第十三章 结构的动力计算

§13-1 动力计算概述 一、动力计算的特点、目的和内容 1、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。 §13-1 动力计算概述 一、动力计算的特点、目的和内容 1、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。 “静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。(绝大部分的恒载、活载） “动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。 2、目的和内容 计算结构的动力反应：结构的刚度、质量等性能与振动中内力、位移、速度与加速度的关系，及结构在动内力与静内力共同作用力学状态。

二、动力荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为： 动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等），类似静力学中的I、S等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。 二、动力荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力） P(t ) t P t 简谐荷载（按正、余弦规律变化） 一般周期荷载

三、动力计算中体系的自由度 2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） P P(t ) P P t tr t tr 3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载） 三、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常取如下简化方法： 1、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。

m m +αm柱 m>>m梁 m +αm梁 I I 2I 单自由度体系 自由度与质量数不一定相等 厂房排架水平振时的计算简图 y2 y1 2个自由度 2个自由度 自由度与质量数不一定相等

m1 m2 m3 2个自由度 4个自由度 v(t) u(t) θ(t) 水平振动时的计算体系 构架式基础顶板简化成刚性块 多自由度体系

ak(t) ——称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。 y(x,t) x 2、广义座标法： 如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示 x y(x,t) 用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中 x a1， a2，…….. an —— 是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。 ak(t) ——称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。 y 3、有限单元法

m P(t) m 四、动力计算的方法 I(t)－惯性力，与加速度成正比，方向相反 虚功原理（拉格朗日方程） 都要用到抽象的虚位移概念 动力平衡法（达朗伯尔原理） m P(t) ＝I(t) m …………..运动方程 …………..平衡方程 改写成 设其中 I(t)－惯性力，与加速度成正比，方向相反 虚功原理（拉格朗日方程） 都要用到抽象的虚位移概念 哈米顿原理（变分方程）

自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 §13-2 单自由度体系的自由振动 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。 静平衡位置 m获得初位移y m获得初速度 研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。 要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期，阻尼的影响……….

. . . 一、运动微分方程的建立 k 方法：达朗伯尔原理 应用条件：微幅振动（线性微分方程） 1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。 力学模型 静平衡位置 k . + S(t) . yj . yd yd m m m W 质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd 重力 W I(t) 弹性力 恒与位移反向 惯性力 ……………(a) 其中 kyj=W 及 上式可以简化为 或 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。

. 设已知结构的柔度系数δ 刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。 二、自由振动微分方程的解 2、 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。 . 设已知结构的柔度系数δ m 静平衡位置 I(t) 可得与 (b) 相同的方程 刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。 二、自由振动微分方程的解 改写为 其中 它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为： 积分常数C1，C2由初始条件确定

. 振幅 相位角 静平衡位置 m 设 t=0 时 I(t) （d）式可以写成 由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动, 令 (e)式改写成 它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定 振幅 相位角

y t T y -y y t T y t T A -A 

1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 三、结构的自振周期和频率 由式 及图可见位移方程是一个周期函数。 T y t  A -A 周期－ 工程频率－ 园频率－ 计算频率和周期的几种形式 频率和周期的讨论 1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期； 3.是结构动力特性的重要数量标志。

m  k 例1. 计算图示结构的频率和周期。 例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 1 EI l /2 m l A,E,I 1 E,I E,A 1  由截面平衡 例3.计算图示刚架的频率和周期。 I EI1= m h k

例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 l/2 l/2 l/2 3l/16 P=1 解：1）求δ 5l/32 l/2 P=1 据此可得：ω1׃ ω2 ׃ ω3= 1 ׃ 1.512 ׃ 2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。

四、简谐自由振动的特性 由式 可得，加速度为： 惯性力为： 在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。 它们的幅值产生于 时，其值分别为： 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。

. 例5. 计算图示体系的自振频率。 A1 A2 解：单自由度体系， 以表示位移参数的幅值, 各质点上所受的力为： A B C D EI= l /2 l k . A1 A2 B C k 建立力矩平衡方程 化简后得

