第2章 系统的基本概念 2.1 系统的概念及分类 2.2 系统的基本联接与模拟系统

本章学习重点： 1.掌握系统的基本概念，包括系统的定义和分类； 2.掌握线性时不变系统的基本特性； 3.掌握连续时间系统和离散时间系统的数学表达式和联接方式； 4.掌握相似系统和系统模拟的基本概念。

2.1 系统的概念及分类 本节基本要求： 1.理解系统的基本概念； 2.掌握系统的定义和分类； 3.掌握线性时不变系统的基本特性。

2.1.1 系统的定义 广义地说，系统是由若干相互联系、相互作用的事物组合而成的具有特定功能的整体。通 2.1.1 系统的定义 广义地说，系统是由若干相互联系、相互作用的事物组合而成的具有特定功能的整体。通 常将施加于系统的作用称为系统的输入激励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。 为传送消息而装设的全套设备（包括传输信道）就是通信系统，通常一个通信系统应由发 送设备、传输信道和接收设备三部分组成，如图所示。 图2.1-1 通信系统示意图 要分析一个实际系统，首先要建立该系统的数学模型，在数学模型的基础上，运用数学方 法求出它的解答，最后又回到实际系统，对所得结果作出物理解释、赋予物理意义。所谓系统 模型就是指系统的特定功能或特性的一种数学抽象和数学描述。更具体地说，就是用某种数学 表达式或用具有理想特性的符号组合成图形，描述系统的特定功能或特性。 若系统中各个子系统的输入、输出信号均为连续时间信号，则称为连续系统，描述系统的 行为和性能的是微分方程。若系统中各个子系统的输入、输出信号均为离散时间信号，则称为 离散系统，描述系统的行为和性能的是差分方程。在建立系统的模型时，有一定的条件，对于 同一物理系统，在不同的条件下可以得到不同形式的数学模型；另一方面，对于不同的物理系 统，经过抽象和近似，有可能得到形式上相同的数学模型。系统的输入与输出的对应关系可以 简单地用框图表示。

【例2.1-1】写出一由电阻、电容器、电感器组成的串联回 路的系统模型，若激励信号是一个电压源 ，欲求解电压 的系统方程。 路的系统模型，若激励信号是一个电压源 ，欲求解电压 的系统方程。 图2.1-2 解： 表示电阻的阻值， 表示电容器的容量， 表示电感器的容量。则由元件的理想特性及基尔霍夫电压定律（KVL）可建立方程为： 这就是该系统的数学模型。

2.1.2 系统的分类 根据系统处理的信号形式的不同，可以进行系统的分类。系统可分为 2.1.2 系统的分类 根据系统处理的信号形式的不同，可以进行系统的分类。系统可分为 三大类：连续时间系统、离散时间系统和混合系统。若系统中有的子系统 为连续系统，有的子系统为离散系统，这样的系统称为混合系统。模拟信 号数字化处理通信系统是一个混合系统，如图2.1-3所示。 图2.1-3 模拟信号数字化处理通信系统示意图 由此可见，模拟通信系统是连续系统，而数字计算机就是离散系统。 从系统本身的特性来划分，系统可分为：线性与非线性、时变与非时 变、因果与非因果、稳定与非稳定、记忆与无记忆等系统。

1 线性系统和非线性系统 线性包含齐次性与叠加性两个概念。所谓齐次性是指若系统的激励 （输入）增加 倍时，其响应（输出）也增加 倍。即： 若 1 线性系统和非线性系统 线性包含齐次性与叠加性两个概念。所谓齐次性是指若系统的激励 （输入）增加 倍时，其响应（输出）也增加 倍。即： 若 则有 若有几个激励（输入）同时作用于系统时，系统的总的响应（输出） 等于各激励（输入）单独作用（其余激励为零）时所引起的响应（输出） 之和，这就是叠加性。即： 凡能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。对于线性连续系 统则有：若 同理，对于线性离散系统则有：

