一、利用导数作近似计算 1. 近似计算 是用计算方法得到一定精度的计算结果. y 于是 o x
这就是利用导数作近似计算的公式. 它表明，当
例1. 如图，加工圆锥台时计算刀架应取角 . 解： 因 一般相当小，故 s 于是 从而
例2. 开方的近似计算. 常用近似公式（ 充分小）：
例3. 计算 的近似值. 解： 查表得 0.4848
误差估计 ——是估计近似值与精确值的差 例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米， 误差为 毫米. 误差为 毫米. 设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米， 误差为 毫米. 称这种误差为绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间 的差值，反映了某种近似程度.
上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长 （120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见， 一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小， 故需计算绝对误差占总长度的百分比. 例如： 轴： 键销： 称这样的百分比为相对误差. 显然，轴长精度比键销 长的精度高得多. 一般地，有定义：
Def : 和相对误差
例4. 多次测量一根圆钢, 测得其直径的平均值为D＝50毫米， 绝对误差不超过0.05毫米. 试计算其截面积, 并估计其误差. 解： S的绝对误差： 相对误差：
二、Taylor 公式 近似 简单函数 多项式 复杂的函数 表示 从而
为提高近似精度，可用二次多项式 （二阶近似） 且 一般地，可用 n 次多项式 （n阶近似） 且
例5. 上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好. 近似程度是多少？
Theorem Taylor公式（也称马克劳林 ( Maclaurin ) 公式）， 式中 叫做 Lagrange 余项.
证明：作辅助函数 再作辅助函数
利用Cauchy定理，得 Lagrange 余项还可写为： 又 因此余项又可表示为 称为皮亚诺(Peano)余项.
注1： Cauchy 余项 注2：由余项可见，不论缩小x或增大阶数n都可提高精度.
Lagrange 余项 或 Peano 余项
例5 中, 误差为
例6.
例7.
特别， 二项式展开公式
例8.
例9. 解：
例10. 解：
例11. 计算
例12. 求 注3. 函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段，从而可将无理或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解，大大简化计算.