) ( m k = w ) ( a ky y m = + L & y = + Þ w & cos sin ) ( w + = t C y ) 单自由度体系自由振动 ) ( m k = w ) ( a ky y m = + L & 2 y = + Þ w & y(t) t cos sin ) ( 2 1 w + = t C y T y0 －y0 ) ( 1 w = Þ v C y & ) ( 2 = Þ y C y(t ) t v0/ω －v0/ω sin cos ) ( w + = t v y ) sin( ( a w + = t y a －a t T α/ω

1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 周期－ 工程频率－ 园频率－ 计算频率和周期的几种形式 频率和周期的讨论 1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期； 3.是结构动力特性的重要数量标志。

例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 l/2 l/2 l/2 3l/16 P=1 解：1）求δ 5l/32 l/2 P=1 据此可得：ω1׃ ω2 ׃ ω3= 1 ׃ 1.512 ׃ 2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。

四、简谐自由振动的特性 由式 可得，加速度为： 惯性力为： 在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。 它们的幅值产生于 时，其值分别为： 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。

. 例5. 计算图示体系的自振频率。 A1 A2 解：单自由度体系， 以表示位移参数的幅值, 各质点上所受的力为： A B C D EI= l /2 l k . A1 A2 B C k 建立力矩平衡方程 化简后得

如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞的刚架)计算刚度系数方便。 例6、求图示结构的自振频率。 k11 k11 解：求 k l EI m k 1 k 对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞的刚架)计算刚度系数方便。 两端刚结的杆的侧移刚度为： 一端铰结的杆的侧移刚度为：

受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。 §13-3 单自由度体系的受迫振动 受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。 y(t) 弹性力－ky、惯性力 m P(t ) m k y P(t ) 和荷载P(t)之间的平衡方程为: m 单自由度体系强迫 振动的微分方程 ky P(t ) 一、简谐荷载： P(t)=Fsinθt m t F y q w sin 2 = + & 特解： t A y q sin = t m F A q w sin 2 = + - t y m F st q w sin ) 1 ( 2 - =

最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。 特解可写为： 全解可写为： 设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则： 按自振频率振动 按荷载频率振动 过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）

当θ/ω→0时,β→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。 当0< θ/ω <1时,β>1，并且随θ/ω的增大而增大。 平稳阶段： 最大动位移（振幅）为： 动力系数β为： 重要的特性： 当θ/ω→0时,β→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。 当0< θ/ω <1时,β>1，并且随θ/ω的增大而增大。 当θ/ω →1时,β→∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 1 2 3 w q b 当θ/ω >1时,β的绝对值随θ/ω 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。

当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各 截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,θ=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。 解：1)求ω 图解 2m EI m k Psinθt 2)求β 3)求ymax， Mmax

例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2 例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m） 解：1）求自振频率和荷载频率 I22b 3570cm4 325 对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。 3570 39.7 2）求动力系数β 39.7 1.35 175.6MPa 149.2

m l Pl/4 Pl/3 计算步骤: 三.动位移、动内力幅值计算 1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力； 2.计算动力系数； 3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。 例1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知 m EI l 解. Pl/4 Pl/3 动弯矩幅值图

Q l/2 l/4 例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知: 解. 重力引起的弯矩 重力引起的位移 振幅 动弯矩幅值 跨中最大弯矩 例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知: Q l/2 解. 重力引起的弯矩 l/4 重力引起的位移 振幅 动弯矩幅值 跨中最大弯矩 跨中最大位移

动力荷载不作用在集中质量上时的等效动力荷载 求解动力荷载不直接作用在集中质量上强迫振动的特解时，可以根据质量m处位移相等的原则，把这些荷载换算成作用于集中质量m处的等效动力荷载。然后按求强迫振动的特解。 设δ为结构在质量m 处沿振动方向的柔度系数； yst 为动力荷载的幅值作为静荷载作用在结构上时，质量m处沿振动方向的静力位移， m P’(t) m P(t) q(t) yst yst

[列幅值方程求内力幅值] 同频同步变化 例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知 P m EI l/2 P 解: =1

P =1 P 动弯矩幅值图

sin cos ) ( w + = t v y 二、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导 1、瞬时冲量的动力反应 P(t) t t' 瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。 由动量定理： P Δt Δt 设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。 τ t' t sin cos ) ( w + = t v y

2、任意荷载P(t)的动力反应 P(t) t τ时刻的微分冲量对t瞬时(t >τ)引起的动力反应: τ 初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式: t (Duhamel 积分) 初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:

