大地测量学基础

第三章 地球重力场 及地球形状的基本理论

一、地球及其运动的基本概念 1、地球概说 1）、地球的基本形状 地球表面积：5.1亿Km2，海洋占70.8%，陆地占29.2%。 地球的实际形状很不规则。从总体情况看，地球的形状可用大地体来描述：是一个两极略扁，赤道突出，略显“梨形”的球体。 为计算和研究的方便，通常用旋转椭球来表达地球形状。

2）、地球大气 大气厚度：2000～3000km； 大气质量：3.9×1021克 从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层(热层)，外层(散逸层) 对流层：海平面以上40～50km；气温随高度增加而降低； 空气对流，运动显著；湿度大；天气多变。 平流层：对流层以上50～55km，气温不受地面影响；空气 水平运动；水汽含量极少。 中 层：平流层以上80～85km，气温随高度增加而迅速下 降，空气对流。 电离层：中层顶部到800km的高空；温度随高度增加而急剧 上升，大部分空气被电离，对电磁波的传播影响较大。 外 层：电离层一上；空气十分稀薄；受地球引力小。

2、地球运动概说 1）、地球自转： 地球自转的线速度： 2）、地球公转： φ 地球公转遵循开普勒三定律 λ 和万有引力定律。 x y z o V ω R φ λ 2、地球运动概说 1）、地球自转： 地球自转的线速度： 2）、地球公转： 地球公转遵循开普勒三定律 和万有引力定律。 ①、开普勒三大行星定律 a、行星运行的轨道是一个椭圆，而该椭 圆的一个焦点与太阳的质心相重合 远日点 近日点 f

b、行星质心与太阳质心间的距离向量，在相同的时间内所扫过的面积相等，即面积速度(s/t ）=常数 c、行星运动周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为常量。 ②、牛顿万有引力定律：宇宙中任意两个质点都彼此互相吸引，引力的大小与它们的质量的乘积成正比，与它们的距离平方成反比。 是在开普勒三定律基础上推导来的，其包含了开普勒三定律。

3、地球基本参数 1）、几何参数 长半径：a=6378.164km 扁 率：α=1/298.257 2）、物理参数 自转速度：ω=7.29211515×10-5rad/s 二阶带球谐系数：J2=1082.64×10-6 地心引力常数：GM=398603km3/s2

二、地球重力场的基本理论 一）、引力与离心力 1、引力F M为地球质量， m为质点质量， f为万有引力常数， r为质点到地心的距离。 z ω x y z o ρ F g P ω r M为地球质量， m为质点质量， f为万有引力常数， r为质点到地心的距离。

2、离心力 3、地球重力 为F与P的和向量

二）、引力位和离心力位 1、引力位 （1）、位函数的定义 位函数：在一个参考坐标系中，引力位对被吸引点三 个坐标方向的一阶导数等于引力在该方向上的分力。 借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。 空间任意两质点m和M相互吸引的引力公式是 ： 假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr，则 必做功：

引力位或位函数 ： 取质点m的质量为单位质量则有： 用V表示位能，此功必等于位能的减少： 对上式积分，则得位能： 引力位或位函数 ： 取质点m的质量为单位质量则有： 此函数则为质点M的引力位或位函数

根据牛顿力学第二定律 上式表明： 引力位梯度的负值在数值上等于单位质点受r处质体M吸引而形成的 加速度值，单位质点所受引力在数值上就等于加速度。

① 位函是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积分。 V＝V1＋V2＋·····＋Vn （2）、位函数的性质 ① 位函是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积分。 V＝V1＋V2＋·····＋Vn 所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位函数dVi之和，对整个地球而言，则有 x y z o r R ρ S S0 Se φm ψ λm dm λ φ (Xm,ym,zm) (X，y，z)

②空间直角坐标系中，引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度(或引力)向量的负值：

若设： (a,x),(a,y),(a,z)为a与各坐标轴之间的夹角，则 ax =acos(a,x), a y=acos(a,y), a z=acos(a,z)

引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。 在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点所做功。 （3）引力位的物理意义 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。 在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点所做功。 M Q0 Q m F

2、离心力位 x y z o r S Se λ φ (X，y，z) ω 上式表明： 坐标对时间的二阶 导数就是单位质点 的离心加速度。

1）、离心力位： 将Q对各坐标轴求偏导数有： 可见，Q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向 量的负值。因而Q是位函数，称离心力位。

2）、离心力位函数的特性： （1）、其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量 的负值。 （2）、其二阶导数为布阿桑算子

