第三章 量子力学中的力学量

量子力学中的力学量 经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。

本章内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容： 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示； 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； 四个本征态及本征值：坐标 或 、动量 或 、角动量 及 、能量（哈密顿量 ）。 本部分的难点是任意态 与力学量算符本征态 及力学量概率态 的区别。

量子力学基本原理 （1）微观粒子的状态由波函数完全描述 （给出微观体系的所有性质）。 （2）力学量用线性厄米算符表示，其本征函 数组成正交完备系。 （3）体系任意状态波函数 用算符 的本征 函数展开. 第三章作业：3.1; 3.2; 3.5; 3.6; 3.7; 3.8; 3.9; 3.12

补充一些积分的知识 友情提示：写在P:91页的上面

§3-1;3.5;3.6; 3.7.1算符的对易关系 3.1 算符 1.1 算符：算符 只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。例如 等。量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量 与 相当，自由粒子体系的能量 与 相当。于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。 1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数 上，总会得到另一个构造不同的函数 但在特殊情况下，得到本征方程 即一个算符作用于波函数等于一个数乘波函数的方程叫做算符的本征方程，这个数叫做算符的本征值。满足算符本征方程的波函数叫做算符的本征函数或本征态。

2．表示力学量的算符及其与力学量测量值的关系 （1）算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号 称为算符 Ex. (2）算符的本征方程 算符 作用在函数 上，等于一常数 乘以 即 此称为算符 的本征方程

称为其本征值， 为其本征函数。 (3）力学量算符 例如当波函数为 时 坐标算符 动量算符 哈密顿算符 称为其本征值， 为其本征函数。 (3）力学量算符 表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义运算的符号。 例如当波函数为 时 坐标算符 动量算符 哈密顿算符

力学量算符规则——即构造力学量算符的规则： 课本p:50 力学量算符规则——即构造力学量算符的规则： 将第二章中构造Harmilton算符的方法加以推广，便提出一个构造一般力学量算符的基本假设。 若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示 中将动量 换成动量算符 而得出。 Ex. 动能算符 角动量算符

注 即 （2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。 （1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 中的坐标变量 换成坐标算符 即 （2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。

力学量算符 坐标表象 动量表象 坐标算符 动量算符 其中

该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系 (4）力学量算符与力学量测量值的关系 在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题时已看到，当体系处在 的本征态时，体系有确定的能量，该能量值就是 在此本征态中的本征值。当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而 有一系列可能值，这些可能值均为 的本征值。这表明 的本征值是体系能量的可测值，将该结论推广到一般力学量算符提出一个基本假设. 如果算符 表示力学量 ，那么当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。 该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系

结论 如果算符 表示力学量F,那么当体系处于 的本征态时，力学量F有确定值，这个值就是 在态中的本征值。 当力学量不处于本征态时，得到的不是一个确定值，即测量值具有不确定性, 这些值的平均值是实数，在后面讨论。

Ô u = cu 算符的本征方程和本征值总结 有时候也表示成这种形式： 本征方程 本征值 本征函数（态） 例如：一维无限深势阱 （见课本上面的例子） 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数上，总会得到另一个构造不同的函数 但在特殊情况下，得到(本征方程)

几种典型力学量算符的本征函数 1、坐标算符 2、动量算符 3、角动量算符LZ (具体见课本第二节) 4、角动量平方算符

补充算符的基本知识 p:46 Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2，其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数， 称为线性算符。 （1）算符相等 若Ô、Û对体系的任何ψ的运算结果都相同， 即Ôψ= Ûψ，则Ô 和Û 相等，记为Ô = Û （2）算符之和 若Ô、Û对任何ψ，有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ，则Ô+Û=Ê称为算符之和 （3）算符之积 若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ，则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。

[Ô,Û ]=ÔÛ - ÛÔ 对易括号： （4）对易关系 若ÔÛ ＝ÛÔ，则称Ô与Û对易. 若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô与Û不对易. 补充反对易的关系: （5）复共扼算符 算符Ô的复共扼算符Ô*为：把Ô的表示式中所有复量换成其共扼复量。 (6)转置算符 （7）厄密共扼算符 （8）厄密算符（转置再共扼）

厄密算符： （后面具体讲）

算符对易关系 1．算符的对易关系 设 和 为两个算符 若 ， 则称 与 对易 若 ， 则称 与 不对易 引入对易子： 若 ， 则 与 对易 设 和 为两个算符 若 ， 则称 与 对易 若 ， 则称 与 不对易 引入对易子： 若 ， 则 与 对易 若 ， 则 与 不对易 （1）力学量算符的基本对易关系