3、几种典型荷载的动力反应 P(t) 1）突加荷载 P t yst=P0δ=P0 /mω2 质点围绕静力平衡位置作简谐振动 yst π 2π y(t) ωt π 2π 3π 质点围绕静力平衡位置作简谐振动 yst

sin cos ) ( w + = t v y P(t) t 2）短时荷载 P u 阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同。 阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 和速度 为初始条件作自由振动。 sin cos ) ( w + = t v y 或者直接由Duhamel积分作

另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t) t P P(t) t P u P(t) t P u 当0<t< u 当t> u

最大动反应 1）当 u >T/2 最大动位移发生在阶段Ⅰ yst β =2 2）当u <T/2 最大动位移发生在阶段Ⅱ ωT β y(t) ωt π 2π 3π 最大动反应 1）当 u >T/2 最大动位移发生在阶段Ⅰ β =2 2）当u <T/2 最大动位移发生在阶段Ⅱ ωT β 动力系数反应谱 (β与T和u之间的关系曲线) 2 1/2 1 1/6

这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解: 3）线性渐增荷载 P(t) t P0 tr 这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解: 对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：

如果升载很短，tr<T/4,则β接近于2,即相当于突加荷载情况。 如果升载很长，tr>4T,则β接近于1,即相当于静荷载情况。 1.4 1.2 1.0 1.6 1.8 2.0 β 动力系数反应谱 tr P0 1.0 2.0 3.0 4.0 动力系数β介于1与2之间。 如果升载很短，tr<T/4,则β接近于2,即相当于突加荷载情况。 如果升载很长，tr>4T,则β接近于1,即相当于静荷载情况。 常取外包虚线作为设计的依据。

单自由度体系自由振动 ky y m = + & y = + w & cos sin ) ( w + = t C y ) sin( ( a w ky y m = + & 2 y = + w & cos sin ) ( 2 1 w + = t C y ) sin( ( a w + = t y 刚度系数k：使体系沿质点振动方向产生单位位移所需施加力的大小。 柔度系数δ：在质点振动方向施加单位力时，沿振动方向位移的大小。 单自由度体系的受迫振动 P(t)=Fsinθt 平稳阶段： 动力系数β为：

结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 §13-4、阻尼对振动的影响 1、阻尼的存在 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如： 忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。 事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。

关于阻尼的存在，有两种定义或理解： 1）振动的衰减； 2）能量的耗散。 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量； 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。 3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论： *粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比： 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 *滞变阻尼理论

) ( = Ce y 2 = + w xwl l ) 1 ( - ± = x w l 一般解 振动模型 k c y 有阻尼的自由振动，动平衡方程： m y ky 令 ( 阻尼比） ) ( = l t Ce y 设解为： 特征方程为： 2 = + w xwl l 特征值为 ) 1 ( 2 - ± = x w l 一般解

特征值 一般解 （1）低阻尼情形 (  <1 ) 令 低阻尼体系的自振圆频率 由初始条件确定C1和C2； 设 得

其中 y yn yn+1 t 低阻尼y- t曲线

当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取: y t yn yn+1 讨论 ①阻尼对自振频率的影响. 低阻尼y- t曲线 当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取: t y 无阻尼y- t曲线

②阻尼对振幅的影响. 振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比 振幅按等比级数递减. =常数 经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为: 称为振幅的对数递减率. 设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则: 工程中常用此方法测定阻尼

) 1 ( - ± = x w l = -w l 2)ξ=1（临界阻尼）情况 y θ0 y0 这条曲线仍具有衰减性， 但不具有波动性。 t 临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点） 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。 3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。

= w x m 2 = w x k 2 = w x m c 2 例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m ，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 EI=∞ m 解： 9.8kN = w x m 2 = w x k 2 = w x m c 2

例. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振动一周T=1. 4s后，回摆1 例. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。  由 解：(1)大梁的重量, k 2 W=mg c (2)自振频率 (3)阻尼特性 (4)6周后的振幅

P(t) t τ 三、有阻尼的强迫振动 ①单独由v0引起的自由振动： ②瞬时冲量ds=Pdt=mv0所引起的振动，可视为以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动： ③将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量： ④总反应