三）、重力位 1、重力位 位函数是标函数，重力是引力和离心力的合力，则 重力位就是引力位和离心力位之和： W＝V＋Q

2、重力位的特性 （1）、重力位对三坐标标求偏导则得重力分量或重力加速度分量： 对任意方向 偏导数等于重力g在该方向的分力： （g,l）为重力g与lr的夹角。

①．当g与l相垂直时，即(g,l)=900 dw＝0，有W＝常数，当取不同常数时，就得到一簇曲面，称重力等位面，也就是水准面。有无数个。 其中，完全静止的海水面所形成的重力等位面，称大地水准面。 ②．当g与l夹角为0 时，即(g,l)=00,则有-dw=gdl a．若dW≠0，必有dl ≠0,说明水准面之间不相交和相切 b．若dW＝C，由于各处重力g 不同，因而各处的dl也不同 说明水准面之间不平行 （2）．重力位是标函数

2、调和函数（谐函数）：二阶偏导数之和为零，满足拉普拉 斯方程的函数。 上式又称拉普拉斯方程，⊿V又称拉普拉斯算子。

3、引力位函数是调和函数，因为

（2）、重力位函数不是调和函数（谐函数），因其二阶导数不为零，不满足拉普拉斯方程。 对地球外部点有： 对地球内部点有：

两端积分有: 对式子 可见,只要在地面上进行重力测量就可得到地球质量.

四、地球的正常重力位和正常重力 1、地球重力位计算的复杂性 形状不规则，质量密度分极其不均匀，因而无法用以下重力位公式精确求得其重力。

2、正常椭球: 一个形状和质量分布规则,接近于实际地球的旋转椭球。它产生的重力场称为正常重力场。正常重力场的等位面称为正常水准面。因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准椭球。 正常(地球)椭球是一个假想的球体。是一个理想化的椭球体。 正常重力位U：近似的地球重力位。是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位。 扰动位T：地球实际重力位W与正常重力位U之差。 T＝W－U 根据扰动位T可求出大地水准面与正常水准面之差，便可最终解决地球重力位和形状的问题。

3、勒让德多项式： 1）、勒让德多项式： 递推公式： 将（x2-1)n按二项式定理展开有：

令x=cosψ，则有：

2）、缔合勒让德多项式： 其中，n表示阶，K表示次，当K=0时即为勒让德多项式 令x=cosψ，则有：

（1）、用地球惯性矩表达引力位的数学表达式 空间点S的坐标（x,y,z)，地面质点M的坐标(xm,ym,zm) 3、地球引力位的数学表达式 （1）、用地球惯性矩表达引力位的数学表达式 空间点S的坐标（x,y,z)，地面质点M的坐标(xm,ym,zm) 则有 x y z o r R ρ S S0 Se φm ψ λm dm λ φ (Xm,ym,zm) (X，y，z)

用级数展开，再代入 将 引力位函数 有: 再将 代入，按（R/r）合并集项得：

讨论前三项： ①、先看v0 可见，V0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。 ②、再讨论v1，ψ为R,r之间的夹角

上式两边同除以地球质量M，又因为 为地球质心坐标。 以地球质心为坐标系的原点，故有： x0=0 y0=0 z0=0 因而 v1=0

③、最后看v2 将 代入下式 有：

用A、B、C表示质点M对x、y、z轴的转动惯量,用D、E、F 表示惯性（离心力矩）即： 那么：

若用球面坐标表示，作如下变换 则： 仿此推求Vi，代入下式，便可得地球引力位的计算式：

（2）、用球谐函数表达地球引力位 ① 则第n阶地球引力位公式为：

② 球谐函数 a. 主球函数: 勒让德多项式Pn(cosθ)称为n阶主球函数（或带球函数）； b. 缔合球函数: cosKλP Kn(cosθ)及cosKλP Kn(cosθ)称为缔合球函 数，当K=n时称扇球函数，K≠n时称田球函数 其中

③用球谐函数表达地球引力位 θ 其中Θ+φ =900。 (X，y，z) S θm x y z o r R ρ S0 Se φm ψ λm dm λ φ (X，y，z) θm θ (Xm，ym，zm) ③用球谐函数表达地球引力位 其中Θ+φ =900。

将cos Ψ代入下列各式： 并顾及

那么: 令: 则用球谐函数表示的第n阶地球引力位公式为:

由上述可得用球谐函数表示的地球引力位公式: 其中球谐系数An，AnK，BnK称为斯托克司常数，当n=2时， 是二阶矩A，B，C，D，E的函数。 将地球视为旋转椭球，质心为坐标原点，坐标轴为主惯性 轴，则：