规律：前面的往前，后面的往后

对易恒等式 其中c为常数 双线性 规律：前面的往前，后面的往后 雅可比恒等式 prove:

坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系,其它力学量的对易关系均可由此导出。 课外作业：

求 解： 所以

提示：利用对易关系式和常用对易关系式可以算出 同学们自己证明： A B C

总结坐标与动量的关系

(9)线性算符 如果算符F 和任意函数u1,u2满足 式中c1, c2为任意常数，则称F为线性算符. 显然， 为线性算符 不是线性算符 因为

常用的力学量算符 （1）坐标算符：坐标的算符就是坐标本身 （2）动量算符

（3）动能算符 （4）能量（Hamilton）算符 （5）角动量算符 （6）一般力学量算符

见课本55页 例如：角动量算符

三、厄密算符 1 定义 2 性质定理 例子的证明见课本 利用分部积分法来证明见课本51页.

设 为宇称算符 的本征值，则宇称算符的本征方程为： 力学量算符的性质 力学量算符为线性的厄米算符 Ex. 1、 证明动量算符的一个分量 是厄密算符 Prove : Ex. 2、证明宇称算符 的本征值为 Prove : 设 为宇称算符 的本征值，则宇称算符的本征方程为：

3.1 表示力学量的算符（续16） ★ 量子力学微观粒子的力学量为何要用线性的厄米算符表示? 思考题:

定理1：厄密算符的本征值必为实数 见课本P:51 证一： 补充：厄密算符的平均值也为实数

定理2：量子力学中的力学量算符都是厄密算符。 1、它是量子力学的一个基本假设，测量力学量时所有可能出现的值都是力学量算符的本征值。 2、力学量算符为线性算符，是由态叠加原理决定的。

3.5 厄密算符本征函数的性质 见课本P69 定理3：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 （具体证明见课本P69） 即正交性. 设 证： 两边右乘 φn 后积分 由厄密算符的基本性质 积分是对变量变化的全部区域进行的。

定理4 ：力学量算符本征函数的正交归一性 （1）分立谱

（2）连续谱 如果算符F的本征值组成连续谱，则本征函数可归一化为函数，则有 满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。 正交归一系 实例：动量本征函数；线性谐振子本征函数；角动量本征函数；氢原子波函数； 见课本p:71

属于厄米算符 的不同本征值的本征函数相互正交。 厄密算符本征函数的正交性总结 力学量算符 的本征值方程： 解得 本征值：F1，F2，F3 ……组成本征值谱 本征函数： ……组成本函数系 本征函数的正交性 属于厄米算符 的不同本征值的本征函数相互正交。 厄米算符的本征值为实数 Prove: 本征值方程

由厄米算符的定义： 正交性 归 一 可见函数系 构成一正交归一函数系。 Ex （1）线性谐振子能量算符 的本征函数 构成正交归一系 时 当 有 正交性 当 时 有 归 一 可见函数系 构成一正交归一函数系。 Ex （1）线性谐振子能量算符 的本征函数 构成正交归一系

（2）角动量分量算符 的本征函数 构成正交归一函数系 （3）角动量平方算符 的本征函数 构成正交归一函数系 （4）氢原子能量算符 的本征函数

组成正交归一函数系 综合上述三式，可合写成 正交归一条件 注意 例如动量算符的本征函数的正交归一条件为 （1）以上的讨论假定了本征值为分立谱。若本征值为连续谱，本征函数的正交归一性应写成 例如动量算符的本征函数的正交归一条件为

（2）前面的讨论假定本征值所属的本征函数均不相等，若 的本征值 是 度简并的，则属于 的本征函数有 个： （2）前面的讨论假定本征值所属的本征函数均不相等，若 的本征值 是 度简并的，则属于 的本征函数有 个： 且 此意谓着:一般情况下这f 个函数不正交，但可由它们重新进行线性组合 仍是 属于本征值 的本征函数

综合上述讨论可作如下结论：厄密算符的本征函数总可取为正交归一化的，并可构成正交归一完备函数系。 正交归一化条件 此共有 个确定的 关系式，但 的个数 ，故可以有许多种方法选择 ，使函数 满足上述正交归一化条件式。 综合上述讨论可作如下结论：厄密算符的本征函数总可取为正交归一化的，并可构成正交归一完备函数系。