（1）突加荷载P0 具有阻尼的体系在 yst 突加荷载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 yst=P0/mω2的两倍， y(t) ωt π 2π 3π 4π 5π yst 具有阻尼的体系在 突加荷载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 yst=P0/mω2的两倍， 然后逐渐衰减，最 后停留在静力平衡 位置。 静力平衡位置 低阻尼y- t曲线 y(t) ωt π 2π 3π 4π 5π 无阻尼y- t曲线

+{Asin θt +Bcos θt } （2）简谐荷载P(t)=Fsinθt 设特解为：y=Asin θt +Bcos θt代入上式得： 齐次解加特解得到通解： +{Asin θt +Bcos θt } 结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。 自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰减、消失。 纯强迫振动，平稳振动， 振幅和周期不随时间而变化。 y=Asin θt +Bcos θt =yPsin(θt －α) 振幅：yp， 最大静力位移：yst=F/k=F/mω2

共振时 动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关 几点注意： ①随ξ增大β曲线渐趋平缓， 特别是在θ/ω=1附近β的 峰值下降的最为显著。 ξ=0 x b 2 1 = 共振时 动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关 几点注意： ①随ξ增大β曲线渐趋平缓， 特别是在θ/ω=1附近β的 峰值下降的最为显著。 4.0 3.0 2.0 1.0 β θ/ω ξ=0.1 ②当θ接近ω 时， β增加很快， ξ对β的数值影响也很大。在0.75< θ/ω <1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对β的影响较小，可按无阻尼计算。 ξ=0.2 ξ=0.3 ξ=0.5 ξ=1.0

③βmax并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在， 但因ξ很小，可近似地认为： ④由y=yPsin(θt－ α ) 可见，阻尼体系的位移比荷载P=Fsin θt 滞后一个相位角α ， 弹性力S，惯性力I， 阻尼力R分别为： 当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，I、R较小，动荷主要由S平衡，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。 当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，I很大，S、R相对说来较小，动荷主要由I 平衡， I与y同向，y与P反向；

yst β m w x 2 - = t F q sin - = 当θ=ω时,α→90° x 2 1 t q sin k=mω2=mθ2 有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。

例：求图示结构的自振频率 解：质点只在水平方向产生振动，用柔度法计算自振频率。 在质点水平方向加单位力，其水平位移即为柔度系数。 M图自乘可得到位移值，但计算较麻烦。取基本体系计算：

例：求图示结构的自振频率 解：质点只在竖直方向产生振动，用柔度法计算自振频率。 在质点竖直方向加单位力，其竖向位移即为柔度系数 取基本体系计算：

例：求图示结构的自振圆频率和周期 解：简化为单自由度体系，在水平方向振动。 用刚度法求解：让横梁发生单位位移需要施加的力，为刚度系数：

自振周期计算公式： 圆频率计算公式： 一些重要性质： （1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。 其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。 Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视δ、 k、 Δst 三参数中哪一个最便于计算来选用。

θ=1/h 、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求 k 1 k m MBA=kh = MBC θ 1 解法2：求 δ h A h I→∞ l h m I→∞ EI B A C MBA=kh = MBC θ 1 h 解法2：求 δ

2m EI k 1 返回

单自由度体系自由振动 ky y m = + & y = + w & cos sin ) ( w + = t C y ) sin( ( a w ky y m = + & 2 y = + w & cos sin ) ( 2 1 w + = t C y ) sin( ( a w + = t y 刚度系数k：使体系沿质点振动方向产生单位位移所需施加力的大小。 柔度系数δ：在质点振动方向施加单位力时，沿振动方向位移的大小。 单自由度体系的受迫振动 平稳阶段： P(t)=Fsinθt 动力系数β为： 动内力计算可由位移为依据 按 Ky 也可按外力 P+I （mAθ2） m EI

②阻尼对振幅的影响. 振幅ae- ξω t 随时间衰减， 低阻尼时 振幅的对数递减率. ①阻尼对自振频率的影响. 当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。在工程结构问题中，若ξ<0.2，可近似取: ③临界阻尼常数cr为 ξ=1时的阻尼常数。 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。 ④阻尼对动力系数的影响

r2 r2 r1 r1 §13-5 多自由度体系的自由振动 一、刚度法 （1）两个自由度体系 m2 m2 m1 m1 y2(t) y2(t) §13-5 多自由度体系的自由振动 一、刚度法 （1）两个自由度体系 m2 y2(t) y2(t) m2 r2 r2 r1 1 m1 y1(t) y1(t) m1 r1 1 两自由度体系自由振动微分方程

