第二章 线性系统的运动分析 本章主要对线性动态系统的行为特性进行分析。系统分析包括定性分析和定量分析。定性分析主要研究系统的稳定性，能控性和能观测性等一般性质，定量分析主要确定习题在外部激励作用下的运动（响应）特性，本章研究状态空间描述下线性系统的运动行为，即进行习题的定量分析。

§2.1 线性定常系统的运动分析 §2.2 线性定常系统的状态转移矩阵及脉冲响应矩阵 §2.3 线性时变系统的运动分析 §2.4 线性离散时间系统 §2.5 线性离散时间系统的运动分析

2.1线性定常系统的运动分析 考虑如下的线性定常系统 （2.1） 根据微分方程理论，如果方程（2.1）满足 条件，则对给定的 初始条件及分段连续输入 ，状态方程的解 唯一确定，且连续地依赖于初始条件 。

齐次状态方程及其解 当外部输入 时， （2.2） 式（2.2）称为齐次状态方程。仿照标量指数函数，定义如下的矩阵指数函数 这里 为 常阵， 为 时变矩阵

对于线性定常系统（2.2），状态解由下式给出 （2.2） 现在给予证明，设式（2.2）的解 可展为如下的向量幂级数，即 该式满足方程式（2.2）故

上式左右两边 的系数向量应相等，则得到 这样， 可表示为

考虑到当 时， ，于是 从前面的讨论知，矩阵指数 对方程（2.2）的解具有重要作用，它可以看作是一种线性算子，将系统的初始状态 经时间 后变换为 。对式（2.2）进行拉氏变换有

故 于是 （2.5） 式（2.5）给出了 的闭合形式，间接表明 的幂级数是收殓的。

矩阵指数的基本性质 （1） （2）令 和 为两个自变量，且满足 （3） 为非奇异矩阵，且满足 （4） 满足微分方程

且有 （5）对于给定方阵 ， （6） 满足积分关系 为常数阵。 （7）对 常阵 ， ，若 ，即 和 是可交换的，则

矩阵指数 的计算方法 方法1（级数展开法）：根据矩阵指数的定义 一般可取有限时间函数项之和满足给定的精度要求即可。若 的最大特征值与最小特征值相差不大时，这种方法可以得到较好的效果。为了适合计算机计算， 可以写成如下的递推关系式

赋 与 的计算结果满足给定精度时，则 可表示为 项之和。 方法2（非奇异变换法）：若 的 个特征值 为两两相异，则存在非奇异变换矩阵 使 矩阵指数 满足 （2.6）

当矩阵 仅含 个不同的重特征值时，只能化为约当型，则存在非奇异变换矩阵 使得 为约当型矩阵，矩阵指数 为 （2.7） 这时

现举例说明如下 其中

经计算

方法3（ 近似法） 这种方法实际是用有限多项式逼近的一种逼近算法，按照矩阵指数 的定义，对任意 将 划为 个小区间，令 故只要计算出 值就可以了。

显然 (2.8) 提出用下式逼近（2.8）式 (2.9) 式（2.7）为一阶近似表达式。由 ，令 及 ,可将（2.9）式展为级数

二阶和三阶 近似表达式为 （2.10） （2.11）

它们的级数展开式分别为 分别有前3、5、7与式（2. 8）对应相同。

方法4（拉普拉斯变换法） 已知 式中 称为预解矩阵，当维数较低时，直接求逆是方便的，但当维数较高时，求逆计算甚难，Faddeev给出了一种递推求法。 令

其中 为系统的特征多项式， 为伴随阵。 和 由下面的递推关系给出

式中 表示矩阵 的迹。

证明 伴随阵 还可表示为 其中 表示 的代数余子式。对式（2.12）两边取迹

再看 对 的导数。 由于行列式的导数等于逐列求导所得行列式之和，故有

考虑到 上式两端取迹

上式两边对应 项的系数应相等。 则 即 另一方面，式（2.12）两边同乘 ，有

即 比较上式两边对应 项的系数，得到 于是式（2.13）的证。

由上述的Faddeev算法可以看到，求预解矩阵 避免了求逆运算，非常适合于计算机迭代计算，这无疑对求矩阵指数函数带来了极大的方便。 方法5（多项式表示法）：把 表为 的多项式，即

其中，当 的特征值为两两相异时 ， 可方便地用下式计算 （2.15） 若 包含有重特征值，则计算比较复杂，现在举例加以说明。

设 的 个特征值中， 为三重特征值， 为二重，其余为相异特征值，这时 由下式确定

上面各种关系的证明见参考资料[4]。 例2.1 已知系统矩阵 为 试计算矩阵指数 。 解 由于 二级矩阵，用方法4.

