物吸收入血药的过程，可以简化为有一个吸收室，如下图。

表示先瞬时吸入全部药量，然后药量在体内按比例减少（指数衰减）， 是给药量。而药物进入中心室的速率为 ，求解有 在这种情况下，有数学描述为 为吸收室的药量，药物由吸收室进入中心室的转移速率系数 为 ，于是 满足 表示先瞬时吸入全部药量，然后药量在体内按比例减少（指数衰减）， 是给药量。而药物进入中心室的速率为 ，求解有

习 题   1．20世纪20年代中期，意大利生物学家棣安考纳（D’ancona)在研究相互制约的各种鱼类数目变化时，在丰富的资料中发现了第一次世界大战前后地中海一带港口中捕获的掠肉鱼（如鲨鱼）的比例有所上升，而食用鱼的比例有所下降。意大利阜姆港所收购的掠肉鱼比例的具体数据如下表所示 掠肉鱼的比例在战争期间如此大幅度的增加使棣安考纳困惑不解，怎样解释这个现象呢?起初，棣安考纳认为掠肉鱼的比例增加是由战争期间对掠肉鱼的捕获量降低造成的。但在战争期间对其它食用鱼捕获量也降低了，为什么掠肉鱼的比例却增加了这么多？为什么捕获量的降低对掠肉鱼特别有利呢？棣安考纳得不到满意的解释，请用数学建模的方法解释此问题。

2．给出一个著名的“弱肉强食”模型——Volterra模型： 这里， 、 为模型参数。试着给出各个参数的意义以及模型适用的对象，进而讨论该模型的平衡点及其稳定性。 3．你学习了本章的药物在体内的分布与排除问题案例后，对其中的转化为数学问题处理有何新认识？其中的哪些做法是你没有想到的？如果让你来解决此问题，你会怎样做？ 4.森林失火了！消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多，森林的损失越小，但是救援的开支会越大，所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小决定派出的队员人数。请把此问题变为数学。

5．考虑一个既不同于指数增长模型，又不同于阻滞增长模型的情形：人口数P(t) ，地球的极限承载人口数为 。在时刻t，人口增长的速率与 成正比例。试建立模型并求解。 6.在传染病模型中 1)如果考虑上出生和死亡，你应该怎样去建模呢？ 2)如果考虑上外界因素环境的周期性变化，你应该怎样去建模呢？ 3)如果考虑上潜伏期，你应该怎样去建模呢？ 4)如果考虑上人的年龄结构，你应该怎样去建模呢？ 5)如果考虑上传染接触的随机性，你应该怎样去建模呢？