其中，A，B，C为质点dm对x,y,z轴的转动惯量。 o R λm dm θm (Xm，ym，zm) φm 其中，A，B，C为质点dm对x,y,z轴的转动惯量。

同理：

通常还有下列球谐系数Jn，JnK，KnK： 其中：

4．地球正常重力位 则重力位公式为：

取前三项，可得： 又已知： 令： 则有：

设赤道半径为ae，赤道上重力为ge，一般被吸引点离地面很 近，可认为r=ae ，将赤道上重力ge用引力fM/ae2代替，令： 那么正常重力位公式可写成如下形式： 根据： 可得：

5．正常位水准面方程式： 知： 由正常重力位公式 当U=常数时，便确定了一个水准面。我们将赤道上一点的重力作为常数，此时： 令U＝U0即： 因而可得：

又： 则可得正常位水准面方程式： 这是一个旋转椭球的方程式，其表面是一个水准面，所以又 称水准椭球，也称正常椭球。 到此，我们可知，通过研究地球的重力，便可确定地球的形 状与大小。

6．正常重力公式： 我们知道，位函在某方向的导数就是该方向力（加速度） 的分量。那么重力位函数在铅垂方向的导数就是重力加速度。 （1）、正常重力公式 类似重力位W，正常重力位U也有下式： 表示正常重力 n为正常水准面法线，若忽略n与r的方向差异，则有：

（2）、赤道上的正常重力与两极的重力公式 时，可得赤道上的正常重力： 当 ①、 当θ=0时,根据 可求得极点的rp: 又根据地球扁率 可知 所以有:

那么赤道上的正常重力又可表示为: 时，可得两极上的正常重力： 当 ②、

③克莱罗定律 ： a.重力扁率 重力扁率为 略去二次项可得 b.顾及扁率的正常重力公式： 将 代入 经整理得： 其中

C、顾及扁率平方的正常重力公式 D、闭合形式的正常重力公式（索密里安公式：） (3)、几种常用的正常重力公式：

设水准椭球为均质圆球， R其半径，则地心对地面高H的质点 的引力为： 地心对大地水准面上的点的引力为： 两式相咸得： 设地球平均正常重力为：

将地球平均正常重力的平均半径代入上式，可得： 由于H<<R，可将（1＋H／R）－2用级数展开，取到二次项，可得： 将地球平均正常重力的平均半径代入上式，可得： 若不考虑二次项，则有： 于是，可得高出椭球面H米的正常重力公式：

7、正常重力场参数 （1）、七个正常重力参数 其中 为四个基本参数。有如下关系: 根据上述关系,参数之间可相互推求。

（2）地球大地基准常数(正常椭球的基本参数): 一般将对应于实际地球的4个基本参数 称为地球大地基准常数(或正常椭球的基本参数).

③、WGS－84地球椭球大地基准及其导出量：

三、 水准面、大地水准面、 似大地水准面、地球椭球 三、 水准面、大地水准面、 似大地水准面、地球椭球 1、水准面: 重力等位面。具有几何性质与物理性质。 1）、无数个； 2）、复杂形状，不规则闭合，与铅垂线正交的曲面； 3）、水准面彼此不平行，不相交； 4）、每个水准面对应唯一的位能W＝常数，物体在水准面上移动重力不做功。 2、大地水准面：与平均海水面重合，不受潮汐、风浪及大气 压影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线垂直的水准面。 1）、一个特定的重力等位面，唯一。 2）、其几何性质和物理性都很不规则，尚未能具体确定。因 而只能用一个平均海水面代替它。

大地水准面 椭球面 大地水准面 差距 1. 与重力线垂直，是重力等位面 2. 通过平均海水面

全球大地水准面图

3、似大地水准面：与大地水准面很接近的一个曲面，是由 地面点沿铅垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面。 1）、不是水准面 2）、与水准面很接近，在海洋上与大地水准面完全重合，在 大陆上几乎重合，在山区只有2～4m的差异。 4、正常椭球（水准椭球、等位椭球）： 正常椭球：大地水准面的规则形状。 实际上，质量与地球质量相同，自转速度与地球自转速度相 同的规则物体都可正常椭球。目前都采用水准椭球作为正常椭 球，又称等位椭 球。 正常椭球除要确定4个基本参数ae，fM，J2，ω外，还要定 位和定向。中心与地球质心重合，短轴与地轴重合，起始子午 面与起始天文子午面重合。