1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角； 设解为 =常数 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角； 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。 振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。 当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令 特征方程 频率方程

多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。 ——第二圆频率 最小圆频率称为第一(基本)圆频率： ①主振型 m2 Y21 Y22 m1 Y11 Y12 由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。 ②按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应； 实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。

两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 ③一般振动 两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 多自由度体系自由振动的振型分解 例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。 1 m2 k2 m1 1 k1 解：（1）求频率方程中的刚度系数 k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2

（2）求频率 k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 代公式 （3）求主振型 1.618 0.618 1.0 1.0 若有 第1振型 第2振型

可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。 （2）求频率 若有 （3）求主振型 若 n=90 则第一振型和第二振型分别为： 可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。 如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。

多自由度体系振动的特点： 1、多自由度体系的自由振动问题中，主要问题是确定全部频率及相应振型。 2、自振频率的个数与自由度数相等，并可由特征方程求出。 3、每个自振频率都有自己相应的主振型，主振型就是多自由度体系按单自由度体系振动特有的形式。 4、自振频率和振型是体系固有的性质，只与本身的刚度系数和质量分布有关，与荷载无关。

（2）推广至n 个自由度体系：

2）、求解方程： Y=0,是方程的解,但不振动,不是所需要的解. 求非零解的条件是:

振型：

例、求图示结构的自振频率和振型。

1）、求自振频率

2）、求振型：

多自由度体系的自由振动 一、刚度法 主振型、及其特点

在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。 二、 柔度法 在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。 m1 m2 y1(t) y2(t) 设解为 此时惯性力 幅值 主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。

m1 m2 当然解 Y1=Y2=0， 为了求得不全为零的解，令 Y1 Y2 令 主振型

a a 例9. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。 解：（1）计算频率 m 1 2 1 （2）振型 1 0.5a 3.61 0.277 第一振型 第二振型

例、求图示结构的自振频率和振型： 解、先求柔度系数：假定两个质点位置分别单独作用一个单位力，引起的位移即为柔度系数。

求频率和振型

推广至多自由度体系：

例、利用柔度法求结构的自振频率：

2、求频率：

3、求振型：

关于13-20 柔度系数的计算 A B C m1 m2 A 1 B 2 C δ11 δ21 A 1 B 2 C A 1 B 2 C

§13-6、主振型及主振型的正交性 主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。 Y12 Y22 m1 m2 m1 m2 Y11 Y21 由功的互等定理： 整理得： 因 ，则存在： 两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。

由功的互等定理： 上式分别乘以ω12、ω22，则得： 第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动； 各个主振型能单独存在，而不相互干扰。

推广到多自由度体系

例如：三自由度体系

由振型向量方程 主振型第二正交性 广义刚度和 广义质量 1、利用正交关系判断主振型的形状特点 2、利用正交关系确定位移展开公式中的系数 位移按主振型分解的展开公式

两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。 三、主振型及主振型的正交性 Y12 Y22 m1 m2 m1 m2 Y11 Y21 第一主振型 第二主振型 因 ，则存在： 两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。 第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动； 各个主振型能单独存在，而不相互干扰。

§13-7 多自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 .. y2(t) P1(t) P2(t) y1(t) Y1=D1/D0 Y2=D2/D0 §13-7 多自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 .. y1(t) y2(t) P1(t) P2(t) 在平稳阶段，各质点也作简谐振动： Y1=D1/D0 Y2=D2/D0 如果荷载频率θ与任一个自振频率 ω1、 ω2重合，则D0=0, 当D1、D2 不全为零时，则出现共振现象

例1：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2 解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数： m2 m1 k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 , k12=－k2 k2 k1 当m1=m2=m，k1=k2=k