最后结果为 若用方法2，则首先求 的特征值，因 故 。使对角化的非奇异变换阵

这样，矩阵指数函数 为

若用方法5， 的特征值 ，则 矩阵指数函数为

非齐次状态方程的解 前面讨论了齐次状态方程的运动规律，现在考察具有外部作用 的时系统的状态运动规律，状态方程如下 为了求得（2.17）式的解，研究如下等式

上式从0到t进行积分， （2.18） 式（2.18）的物理意义非常密明确，系统的解有两个部分组成，其中第一项是由初始状态引起的，通常将其称之为零输入响应；第二项是控制输入作用下的受控项，一般称之为零状态响应。也就是说，系统的解是由零输入响应和零状态响应组成。

显然，系统的初始状态 对系统的状态的影响是固定不变的，而要使系统的状态按期望的方式运动，以满足系统的设计目标，必须通过选择控制输入函数 来实现。这一思想不但是系统运动分析的目的，也是以后对系统进行综合设计的依据。

2.2 线性定常系统的状态转移矩阵及脉冲响应矩阵 2.2 线性定常系统的状态转移矩阵及脉冲响应矩阵 状态转移矩阵 初始状态引起的系统自由运动可用状态转移矩阵来表征，它是初始状态 到状态 的一个线性变换。零状态响应也与状态转移矩阵有关。已知线性定常系统齐次方程的解为 ， 便是状态转移矩阵的一种表达式，但线性定常系统的状态转移矩阵通常不能表示为 ，

有必要建立适应与定常及时变的统一的表达式，为此从齐次状态方程的一般解法入手引入基本解阵概念，来导出状态转移矩阵的一般表达式。 众所周知，纯量微分方程 的通解为指数式 式中 为特征值， 为与初始条件有关的常数。对于向量微分方程 ，其解也具有类似的指数式：

改解自然应满足原微分方程，即 由于 ，故有 ，该式为特征向量方程， 为矩阵 的特征值， 为与 对应的特征向量。解 表明，可用一个特征值及其对应的特征向量来表示，它是 的一个解，称为基本解。当 有 个相异特征值 时，对应有 个特征向量 ，故 都是 的解，且称为解向量，

由线性代数理论知识可知，任意两个解向量的线性组合仍是解向量，这里取 做为一个基本解组。有特征向量的线性无关性可知 也线性无关。 基本解组的线性组合 ，也是 的解且称为通解，式中 为不全为零的实常数，与初始条件有关，有

由基本解组构成的非奇异矩阵 （2.19a） 称为的一个基本解阵。用该基本解阵表示通解有 （2.19b） 当 时 ， ， 当 时

故 或 （2.20） 该解显然应满足 ，于是可导出基本解阵微分方程为 或 （2.21） 初始状态至状态的线性变换定义为状态转移矩阵，记为 或

由式（2.20）可确定状态转移矩阵与基本解阵的关系为 或 （2.22） 该解与 的选取无关。由式（2.22）和式（2.21）可导出 也满足 ，即 或 （2.23）

由于矩阵指数 满足 ，且 ，故 也是一个基本解阵且是状态转移矩阵， 亦然。于是有 （2.24） 状态方程的解可表示为 （2.25） 或

状态转移矩阵的性质 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ；且有

脉冲响应矩阵 满足因果律的线性定常系统，在初始松弛的条件下，其输入输出关系可用系统的单位脉冲响应阵描述。设系统具有 个输入， 个输出，则脉冲响应阵为 矩阵 （2.26）

且 和 式中 表示在第 个输入端加一单位脉冲函数 ，而其它输入为零时，在第 输出端的响应。 （2.27） 引入变量置换，令 ，式（2.27）还可表示为 （2.28）

现在讨论脉冲响应阵 与状态空间描述和状态转移矩阵的关系。考虑线性定常系统 （2.29） 其中， 分别为 实值常阵。其脉冲响应矩阵为 （2.30） 或 （2.31）

这里 为单位脉冲函数。考虑到 ，故 （2.32） 和 （2.33） 上述关系可容易地由系统解的表达式得到。对系统（2.29)，设 ，由式（2.25），

（2.34） 将式（2.27）与式（2.34）相比较即得 （2.35） 对式（2.35）作简单的变量替换就可得到（2.31）式。 在对系统进行分析时，常常要对系统进行代数等价变换，进行代数等价变换不改变系统的脉冲响应函数，因为这种变换不影响系统的输入输出关系，仅是改变系统的状态变量的选择方式。证明如下

已知系统 的脉冲响应阵为 （2.36） 而系统 的脉冲响应阵为 （2.37） 由于两个系统是代数等价的，即 且

上述关系代入（2.37）式有 由于系统的传递函数是系统的脉冲响应矩阵取拉普拉斯变换得到的，根据上述关系也可知两个代数等价系统其传递函数矩阵也一定相等，于是代数等价变换也不改变系统的极点和零点。