5、总地球椭球：与大地体最为密切的正常椭球。 1）、中心与地球质心重合，短轴与地球短轴重合；起始子午 面与起始天文子午面重合；质量与地球的质量相同； 2）、4个基本参数ae，fM，J2，ω； 3）、与大地体最密合，要满足全球范围内与大地水准面的差 距N的平方和最小。 6、参考椭球：大小与定位定向最接近于本国或本地区的地球 椭球。 1）、与本地区的大地水准面密合，表现在椭球面与本地区的 大地水准面最接近及同点的法线和垂线最接近。 2）、定位定向大小都与总椭球不同， 3）、不同地区的参考椭球都不同。

参考椭球面 定义：与局部大地水准面吻合的旋转椭球面。 参数：长半径 a ，扁率  起始子午面 椭球的定位与定向：确定参考椭球与局部大地水准面的相对关系。

四、高程系统 一、一般说明 正高: 以大地水准面为参考面 正常高: 以似大地水准为参考面 高程异常ζ：似大地水准面到参考椭球面的高度。 正高: 以大地水准面为参考面 正常高: 以似大地水准为参考面 高程异常ζ：似大地水准面到参考椭球面的高度。 大地水准面差距N：大地水准面到参考椭球面的高度。

1、水准面的不平行性及其对高程的影响： 如图 ，过O、B两点的水准确性面位能差是唯一的，由于水准面上各点的重力不同，水准面是不平行的，即两个等位面的间距是处处不同的。 (1)、多值性：同一点的高程，经不同路线的观测值不同； (2)、不闭合性：即便水准测量没有误差,水准环线高程闭合差也不为零. WB W0 为解决多值问题，必须引进高程系统。通常有以下三种： 正高、正常高、力高高程系统

以大地水准面为高程基准面，地面点沿铅垂线到大地水准面 的距离。它不随路线不同而异。 2、正高系统 以大地水准面为高程基准面，地面点沿铅垂线到大地水准面 的距离。它不随路线不同而异。 B C dH dh W = WB W = W0 O 大地水准面 B点水准面 A 则：B点的正高为： 式中： 为大地水准面上C点到B点的平均重力，不能精确 测定，因而正高也不能精确求得。

3、正常高系统： ①、定义 其中，g由沿水准路线的重力测量得到，dh是水准测量的高差, 是过B点的水准面与大地水准面的位能差， 可由 正常重力公式计算得来，正常高可以精确求得。不随水准路线而异，是唯一的。 我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。

②、正常高高差的实际计算公式： ε为正常位水准面不平行引起的高差改正 λ为重力异常引起的高差改正 (1) 、正常高（高差）计算公式推导

又因为： 所以有正常高计算公式： 是水准测量测得的高差，第二项为正常位水准面不 其中 平行改正数，第一、二项之和称为概略高程，第三项为重力异常改正项。 两点的正常高高差计算公式为：

令： 则有： 可见，正常高不是地面点到大地水准面的距离，由地面点沿铅 垂线向下量取正常高得到的曲面不是等位面，因而不是水准面， 这个面与大地水准面极为接近，称之为似大地水准面。

（2）、ε计算公式推导： 当A、B间距不大时，水准路线O-A-B上各点的正常重力可用A、B两点的正常重力的平均值来代替，即：

那么 下面来求Δγ：

对上式求微分有： 亦即： 以我国的平均纬度φ=350处的正常重力γ350代替γ0B有：

（3）、λ的计算公式

又 则 ③、正高H正和正常高H常的差异 在山区，二者差异不超过4m，平原地区不超过0.5m，海面上 两者相等。

3、力高和地区力高高程系统： 1）、正高和正常高的缺陷性 B 可见，等位面不是等高面，这给某些大 A 型工程，特别是大型水库建设的测量工 大地水准面 A B HA HB W0 W A=WB=W O 可见，等位面不是等高面，这给某些大 型工程，特别是大型水库建设的测量工 作带来不便，为了解决这一矛盾，采作 力高高程系统

用纬度45º处的正常重力γ45。代替γm 建立的高程系统，其定义式为： 2）、力高高程系统： 用纬度45º处的正常重力γ45。代替γm 建立的高程系统，其定义式为： 3）、地区力高高程系统 用测区平均纬度处的正常重力γφ代替γm 建立的高程系统，目的是为了使力高更接近于本地区的正常高数值，其定义式为： 4）、力高和正常高的差异 在工程中，应根据实际情况，合理地选择正常高、力高或区域力高作为工程 高程系统。