对于一个动态系统而言，其响应 不仅与激励 有关，而且还与系统 的初始状态 有关。设具有初始状态的系统加入激励时的总响应为 ； 若仅有激励而初始状态为零的响应为 ，称其为零状态响应；若仅有初 始状态而激励为零时的响应 ，称其为零输入响应。若将系统的初始状 态看作为系统的另一种激励，这样，系统的响应将取决于两个不同的激 励；输入信号 和初始状态 。依据线性系统性质，对于线性系统， 则其总响应等于每个激励单独作用时相应响应的之和。即： 此特性称为线性系统的分解性。 对于线性系统，若系统有多个初始状态时，零输入响应对每个输入初 始状态呈线性（称之为零输入线性）；当系统有多个输入时，零状态响应 对于每个输入呈线性（称之为零状态线性）。 凡不具备上述特性的系统则称之为非线性系统。

2 非时变系统与时变系统 如果系统的参数与时间无关而为一个常数，或它的输入与输出的特 2 非时变系统与时变系统 如果系统的参数与时间无关而为一个常数，或它的输入与输出的特 性不随时间（独立变量）的起点而变化，即系统的输出仅取决于输入而 与输入的起始作用时间无关，则称为非时变系统或称时不变系统。对于 时不变系统，如果激励是 ，系统产生的响应为 ，当将激励的时间 延迟 为 ，则其输出响应也相同地延迟时间 为 ，它们之间的 变化规律仍保持不变，其波形保持不变。即： 若 则有 若系统在同样信号激励下，输出响应随加入时间始点的不同而产生 变化，即不具备非时变特性的系统为时变系统。 系统既是线性的又是非时变的，则称为线性时不变系统，简记为LTI。 对于连续线性时不变系统，其描述方程为线性常系数微分方程；对于离 散线性时不变系统，其描述方程为线性常系数差分方程。

3 因果系统与非因果系统 因果系统是指其响应不出现于激励作用之前的系统。也就 是说，系统在某时刻的输出响应只决定于某时刻的激励的输入 和过去的输入，而与未来的输入无关。激励是产生响应的原 因，响应是激励引起的结果。否则称为非因果系统。即：设输 入信号 在 时恒等于零，则因果系统的输出信号在 时 也必然等于零。而非因果系统的响应领先于激励，它的输出取 决于输入的将来值。 即：输入信号 =0 ， ，因果系统的输出信号 ， 。

4 稳定系统与不稳定系统 若输入有界，则输出有界（BIBO准则）的 系统为稳定系统，否则为非稳定系统。对于线 4 稳定系统与不稳定系统 若输入有界，则输出有界（BIBO准则）的 系统为稳定系统，否则为非稳定系统。对于线 性非时变系统，其稳定判定将在后面详细讨论。

5 记忆系统与无记忆系统 如果系统的输出不仅决定于当前时刻的输入，而且与它过去的状态 5 记忆系统与无记忆系统 如果系统的输出不仅决定于当前时刻的输入，而且与它过去的状态 （历史）有关，称为记忆性。具有记忆性质的系统称为记忆系统或动态系 统。含有记忆元件（电容器、电感、磁芯、寄存器、存贮器等）的系统都 是记忆系统。 对于任意的输入信号，如果每一时刻该系统的输出信号值仅取决于该 时刻的输入信号，而与别的时刻值无关，该系统具有无记忆性，此系统称 为无记忆系统。例如，电阻电路，放大电路，求和电路等。它有输入才有 输出，一旦输入取消，其输出即刻为零。

【例2.1-2】一线性非时变系统，具有一初始状态 ，当激 励为 时，响应为 ；若初始状态不变，当激 励为 时，响应为 ；试求当初始状态不变，激励 为 时，系统的响应？ 解：当初始状态 ，当激励为 时， 当初始状态 ，当激励为 时， 故 ， , 当初始状态不变，激励为 时， 系统的响应