3.6 算符与力学量的关系 （见课本P72） 如果算符 表示力学量F,那么当体系处于 的本征态时，算符所表示的力学量F有确定值，这个值就是 算符在态中的本征值。 如果体系不处于 的本征态时，而处在任一个态 时，这时算符 和它表示的力学量之间的关系如何， 在3.1节的假定中并未提到。因此有必要引入新的假定。

一切力学量算符的本征函数都组成完备系 1 假设： 式中cn与x无关。本征函数 的这种性质称为完全性。 或者说 组成完全系。式中cn可以由 和 得出。

2、厄密算符的本征函数的完备性

力学量与力学量算符的关系

总 结 如果(x)不是 的本征函数， 那么(x)可以按照 的本征函数展开， 测量力学量F所得到的数值必定是算符 的本征值之一，测量本征值n的几率为 即所有本征值出现的几率和为1。

2 力学量的可能值及几率 （1）可能值：本征值之一 （2）有确定值的条件 推论：当体系处于ψ(x) 态时，测量力学量F具有确定值的充要条件是ψ(x) 必须是算符 F的一个本征态.Fψ(x) = ψ(x) . （3）有确定值的几率

力学量取某一本征值的几率

力学量算符的平均值 若F为归一化的波函数，则平均值为 方法1 方法2

证：

若波函数没有归一化，则平均值的计算方法为 记一下

表示的力学量有确定值，该值就是 在 态中的本征值 ，即 算符与力学量的关系总结 1．力学量测量值与力学量算符本征值的关系 设 为力学量算符 本征值： （本征值谱) 本征函数： （正交归一完全函数系） 当体系处于 的本征态 时， 表示的力学量有确定值，该值就是 在 态中的本征值 ，即 当体系不是处于 的本征态，而是处于任一个态 ，这时与它所表示的力学量之间的关系如何？ （1） 将 写成

按（3）式知 具有几率的意义，在这种情况下，测量力学量 必定得 的结果。 系数 有何意义？ （2） 为讨论该问题，将（1）代入归一化条件： （3） 若 就是 的本征态 ,则由（1）知 ，其余系数 按（3）式知 具有几率的意义，在这种情况下，测量力学量 必定得 的结果。

由这个特例和（3）式看到 具有几率的意义，它表示在 态中测量力学量 得到结果是 本征值的几率，故 常称为几率幅，（3）式表明总几率为1。 基本假设 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数 所描写的状态时，测量力学量 所得的数值，必定是算符 的本征值之一，测得值为其本征值 的几率是 ① 此假设的正确性，由该理论与实验结果符合而得到验证。 ② 据此假定，在一般状态中力学量一般没有确定的数值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值，每个可能值都以确定的几率被测得。 注意

2．力学量平均值与力学量算符本征值间的关系 的本征值： 本征函数： 正交归一条件 设 为任一波函数，且

即 注意 ① 若 不是归一化的波函数，则 ② 若 的本征值既有分立谱,也有连续谱

求在能量本征态 下，动量和动能的平均值 EX１ Solve

在能量本征态下测量到的动能平均值等于该态所对应的能量本征值 求氢原子处于基态时电子动量的几率分布. EX２ 基态波函数： Solve: 动量算符的本征函数：

其中

与动量值 的大小有关，与 的方向无关，由此得到动量 的几率分布 补充例题如下

例题

前面系数的模方

动量P的平均值为 求解此类问题的技巧：对于任意态 ，有时利用 若能将 直接改写成力学量本征态的叠加，可使问题一目了然。 直接积分既麻烦又易错； 例如: 对于 ，针对动量Px，应展开为 针对一维无限深势阱，应展开为

例题: 粒子状态处于一维谐振子的基态 试求： （1）平均值 ；（2）平均值 ； （3）动量的概率分布。 解：（1）

（2）

（3） 动量本征函数 则 为 的函数！

§ 3.2 动量、角动量算符 一、动量算符 1 算符： 2 特点：厄密算符 3 本征方程 三维情况 一维情况

4 本征函数 一维情况 补充 5 归一化方法 （1） 函数的性质

令 |c|2 (2π)3=1，则 正交归一性 δ-函数 归一化为函数，这是由于波函数所属的本征值p可以取任意值，动量的本征值组成连续谱的缘故.