五、我国国家的高程基准 1、水准测量的高程基准面 大地水准面为水准测量的高程基准面。 大地水准面与平均海水面不同。 平均海水面高 = 大地水准面高+海面地形 由于大地水准面高的确定精度，低于水准测量的精度，各国通过验潮确定一个起始高程点，作为高程基准点。 不同高程起算点构成不同的系统，它们之间的高程相差可能达到米级。

全球高程基准的统一：采用精密重力测量，确定精确的大地水准面模型，采用卫星测量确定各点精确的大地高，进而在统一的矿架确定精确的正高或正常高。 局部高程基准主要采用验潮方法。我国先后采用过的验潮站有：吴淞、达门、青岛、大连等 青岛验潮站的优势： 位置适中; 半日潮有规律;不在江河入海;海面开阔、无岛礁;海底平坦;水深10米以上。

水准测量的高程基准面

青岛验潮资料确定的大地水准面引测到稳固的基准点，作为全国水准测量的起算点，称为高程原点。 2 、水准原点 青岛验潮资料确定的大地水准面引测到稳固的基准点，作为全国水准测量的起算点，称为高程原点。 高程原点的组成：主点——原点 参考点和副点 “1956国家高程基准”的原点高程：72.289 m “1985国家高程基准”的原点高程：72.260 m

3、我国的高程系统： 1、1956年黄海高程系统 采用1950至1956年7月的潮汐资料推求的平 均海水面 2、1985黄海高程系统 采用1950至1979年的潮汐资料推求的平 均海水面。从1988年1月1日启用。 “1956年黄海高程系统”与“1985年黄海高程系统”相差2.9厘米的固定常数。 H85=H56-0.029m

六、关于测定垂线偏差和大地水准面差距的基本概念 一）、关于测定垂线偏差的基本概念 1、基本概念 垂线偏差：地面点重力方向与该点相应椭球面上的法线之间的夹角，用μ 表示，子午（南北）分量为ξ ，卯酉（东西）分量为η 。 天文经度：包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角； 天文纬度：测站垂线的与赤道面的夹角； 天文方位角：包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角； 天文天顶距：测站垂线与观测方向的夹角

2、球面三角定理 1)、球面正弦定理： 2)、球面边余弦定理： 3)、球面角余弦定理： A C B b c a O 4)、球面半角和差定理：

5)、球面半边和差定理： 6)、球面余切定理： 7)、边的正弦与相邻角余弦乘积定理： 8)、角的正弦与相邻边余弦乘积定理：

如图：ZM任意方向，大地方位角为A，该方向垂线偏差分量为μA，直角三角形ΔZZ2Z1，ΔZQZ1都是微小三角形，可认为是平面三角形，则有： 3、拉普拉斯方程 以测站为中心作单位半径的辅助球，ZO为法线，Z1O为垂线，μ为垂线偏差，η为其在卯酉圈上（东西方向）的分量，ξ为其在子午圈上（南北方向）的分量。 1）、垂线偏差在任意垂直面上的投影分量： 如图：ZM任意方向，大地方位角为A，该方向垂线偏差分量为μA，直角三角形ΔZZ2Z1，ΔZQZ1都是微小三角形，可认为是平面三角形，则有： Q A′ 900-B-ξ

在球面直角三角形ΔZ1Z2P中利用球面正弦定理可得： 2）、卯酉圈分量η 与子午圈分量ξ的计算 在球面直角三角形ΔZ1Z2P中利用球面正弦定理可得： 在球面直角三角形ΔZ1Z2P中利用球面余切定理可得： 即 Q A′ 900-B-ξ 可见，通过垂线偏差把天文坐标和大地坐标联系起来，从而实现两种坐标的转换。

3）、天文天顶距Z0与大地天顶距Z的归算公式： 由半边差公式有： 4）、拉普拉斯方程：天文方位角的归算公式 由半角和公式 有：

如图所示：xyz为大地站心坐标系，x1 y1 z1为天文站心坐标系。两者的关系为： 4、利用坐标转换公式推导拉普拉斯方程： y y1 x x1 ΔA 如图所示：xyz为大地站心坐标系，x1 y1 z1为天文站心坐标系。两者的关系为： 1