可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。 也有例外情况 当 3.0 -2.0 -3.0 0.618 1.618 2.0 1.0 -1.0 3.0 -2.0 -3.0 0.618 1.618 2.0 1.0 -1.0 两个质点的 位移动力系 数不同。 趋于无穷大。 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。 也有例外情况 当

k m w - Y = 如图示对称结构在对称荷载作用下。 Psinθt Psinθt m l/3 与ω2相应的振型是 =－1 12 k 2 11 m w - 22 Y = =－1 对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。 当θ=ω2 ，D0=0 ，也有： 不会趋于无穷大，不发生共振， 共振区只有一个。

yst2=P/k θ2mY2 荷载幅值产生的静位移和静内力 yst1= yst2=P/k 层间剪力: Qst1= P k yst1 P θ2mY1 动荷载产生的位移幅值和内力幅值 层间动剪力: 由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。

设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定 例1： m2 m1 k2 k1 质量集中在楼层上m1、m2 ， 层间侧移刚度为k1、k2 k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 , k12=－k2 m2 k2 这说明在右图结构上， 适当加以m2、k2系统 m1 k1 可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。 设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定 ，再确定 吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。

例2：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN，问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm) 解：1） Psinθt k2 m2 频率比在共振区之内应设置吸振器。 2）由 弹簧刚度系数为： N/m =102 kg

推广至多自由度体系

2、柔度法

位移的幅值：

例3：求体系的动位移和动弯矩的幅值。θ=0.6ω1，EI=常数

2、计算D0、D1、D2： 3、计算位移幅值

4、惯性力的幅值： 5、动弯矩图 依据体系所受动力和惯性力的幅值，可求出支座反力和1、2截面的弯矩值，继而画出弯矩图

注：在两个自由度体系中，同一点的位移和弯矩的动力系数是不同的，即没有统一的动力系数，这于单自由度体系不同。 6、计算质点1的位移动力系数和弯矩动力系数 注：在两个自由度体系中，同一点的位移和弯矩的动力系数是不同的，即没有统一的动力系数，这于单自由度体系不同。

§13-11 近似法求自振频率 ω 1、能量法求第一频率——Rayleigh法 求Umax ，Tmax . 求频率 §13-11 近似法求自振频率 1、能量法求第一频率——Rayleigh法 根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T 和应变能U 之和应等于常数。 根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得： Umax=Tmax ω 求Umax ，Tmax 位移幅值 . 求频率 如果梁上还有集中质量mi， Yi为集中质量mi处的位移幅值。

假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点： 1、必须满足运动边界条件： （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0） 尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。 4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，即

x l y 例12 试求等截面简支梁的第一频率。 1）假设位移形状函数为抛物线 满足边界条件且与第一振型相近 例12 试求等截面简支梁的第一频率。 1）假设位移形状函数为抛物线 l y x 满足边界条件且与第一振型相近 2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x) 3）假设 第一振型的精确解。 精 确 解

h0 x l 例13 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。 解： 截面惯性矩： 单位长度的质量： 设位移形状函数： 满足边界条件： 相比误差为3% 与精确解 Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。

为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束， Ritz 提出了改进方法： 1、假设多个近似振型 都满足前述两个条件。 2、将它们进行线性组合 n a x Y ┉+ + = 2 1 ) ( j （a1、a2、·········、an是待定常数） 3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率计算公式中得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可能组合，确实获得了最小的ω2值。 所选的a1，a2，…，an使 ω2 获得最小值的条件是 这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往越准。

2 w 2 w 2 w 2 w 2 w

x l Y’=0 Y=0 例14 用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。 解：悬臂梁的位移边界条件为： （在左端） 只取第一项 代入： 代入频 率方程： 其精确解： 与精确解相比，误差为27%。

x l 求得kij，mij： 代入频率方程： （0.48%） （58%） 说明 例14 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。 解： x l 取两项 代入： 求得kij，mij： 说明：1)由于φ1、φ2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差， 故第二频率不准。 2)Rayleigh—Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。 代入频率方程： 求得最 初两个 频率近 似值： （0.48%） （58%） 说明

2、集中质量法 在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。 等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。 作 法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。 该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。 集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。 例15 试用集中质量法求简支梁自振频率。 l

l l/3 (－0.7%） (－0.1%） l/3 (－3.1%） (－0.05%） l/3 (－0.7%） (－4.8%）

对于对称刚架，可分别用不同的集中质量方案求出对称振动和反对称振动的自振频率。 最小频率对应 着反对称振型 2l l 2l l