在一些具体的问题中遇到动量的本征值问题时，常常需要把动量的连续本征值变为分立本征值进行计算，下面我们把动量的本征函数变为分离值，即箱归一化。 我们设想粒子被限制在一个正方形箱中，箱的边长为L，取箱的中心作为坐标原点，要求波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值。波函数所满足的边界条件称为周期性边界条件。加上这个条件后，动量的本征值就由连续谱变为分立谱。因为根据这一条件，在点A(1/2L,y,z)和点A/(-1/2L,y,z),波函数的值相等。

周期性边界条件 （2） 箱归一化法（具体看课本） 给波函数加上一些边界条件，把粒子限制在一正方形箱内， 即在 时，波函数相等。 y A A’ x y z A A’ o L 时，波函数相等。

周期性边界条件使连续谱变成了分立谱 L趋于无限大使分立谱变成了连续谱

加上周期条件，动量的本征函数可归一化为 箱归一化

二、角动量算符 具体见课本P:55 1 角动量算符（直角坐标系和球坐标系中）

（具体证明见课本P:55）

利用直角坐标与球坐标之间的变换关系,求得偏导数

由上面结果得 则角动量算符在球坐标中的表达式为： 要记住此式的表达式

角动量算符的对易关系 见课本 p:77 角动量与坐标的对易关系 证明： 角动量与动量的对易关系系

角动量分量之间的关系 具体证明见课本88页，例子在下页。 ,,= x,y,z 是三阶反对称张量，其中任意两个指标一样时，上式为0；任意两个颠倒，都为负。 = - ； = 0 ,,= x,y,z

上面的式子可以看作是角动量算符的定义式，它比以前的定义式更普遍，以前的定义式只定义了轨道角动量算符，而上式包括了自旋角动量算符。

Prove: 等于零 等于零 基本对易关系式 补充

角动量平方算符 (直角坐标系中) 角动量平方算符与角动量分量算符的对易关系

总 结 记忆方法：从左至右以 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。

证明 证明：

2 角动量平方算符（球坐标系中） 基本特点：与r无关 （1）算符 具体见课本p57 （2） 的本征方程 由于 为 的单值函数，应有周期条件: 由波函数单值性要求 即

本征值: 可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值（零或 的整数倍）。由于z方向是任意取定的，所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。 故m必须是整数，即 可见本征值是量子化的分立谱。利用归一化条件 所以 所以Lz本征函数为

将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件： 正交性： 将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件： （3）角动量平方算符 L2 的本征值问题 本征方程: 在球坐标系中 令 （1）

此为球面方程（球谐函数方程）。其中 是 属于本征值 的本征函数。利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在 区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述），可得 方程有解的条件 （2） （3） 磁量子数 由（1） 、（2）式得出 的本征值 角量子数 轨道角动量量子数

可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值 的本征值: 可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值 球谐函数 是 属于本征值 的本征函数 ， 是缔合勒让德多项式。 由 的正交归一化条件 求得归一化因子: 故球谐函数的具体表达式如下：

讨论 因为对易，有共同的本征函数，在3.7节将具体讲到。 （1）球谐函数系 是 与 有共同的本征函数系 （2）简并情况 （1）球谐函数系 是 与 有共同的本征函数系 （2）简并情况 在求解 本征方程的过程中，出现角量子数 和磁量子数 。

总结本征函数 对应于一个l 的值，m可以取（2l+1)个值，因而对应于 把这种对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况叫做简并，把对应于同本征值的本征函数的数目称为简并度。 例如 的本征值是（2L＋1）度简并的.

值不同的本征函数与同一个本征值 对应。 共有 个。因此, 的本征值 是 度简并的。 Ex: 即 属于本征值 的线性独立本征函数 简并度为3 的本征值 仅由角量子数 确定，而本征函数 却由 和 确定。对于一个 值， 可取 ，这样就有 个 值相同而 值不同的本征函数与同一个本征值 对应。 即 属于本征值 的线性独立本征函数 共有 个。因此, 的本征值 是 度简并的。 Ex: 简并度为3 简并度为1

简并度为5

角动量的空间取向量子化 Z +1 m=+2 -1 -2 l=2 确定了角动量的大小 本征值： 确定了角动量的方向 本征值：

总结！！

3.7 两个力学量同时有确定值的条件，测不准关系 见课本P:78-79 （1）共同本征函数 对不同的算符若有 且 则称 为两力学量的共同本征态 推论：两力学量有共同的本征态等价于两力学量可同时确定（同时处于它们的共同本征态中） 在一些算符的共同本征函数所描写的态中，这些算符所表示的力学量同时有确定值，并且这些算符对易。