天文和大地坐标系分别与原点在站心，坐标轴与三维空间直角坐标系指向相同的坐标系的关系如下：

由上面第一式代入第二式得： 略去高次项，整理得： 上式与 式相比较，得： 1

并得出Laplace方程： 顾及天文站心系（x1，y1，z1）与大地站心系（x，y，z）的关系： 和天顶距、方位角和站心坐标的关系：

将第二式代入第一式，得： 2 将sinα,sinZ1,cosα,cosZ1在A，Z处展开为级数式，并取前两项有：

代入 式，并略去二次以上的项，得： 2 由第三式，得： 由第一式或第二式，顾及上式，并略去高次项得：

如果椭球短轴不平行与地轴，大地起始子午面不平行大地起始子午面，则还要考虑三个旋转角的影响，此时，大地经纬度和方位角与天文经纬度和方位角的关系可推广为：

在天文大地点上，测定其大地坐标（L，B）和其天文坐标（λ，φ），利用下式便可计算该点的垂线偏差： 5、测定垂线偏差的基本方法 1）、天文大地测量方法 在天文大地点上，测定其大地坐标（L，B）和其天文坐标（λ，φ），利用下式便可计算该点的垂线偏差： 2）、GPS测量方法 某点的垂线偏差等于在该点处大地水准面与参考椭球面的夹角 ．它在某一个方向的分量等于该方向上大地水准面与参考椭 球面的夹角。如图GPS基线AB，δ为大地水准面与参考椭球面的夹角，D为A，B两点距离。ζＡ，ζＢ为其高程异常，Δζ = ζＢ- ζＡ ，基线方向垂线偏差分量计算公式为： A B 参考椭球面 似大地水准面 ζＡ ζＢ Δζ δ Ｄ 1

当A，B相距不远时，垂线偏差可认为是呈线性变化，那么有： 只要测出基线长D，大地方位角A，高程异常差Δζ，根据式便可求得ξ，η 。对多条基线，可用最小二乘法求解。 1 3）、重力测量方法 4）、天文重力测量方法

1、用地球重力场模型法计算大地水准面差距: 二）、关于测定大地水准面差距的基本概念 1、用地球重力场模型法计算大地水准面差距: 1)、扰动位T:大地水准面上一点P的实际重力位W与其正常重 位U之差.即T=W-U。 地球引力位为： 1 正常引力位为： 2 1 2 减 得： 大地水准面 参考椭球面 2)、大地水准面差距N：大地水准 面到参考椭球面之间的距离。

如图，利用卫星雷达测出卫星到大地水准面（平均海水面）的高h，若卫 2、卫星无线电测高法研究大地水准面 如图，利用卫星雷达测出卫星到大地水准面（平均海水面）的高h，若卫 星的大地高为H，则大地水准面差距N=H-h。 如图还可知：r=r0+h，若已知卫星的位置向量r和测量向量h，则可计算大地水准面Q0的地心向量r0,进而可以确定大地水准面的形状，若已知大地水准面向量r0和观测向量h，则可以确定位卫星地心位置向量r。 Qe N H 3、利用GPS高程拟合法研究似大地水准面 在GPS网中，用GPS测出各控制点的大地高H，再用水准测量测出各点的正常高h，便可求出各点的高程异常 ζi=Hi-hi，再利用最小二乘法求出拟合方程的系数，确定拟珍贵方程后，便可推算其它的高程异常。常用的拟合模型有：

4、利用斯托克司积分公式计算大地水准面差距 或 或 4、利用斯托克司积分公式计算大地水准面差距 5、利用最小二乘配置法研究似大地水准面

也可测量不同纬度的平行圈的弧长来确定椭球参数。 三）、关于确定地球形状的基本概念 1、天文大地测量方法 1）、基本原理 沿子午圈观测两段或两面段以上的弧长及其两端点的纬度，根据以下方程，计算（或采用最小二乘法）计算椭球参数a与 α。进而确定地球形状与大小。 也可测量不同纬度的平行圈的弧长来确定椭球参数。 2).利用旧的椭球元素计算新的椭球元素 子午圈 平行圈 P1 P2 P3 P4 P6 P5 S1 S2 S3 若求得了Δa,Δα,便可得a新，α新。

由垂线偏差公式与大地水准面差公式可得： 由于

那么 上式称为广义弧度测量方程，每个天文在地点都可列出这样的方程，然后利用最小二乘法求出椭球参数，确定椭球的形状大小，还可进行椭球定位。

2、重力测量方法 在地面上测量两点（以上）的重力，并归算到平均海水面上，再测定这些点的大地纬度B i及地球自转速度ω，根据克莱罗定理有： （利用最小二乘法）计算γe，β，可得到地球扁率α =（5/2）q-β，进而确定地球形状与大小。 3、空间大地测量方法