内容提要 傅立叶级数 傅立叶变换 典型信号的傅立叶变换 周期信号的傅立叶变换 抽样信号的傅立叶变换 抽样定理 第二章 傅立叶变换（ FT ）

狄里赫利条件 (1) 在一个周期内，间断点的个数有限 (2) 极大值和极小值的数目有限 (3) 信号绝对可积 满足上述条件的任何周期函数，都可 以展开成 “ 正交函数线性组合 ” 的无穷级数。 §2-1 周期信号频谱分析 — 傅里叶级数（ FS ）

三角函数集 复指数函数集 正交函数集 如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期 函数展成的级数就是 “ 傅里叶级数 ” 。 相应的级数通常被称为 “ 三角形式傅里叶级数 ” 和 “ 指数 形式的傅里叶级数 ” 。 它们是傅里叶级数的两种不同表示形式。 傅里叶级数（ FS ）

三角形式的 FS 展开成三角函数的无穷级数形式 设周期函数 f ( t ) 的周期为 T 1 根据正交函数的正交特性，可得：

三角形式的 FS 系数计算 系数 a n 和 b n 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称为 傅里叶系数。  1 =2  /T 1 称为信号的基波或基频。

三角形式的 FS 同频率合并 初相位 a，ba，bc，dc，d

复指数形式的 FS 系数计算方法 展开成复指数函数的无穷级数形式 设周期函数 f ( t ) 的周期为 T 1

三角函数 FS 与复指数 FS 的系数间的关系 复指数形式的 FS F n 的性质 共轭对称性

周期信号的 FS 偶周期信号 ( 偶函数 ) 的 FS F n 是偶对称的实数序列， FS 系数只有直流分量和余弦项。 积分项为奇函数 … … f(t)f(t) -T 1 -T 1 /2 0 T 1 /2 T 1 t f ( t ) = f (- t )

周期信号的 FS 奇周期信号 ( 奇函数 ) 的 FS F n 是奇对称的纯虚序列， FS 系数只有正弦项。 积分项为奇函数 … … f(t)f(t) - T 1 - T 1 /2 0 T 1 /2 T 1 t f ( t ) = - f (- t )

奇谐周期信号 ( 奇谐函数 ) 的 FS FS 系数只含有奇次谐波分量，不含直流分量和偶次谐波分 量。从波形上看，奇谐函数半周期为正，半周期为负。 f ( t ) = - f ( t±T 1 /2) 周期信号的 FS … … f(t)f(t) -T 1 - T 1 /2 0 T 1 /2 T 1 t

§2-2 周期矩形脉冲信号频谱分析 设一周期脉冲信号，脉冲宽度为  、幅值为 E 、周期为 T 1 、 角频率为  1 =2  /T 1 ，如图示。 其一个周期内的数学表示为 f(t)f(t) E -T 1 -  /2 0  /2 T 1 t 展开成三角函数形式的 FS 由于 f (t) 为偶函数，其 FS 系数只有直流分量和余弦项。 …

傅里叶频谱 则 FS 展开式为 如按下面形式 展开式

傅里叶频谱 则有 … 0  1 2  1 2  /  4  /   -- 三角形式的 FS 频谱图 幅频 特性 相频 特性

2.2-2 展开成复指数形式的 FS 则按式 所以 其中： 傅里叶频谱

其中： 傅里叶频谱 幅频谱 相频谱 0  1 2  1 2  /  4  /   -- … …  指数形式的 FS 频谱图

傅里叶频谱 将两者合并画出的频谱图如下图所示 …… 0  1 2  1 2  /  4  /   FS 谱 FS 幅度谱 FS 相位谱

傅里叶频谱 (1) 谱线包络线为 Sa 函数，仅在一些离散频率点 ( n  1 ) 上有值， 离散间隔为  1 = 2  / T 1 ； (2) 频谱中包含无穷多条谱线，表示为无穷多个频率分量，且 在 n  1 =m· 2  /  ( m=±1, ±2,±3, … ) 的频率点处出现零点，在 频域，能量集中在第一个过零点之内； (3) F n 是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度； (4) 带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关。信号带 宽定义为  =0 ～ 2  /  这段范围，即  B = 2  /  或 f B = 1/  周期脉冲信号的傅里叶频谱特点

(5) 时域参数对频谱的影响 傅里叶频谱 -  /2 0  /2 T 1 2 T 1 t E f(t)f(t) -  /2 0  /2 T 1 t -  /2 0  /2 T 1 2 T 1 t 0 2  /  4  /  6  /   0 2  /  4  /   T 1 =5  T 1 =10  （ T 1 拉长，  不变）， T 1 增加，频谱幅值下降，谱线变密。 T 1 =10  （ T 1 不变，  变小），  变小，频谱幅值下降，带宽增加。

2.2-4 傅里叶有限项级数 傅里叶频谱 任意周期信号的 FS 需要无穷多项才能完全逼近。实际上只能采用有限多 项级数来替代无限多项。当级数项数取得多，误差就小，反之，误差大。 通 常用均方误差来表示大小。 设 f ( t ) 的 FS 为 若取前 2N +1 项作为有限项 则 f N ( t ) 近似 f ( t ) 的误差函数为 而均方误差为

以矩形脉冲信号为例，从下图来探讨误差与项数的关系： f(t)f(t) -  /2 0  /2 T 1 t 傅里叶频谱 （ a ） FS 项数越多，合成波形误 差越小； （ b ）低频分量组成方波的主体，高频分 量主要影响脉冲前沿； （ c ）不论 n 为多大，在间断点总有 9% 的 偏差，称为吉布斯现象。 E 9% 0  /2 t f(t)f(t) n=1 n=3 n=5