两力学量算符相互对易 （2）充要条件 充分性（定理）：如果两个力学量算符对易，则它们有组成完备系的共同本征函数。

所以两力学量有共同的本征函数 必要性（逆定理）：如果两个力学量算符有组成完备系的共同本征函数，则它们对易。 举例见课本P:89 所以两力学量算符相互对易

注 ★ 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了） ★ 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。 ★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。

Ex.2 角动量算符 和 对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系 。 同时有确定值。 在 描述的状态中， Ex.2 角动量算符 和 对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系 。 在 描述的状态中， 和 可同时有确定值:

Ex.5 彼此不对易，故 一般不可能同时有确定值。 它们有共同的本征函数完备系 故 可同时有确定值: 在 状态中， Ex.4 坐标算符与动量算符不对易 ，故 一般不可同时具有确定值。 Ex.5 彼此不对易，故 一般不可能同时有确定值。

由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。 引言 测不准关系 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。 引言 问题 两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？ 不确定度： 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。 ● 测不准关系的严格推导 ● 坐标和动量的测不准关系 ● 角动量的测不准关系

一、测不准关系 二、不确定度 三、均方偏差 1定义：测量值与平均值的偏差的大小 （绪论见课本） 2定量：测量值与平均值的偏差的大小 2定量表述 三、均方偏差 即等于平方的平均值减去平均值的平方

测不准关系的推导 是算符或普通数

平均值

其中

b a c 或 测不准关系

例1：坐标和动量的测不准关系 海森伯测不准关系式

由测不准关系 看出：若两个力学量算符 和 不对易，则一般说来 与 不能同时为零，即 和 不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符 和 对易，则可以找出这样的态，使 和 同时满足，即可以找出它们的共同本征态。 ● 坐标和动量的测不准关系 故有 或写成

表明： 和 不能同时为零，坐标 的均方差越小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续１4） 简记为 表明： 和 不能同时为零，坐标 的均方差越小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。 ● 角动量的测不准关系 当粒子处在 的本征态时

例2 求线性谐振子的零点能 解： 一维线性谐振子的波函数为 偶函数 奇函数

为求E的最小值，取等号。 求最小值，利用 可得， 将此式对

由于在 本征态 中，测量力学量 有确定值，所以 均方偏差必为零，即 Ex.2 利用测不准关系证明，在 本征态 下， Prove: 由于在 本征态 中，测量力学量 有确定值，所以 均方偏差必为零，即 平均值的平方为非负数 则测不准关系： 欲保证不等式成立，必有： 同理

思考题 （1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼此对易。 （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同本征态。 （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值。 （4）若 =常数， 和 能否有共同本征态。 （5）角动量分量 和 能否有共同本征态。 （6）利用测不准关系理解势垒贯穿中在势垒内部粒子动能为负值的问题

§ 3.3 电子在库仑场中的运动 § 3.4 类氢原子(氢原子) 一、模型（薛定谔方程） 1 电子势能函数 见课本64页 2 薛定谔方程

此时薛定鄂方程变为

设波函数的形式为 分离变量可得 只与角度有关 只与r有关

上式可分解为两个方程： 缔合勒盖耳多项式 所以氢原子的波函数为

总结电子在库仑场中运动的类氢原子问题 其能量本征值和本征函数 Z为核电荷数 为质量

总结电子在库仑场中运动的氢原子问题 其能量本征值和本征函数为 为质量 a0 是氢原子第一波尔轨道半径

4 讨论 （1）四个量子数 主量子数n 角量子数l 磁量子数ml 自旋量子数s

空间量子化示意图

（2）能级简并度 简并 能级En是n2度简并 （3）几率分布 见课本74页

几率分布

x y Z L=1 z y x  m = 1,-1 z  m = 0

此式表明力学量平均值随时间变化有两方面的原因: 3.8 力学量随时间的变化 守恒律 1、力学量平均值随时间的变化 此式表明力学量平均值随时间变化有两方面的原因: 体系所处的状态 随时间而变化 力学量算符 是时间的显函数，使 随时间变化 （1） 由薛定鄂方程有 代入（1），则有