马儿科夫参数矩阵 将 展成 的幂级数有 （2.38） 定义 （2.39） 为马尔可夫参数矩阵，故

（2.40） 可看出 （2.41） 意味马尔科夫参数矩阵是脉冲响应矩阵及其各阶导数在 时的值。

将传递函数矩阵 展成 的幂级数有 （2.42） 由马尔科夫参数矩阵可将其表为 （2.43）

由马尔科夫参数矩阵可构造下列汉克尔阵 ： （2.44） 式中 为 各元最小公分母的最高次数，汉克尔阵在研究实现问题中有重要意义。

2.3 线性时变系统的运动分析 考虑如下的线性时变动态系统 （2.45） 其中， 为 维状态向量， 为 维输入向量， 为 维输出向量， 分别为 的时变实值矩阵。

为了确定方程（2.45）的解，先研究如下的齐次方程 （2.46） 设式（2.46）的 个线性无关解向量 注意到这里的 通常是显含 的时变向量，以其为列构造下列基本解阵 （2.47） 由于基本解组满足式（2.46），有 （2.48）

故基本解矩阵满足下面的矩阵微分方程 （2.49） 为某个非奇异实值常量矩阵。 定理2.1 方程（2.46）的基本解矩阵 对于 为非奇异矩阵。 证明 用反证法。设存在 使得 为奇异矩阵，则存在非零实值常向量 使得 即 （2.50）

由于 是 的解，故式（2.51）意味着 线性相关，也就是 线性相关，与 为基本解矩阵的定义相矛盾。 定理2.2 若 均为式（2.46）的基本解矩阵，则存在 非奇异实值常量矩阵 使 （2.51） 将该式代入式（2.49），可验证其成立。

式（2.46）的通解为 由于 ，有 记时变系统状态转移矩阵为 ，其定义式为 （2.51） 由定理2.2知， 与 的选取无关。

对于简单的 ，可得出解析解，它们是初始条件 的函数式，任取 组不相关初始条件，可获得 个线性无关解向量 ，从而构成 和 的解析解。 状态转移矩阵具有下述重要性质： （1） （2） （3） （4）

有了状态转移矩阵，现在看齐次方程（2.46）的解。在任意初始条件 下，由于 令 ，则上式变为 故知 是式（2.46）的解，由解的唯一性知，该该式就是式（2.46）的解， ，是一个线性变换，它将 时刻的状态 映射为 时刻的状态 。

注意到 一般不具有闭合形式，唯当 与 可交换时，存在下列闭合的矩阵指数形式： （2.53a） 的求解通常只能采用下列级数展开式在计算机上进行数值计算，由于

故 （2.53b）

式中 还可继续展开表示，于是可得 的级数展开式，称为Peano-Baker级数，但只能得到数值计算结果。下面讨论式（2 （2.54） 利用状态方程和状态转移矩阵的性质，得到

于是导出 上式从 到 进行积分，则 （2.55） 将（2.55）代入到（2.54）中得到

由于 ，故 ，从而 从式（2.56）可以看出，线性时变系统解的表达式和线性定常系统的解表达式有类似的形式，系统的响应分为两个部分，一部分有初始状态引起，另一部分由输入作用引起。由于系统是时变的，解与初始时间密切相关。状态转移矩阵 因为不易求解，因此，式（2.36）在大多数情况下只具有形式上的意义。

例2.2 一线性时变系统为 其中 为单位阶跃函数 ，初始状态为 求系统的解。 解 首先求该系统的状态转移矩阵 ，为此，令 先研究齐次方程

对上式求解得到 取不相关的两组初始条件 得到两个线性无关解

于是，系统的一个基本解矩阵为 由状态转移矩阵的定义， 为

由公式（2.56）得到

现在导出线性时变系统的脉冲响应矩阵。状态运动规律由式（2.56）知 在零初始条件下，由输出方程 则有

从而脉冲响应阵 为 （2.57） 这样，在零初始条件下，任意输入作用下系统的响应为 （2.58）

2.4 线性离散时间系统 离散时间系统模型有两类，一类是本质离散的，如离散事件系统，由系统辨识方法得到的系统模型也可以看作此类系统，另一类是把连续时间系统离散化得到的，其目的是为了实现计算机可能控制。离散时间系统同连续时间系统具有许多类似性质，下面分别讨论。

离散时间系统的描述 考虑在不同的离散时刻 的系统输入 和系统输出 为了讨论方便，约定这些离散时刻是采样周期的整数倍，即 并且进一步把这些离散时刻用整数 表示，

本身的含义为 。如同线性连续时间系统的输入输出关系可用高阶微分方程表示，单输入单输出线性离散系统的输入输出关系通常可以如下的高阶差分方程表示 （2.59） 引入位移算子 ，其含义为