周期信号的频谱谱线的间隔为 非周期信号可以看成是周期 T 1 趋于无限大的周期信号 非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长 度趋于零。 周期信号的频谱谱线的长度为 解决 方法 §2-3 非周期信号频谱分析 — 傅里叶变换（ FT ） FT 变换 FT 定义

傅立叶变换 FT f(t)f(t) F(n1)F(n1) F(n1)F(n1) F ( n  1 )/  1 F(0)F(0) F()F() 0  1 2  1 2  /   11 F(n1)F(n1) 0 2  /   …… …… …… …… - T 1 -  / 2 0  / 2 T 1 t -  / 2 0  / 2 t - T 1 -  / 2 0  / 2 T 1 t

傅立叶变换 FT 傅里叶变换 ( FT 、 IFT ) FT ： IFT ： FT/IFT 的性质 唯一性： 如果两个函数的 FT 或 IFT 相等，则这两个函数必然相等。 可逆性： 如果 ，则必有 ，反之亦然。 FT 存在的充分条件： 时域信号绝对可积。 变换核函数

FS 与 FT 比较 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成 幅度频谱密度函数 相位频谱密度函 数 傅立叶变换 FT

1. 矩形脉冲信号： F(  ) 为实函数 典型非周期信号的 FT 幅频谱 相频谱

典型非周期信号的 FT 矩形脉冲信号 FT 的特点： FT 为 Sa 函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积 FT 的过零点位置为 频域的能量集中在第一个过零点区间 带宽只与脉宽有关，与脉高 E 无关。带宽为 信号等效脉宽 信号等效带宽

2. 单边指数信号： 典型非周期信号的 FT 幅频谱 相频谱

典型非周期信号的 FT 3. 偶双边指数信号： ( 实偶函数 ) 幅频谱 相频谱

典型非周期信号的 FT 4. 符号函数： 不满足绝对可积条件，但存在 FT 。 幅频谱 相频谱

典型非周期信号的 FT 5. 冲激信号： 强度为 E 的冲激函数的频谱是均匀谱，密度 就是冲激的强度。 频谱在任何频率 处的密度都是均 匀的 冲激信号与直流信号的频谱的 FT 与 IFT 规律 频谱 （1）（1） 0 t 1 0 

典型非周期信号的 FT 6. 单位阶跃信号： 不满足绝对可积条件，但也存在 FT 。 原点处的冲激来自  ( t ) 中的直流分量 (t)(t) 利用符号函数证明： 上式两边进行 FT 即得

线性性 齐次性 叠加性 反褶和共扼性 §2-4 FT 的性质

奇偶虚实性 偶  偶偶  偶 奇  奇奇  奇 实偶  实偶 实奇  虚奇 实（ = 实偶 + 实奇）  实偶 + 虚奇 = 偶 +j 奇 = 实偶 *EXP( 实奇 ) 实信号的 FT ：偶共扼对称 虚信号的 FT ：奇共扼对称 实信号和虚信号的 FT 幅度谱函数是偶函数，幅度谱偶对称。 FT 的性质

对称性（对偶性） FT 与 IFT 的变换核函数是共轭对称的 按自变量  进行 FT ， 结果是 t 的函数。 IFT 可以通过 FT 来实现 f (t) 是偶函数 f (t) 是奇函数

FT 的性质 尺度变换特性 时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩 时移特性 频移特性 不影响幅度谱，只在相位 谱上叠加一个线性相位 与尺度变换结合 与尺度变换结合 频谱搬移 时域信号乘上一个复指 数信号后，频谱被搬移到复 指数信号的频率处 。 利用欧拉公式，通过乘以 正弦或余弦信号，可以达到频 谱搬移的目的。

FT 的性质 微分特性 积分特性 时域微分 频域微分 时域积分 频域积分

FT 的性质 卷积定理 时域卷积定理 频域卷积定理 时域相关性定理 若函数 f 2 (t) 是实偶函数，则 函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对。 自相关的傅里叶变换 相关性定理与 卷积定理一致。 帕斯瓦尔定理

正弦信号的 FT 余弦信号的 FT 正弦和余弦信号 FT 的频谱图 §2-5 周期信号的 FT

周期信号的 FT 冲激串的 FS FT 的对称性 FT 的线性性 周期单位冲激序列的 FT ( 周期为 T 1 )

周期信号的 FT 一般周期信号的 FT 设周期为 T 1 的周期信号在第一个周期内的函数为 f 0 (t) 则 于是 F[ f 0 ( t ) ] 利用冲激函数 的筛选特性

周期信号的 FT 最终 非周期信号的 FT 、周期信号的 FS 及 FT 的频谱区别

利用 LabVIEW 虚拟仪器设计 的正弦波频谱 分析仪显示的 正弦波 FT 频谱

信号理想抽样前后频谱的变化 原始信号及其频谱 冲激序列及其频谱 抽样信号及其频谱 抽样间隔 发生变化 § 抽样信号的 FT 时域离散 频域周期

抽样信号的 FT 按间隔 T s 进行冲激串抽样后信号的傅里叶变 换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的 T s 分之一按周期 2  / T s 所进行的周期延拓。 结论 1 ：时域时域离散  频域周期 结论 2 ：

§2-7 抽样定理 要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续 信号，必须满足： 信号是频带受限的 （ 1 ）信号是频带受限的； 采样率至少是信号最高频率的两倍 （ 2 ）采样率至少是信号最高频率的两倍。 间 距

抽样定理 几个概念 奈奎斯特频率是信号频率的上限

抽样定理 从抽样信号恢复原始信号的方法 理论上 工程上 将抽样信号通过截止频率为 、放大倍数为 T s 的 低通滤波器。 将抽样信号通过截止频率为 、放大倍数为 T s 的 低通滤波器。