【例2.1-3】判断下列系统是否是线性系统。 （1） （2） 解：（1） ； 所以，该系统不是线性系统。 （2） ； 所以，该系统是线性系统。

【例2.1-4】判断下列系统是否是时不变系统。 （1） （2） 解：（1） 故该系统为时变系统。 （2） 故该系统为时不变系统。

2.2 系统的基本联接与模拟系统 本节基本要求： 1.掌握连续系统和离散系统的联接方式和数学表达式； 2.掌握相似系统和系统模拟的基本概念。

1 系统的级联 实际系统通常是由许多子系统组合而成。子系统的相互联接一般有串 联（级联）、并联、混联与反馈联接等四种。最基本的联接方式有三种： 级联、并联和反馈联接。任何复杂的系统都是这三种联接的不同组合。 1 系统的级联 两个连续时间系统级联的方框图如图2.2-1所示，系统1的输出是系统2 的输入，系统1的输入和系统2的输出分别作为级联系统的输入和输出， 即 ，和 。 图2.2-1 若定义系统的输入输出关系为系统函数 （或称为算子），整个系统首 先按系统1，再按系统2的信号变换关系，依次变换各自的输入信号。系统1 的输入输出关系为 ，系统2为 ，则有

系统1和系统2的输入等于整个系统的输入，两个系统的各自的 输出相加作为整个系统的输出，即有 和 若系统1和系统2的信号变换关系分别为 和 ， 2 系统的并联联接 两个离散时间系统并联联接如图2.2-2所示。 图2.2-2 系统1和系统2的输入等于整个系统的输入，两个系统的各自的 输出相加作为整个系统的输出，即有 和 若系统1和系统2的信号变换关系分别为 和 ， 则整个系统的输入输出为

3 系统的反馈联接 另一种基本的互联类型是系统的反馈联接，下图显示了两个连续时间 3 系统的反馈联接 另一种基本的互联类型是系统的反馈联接，下图显示了两个连续时间 系统反馈联接的基本框图，其中，系统1的输出作为整个系统的输出，同 时又作为系统2的输入，而系统2的输出反馈回来，与外加的输入信号相减 之后，作为系统1的输入。在反馈联接中，通常把系统1的信号支路称为前 馈支路，系统2的信号支路称为反馈支路。 图2.2-3 若定义系统的输入输出关系为 ，系统1的输入输出关系为 系统2为 , 如图2.2-3所示，系统反馈联接的基本关系为

系统联接形式包含有串联、并联、反馈任意两种或三种联 接形式称为混联。图2.2-4是一个组合上述三种基本互联方式 的例子，图中系统1和系统2级联后，再与系统3和系统4反馈联 接的系统并联，最后与系统5级联。 图2.2-4

【例2.2-1】一个线性时不变系统，当输入为阶跃信号 时，系统的零状态响应 为 ，将相同的这样两个系统串联，试求当输入为 时，系统的的零状态响应 。 解：当输入为 时，系统的零状态响应为 ； 当输入为 时，系统的零状态响应为 ； 当输入为 时，一个系统的零状态响应为 将 作为第二个系统的输入，由此可得：相同的这样 两个系统串联时，系统的的零状态响应

2.2.2 相似系统与系统模拟 在线性系统分析中，方程求解的数学过程并不依赖于它所 描述的物理现象。对于可用相同的方程描述的各种系统来说， 在相同的激励的作用下，其响应（方程解）的形式也是相同 的，而方程中各参数和变量所具有的物理含义则随具体的物理 系统而异。这种能用相同的方程描述的系统称为相似系统。 如前所述，把一个具体的物理系统抽象为数学模型，便于 用数学方法分析研究系统的性质。另外，还可以借助简单而易 于实现的物理装置，用实验方法来观察和研究系统参数和输入 信号对于系统响应的影响。系统模拟不需要制作实际系统，而 只需要根据系统的数学描述，用模拟装置组成实验系统，使得 它与真实系统具有相同的微分方程或差分方程的数学表达式。