因 是厄米算符 （2） 利用对易符号 平均值 则

若力学量算符 不显含时间t,且与哈米顿算符 对易. 2、力学量守恒的条件 若力学量算符 不显含时间t,且与哈米顿算符 对易. 即 ， 则有 常量 结论:力学量 的平均值 不随时间而变化,则称 为运动积分，或 在运动中守恒。 Ex1. 自由粒子的动量 下面举出几个运动恒量的具体例子 不显含时间

当例子不受外力作用时，它的哈密顿算符为 又 故 代入公式可得 自由粒子的动量是守恒的 Ex2. 粒子在辏力场中运动的角动量 在球坐标系中算符 等只是 的函数，与时间（r,t）无关，对时间偏微商为0。 哈密顿算符可表示为：

角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈密顿算符对易 　角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈密顿算符对易 角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。 角动量守恒定律！ Ex3. 哈密顿算符不显含时间的体系的能量 当 不显含t时， 又 即：能量守恒定律！

3、哈米顿算符对空间反演时的不变宇称 空间反演： 空间反演算符 反演算符 的本征值 本征值 空间反演算符也称为宇称算符 3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续5） 3、哈米顿算符对空间反演时的不变宇称 空间反演： 空间反演算符 空间反演算符也称为宇称算符 反演算符 的本征值 本征值

宇称守恒律： 若体系的哈米顿算符具有空间反演不变性 即 则 为运动积分，即宇称守恒 Prove： (偶宇称) (奇宇称) 3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续6） (偶宇称) (奇宇称) 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。 宇称守恒律： 若体系的哈米顿算符具有空间反演不变性 即 则 为运动积分，即宇称守恒 Prove：

又 不显含t， 因此, 为运动积分，亦即宇称守恒 故 3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续7） 又 不显含t， 故 因此,　为运动积分，亦即宇称守恒 宇称守恒表示体系的哈米顿算符和宇称算符具有共同本征函数, 因而体系能量本征函数可以有确定的宇称，而且不随时间变化。 衰变宇称不守恒！

守恒量与定态的区别： 定态是体系的一种特殊状态，是对波函数而言的，即能量的本征态；而守恒量是体系的一种特殊力学量，即不显含时间，且与哈密顿算符对易的力学量。 在定态下，不显含时间t的一切力学量（不管是不是守恒量）的平均值及几率分布不随时间变化；而力学量只要是守恒量。则在一切状态下（不惯是不是定态），它的平均值及几率分布不随时间变化。

（4）在 Ψ 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及其相应的几率。 例1：已知空间转子处于如下状态 试问： （1）Ψ是否是 L2 的本征态？ （2）Ψ是否是 Lz 的本征态？ （3）求 L2 的平均值； （4）在 Ψ 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及其相应的几率。 解： Ψ没有确定的 L2 的本征值，故Ψ不是 L2 的本征态。

Ψ是 Lz 的本征态，本征值为 。 （3）求 L2 的平均值 方法 I 验证归一化：

归一化波函数 方法 II （4）

3.9节例题见课本p:86

第三章 复 习 一、力学量与算符 1．厄米算符的定义 2．力学量与厄米算符的关系 第三章 复 习 一、力学量与算符 1．厄米算符的定义 2．力学量与厄米算符的关系 力学量用厄米算符表示，表示力学量的厄米算符有组成完全系的本征函数系（假设） 3．厄米算符的性质 厄米算符的本征值是实数，属于不同本征值的本征函数正交 4．力学量算符的构成（对应原则）（假设） 5．力学量的平均值 [注] 2和4合起来作为一个假设

二、力学量的测量值与力学量算符关系： 假设力学量算符的本征值是力学量的可测量值。将体系的状态波函数用算符 的本征函数系 　展开 则在 态中测量力学量 得到结果为 的几率是 ，得到结果在 范围内的几率是 三、力学量算符之间的关系 1．不同力学量同时可测定的条件——力学量算符彼此对易。一体系的所有可彼此对易的力学量算符构成一个完全集。

3．算符的对易关系 （1）基本对易关系 （2）角动量算符的对易关系 四、力学量算符的本征值问题 1．动量算符的本征值问题 　2．测不准关系 　3．算符的对易关系 　（1）基本对易关系 　（2）角动量算符的对易关系 四、力学量算符的本征值问题 1．动量算符的本征值问题 2． ， 的本征值问题 3．中心力场问题 氢原子问题 五、力学量守恒