1 基本运算器 系统的模拟通常由几种基本运算器组成：加法器、标量乘法器（数乘 器）、连续时间积分器和离散时间累加器及离散系统延时器。 1 基本运算器 系统的模拟通常由几种基本运算器组成：加法器、标量乘法器（数乘 器）、连续时间积分器和离散时间累加器及离散系统延时器。 (1)加法器 加法器是一个多输入单输出系统，加法器的图形符号如图2.2-5所示。 图2.2-5 它的功能是实现若干个输入信号的相加运算，连续或离散时间两输入 加法器的输入输出关系为 或

它的功能是实现标量乘法运算，即把输入信号乘以标量，连续或离散 时间标量乘法器的信号变换关系为 或 其图形符号如图所示。 (2)标量乘法器 它的功能是实现标量乘法运算，即把输入信号乘以标量，连续或离散 时间标量乘法器的信号变换关系为 或 其图形符号如图所示。 图2.2-6 (3)连续时间积分器和离散时间累加器及离散系统的延时单元 连续时间积分器和离散时间累加器的功能是对输入信号实现积分或累 加运算，其输入输出关系为

积分器和累加器的系统图形符号如图2.2-7和图2.2-8所示。 图2.2-7 图2.2-8 离散系统的延时单元的功能是对输入信号实现移位（超前或滞后）， 其输入输出关系为 离散系统的延时单元的系统图形符号如图2.2-9所示。 图 2.2-9

2 连续系统的模拟图 构成连续系统的模拟图的步骤如下： （1）把微分方程输出函数的高阶导数项保留在等式左边，而把其它各 项移到等式右边； （2）将最高阶导数作为第一个积分器的输入，其输出作为第二个积分 器的输入，以后每经过一个积分器，输出函数的导数阶数就降低一阶，直 至获得输出函数为止； （3）把各个阶数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法 器，一起送到第一个积分器与输入函数相加，加法器的输出就是最高阶导 数。 依据上述的步骤，很容易地把一个 阶微分方程 所描述的 阶系统的模拟图构造出来，即首先移项为

由此可见 通过求和，就可得到如图2.2-10所示网络结构。 若微分方程右边含有输入函数导数时，如：二阶微分方程 对于该系统模拟，需引入一个辅助函数，使其满足条件： 代入可得： 由此可见

即模拟图如图所示。 图2.2-11 对于一般的n阶系统微分方程 设式中 ，则其系统模拟图如图所示。 图2.2-12

3 离散系统的模拟图 离散时间系统模拟图与连续时间系统模拟图具有类拟的结构，只需将 用延时器替代积分器而已。可以得到构成离散系统的模拟图的步骤如下： （1）把差分方程输出函数的高阶差分项保留在等式左边，而把其它各 项移到等式右边； （2）将最高阶差分项作为第一个延时器的输入，其输出作为第二个延 时器的输入，以后每经过一个延时器，输出函数的差分阶数就降低一阶， 直至获得输出函数为止； （3）把各个阶数降低了的差分项及输出函数分别通过各自的标量乘法 器，一起送到第一个延时器与输入函数相加，加法器的输出就是最高阶差 分项。依据上述的步骤，很容易地把阶离散系统差分方程 所描述的阶离散系统的模拟图构造出来。

同理，对于一般二阶离散时间系统，若差分方程为： 首先移项为 通过求和，就可得到如图2.2-13所示网络结构。 图2.2-13 同理，对于一般二阶离散时间系统，若差分方程为： 对于该系统模拟，需引入一个辅助函数 ，使其满足条件： 应有

即模拟图如下图所示。 图2.2-14 对于一般的n阶系统差分方程: 设式中 ， ，则其模拟图如图2.2-15所示。 图2.2-15

【例2.2-2】 画出下列微分方程所描述的连续系统的模拟图。 解：根据一般二阶连续系统的模拟图可得，上述二阶微分方程 描述的网络结构如图2.2-16所示。 图2.2-16

【例2.2-3】 画出下列微分方程所描述的连续系统的模拟图。 解：先将方程整理为 根据一般二阶离散系统的模拟图可得，上述二阶差分方程 描述的网络结构如图2.2-17所示。 图2.2-17