是表示延迟一个采样周期的算子。这样，式（2.59）可以写成 （2.60） 其实，在零初始条件下，式（2.59）的 变换为 （2.61）

式（2. 61）实际上表示了系统（2. 59）在域的传递函数。我们的目的是要得到系统（2 式（2.61）实际上表示了系统（2.59）在域的传递函数。我们的目的是要得到系统（2.59）的状态空间模型。为此，必须选取状态变量。按如下方式选取状态变量，即把每一个延迟器的输出作为一个状态变量，令 （2.62）

输出方程为 (2.63) 式（2.62），（2.63）中 满足 (2.64)

将式（2.62）化为向量矩阵表达式得到 (2.65) (2.66) 其中 (2.67)

(2.68) 显然，根据式（2.65），（2.66）知，离散时间系统与连续时间系统具有类似的代数性质，由于状态变量的选取不是唯一的， 的表达式可以有不同的表达式。 对式（2.56），（2.66）取 变换，有 在初始条件为零时，系统的脉冲传递函数为 (2.69)

若 ，则 (2.70) 对上式作变换，将 展为级数，有 (2.71) 式中 。式（2.71）的 反变换为离散时间函数 (2.72)

它是系统的单位脉冲响应序列。由 组成的对称阵 也称为汉克尔（Hankel）矩阵。而称为马尔科夫参数。

连续时间系统的离散化 连续时间系统的离散化式指把连续时间系统化为等价的离散式系统来分析和处理。在实际中的作法则是在系统的输入输出端接入采样保持器。保持器的种类由零阶保持器，一阶保持器等。为了能够准确的复现连续信号，采样频率必须至少满足香农（Shannon）定理。下面就零阶保持器的条件下，给出线性连续时间系统的离散化模型。

考虑线性时变系统 (2.73) 设采样周期为 ，各采样时刻为 总的采样次数为 。输入 满足 根据前面的结论，线性连续时间系统（2.73）的状态运动表达式为

令 ，则状态方程为 (2.74)

输出方程为 (2.75) 由此，我们得到式（2.73）的离散化模型为 (2.76) 系数矩阵为 (2.77)

对于定常系统而言，离散化系统为定常系统，结果可直接由式（2.76），（2.77）推出。即对线性定常系统 (2.78) 其离散化模型为 (2.79)

系数矩阵 为 (2.80) 从式（2.80）可以看到，由于矩阵指数 对任意定常矩阵 是非奇异的，故 是非奇异的。这说明，由连续模型离散化得到的离散时间系统，系统矩阵 总是非奇异矩阵，但由其它方法得到的离散时间系统并不能保证这一点，这是读者应该注意的问题。

例2.3 考虑如下二阶线性定常系统 设采样周期 ，求其离散化模型。 解 首先确定该系统的状态转移矩阵，由于

求拉普拉斯反变换得到 根据式（2.80）得到 阵

这样，离散化后系统的模型为

在前一小节中，集中讨论了线性离散时间系统的模型，这一小节则主要讨论线性离散系统的运动特性，具体归结为对时变线性差分方程 2.5 线性离散时间系统的运动分析 在前一小节中，集中讨论了线性离散时间系统的模型，这一小节则主要讨论线性离散系统的运动特性，具体归结为对时变线性差分方程 (2.81) 或线性定常差分方程

(2.82) 进行求解。由于差分方程比微分方程更易于求解，解的存在性和唯一性问题也较简单，因此，这里仅给出一些主要结论。 解差分方程最为通用的方法是迭代法，在初始条件给定的情况下，逐步递推求解，它尤为宜在计算机上进行计算。下面分别讨论。 对于线性时变离散系统（2.81），状态运动表达式为

(2.83) 或 (2.84) 其中 是系统的状态转移矩阵，满足如下的矩阵差分方程 (2.85) 现在给出递推证明。由式（2.61）知

(2.86)

为了方便，令 (2.87) 则 (2.88) 这样，式（2.86）有关 的项从左至右相加化为和式表示得到

式（2.86）中有关 的项从右至左相加化为和式表示得到 对式（2.82）描述的线性定常离散系统，状态运动表达则较为简单，其描述为 （2.89） 或 （2.90）

这是因为，在定常情况下， 根据上式便可到处（2.89）或（2.90）式。在线性定常离散系统的条件下，其状态转移矩阵满足 （2.91）

为了方便，这是可将上式表示为 则（2.89）式又可写为 （2.92） 从前面的讨论得知，不管是线性时变离散系统，还是线性定常离散系统，状态解都由两部分组成，即零输入响应和零状态响应。

从解的结构上可以看出，状态解的零输入响应形式不变，而零状态响应从连续系统的积分式变成了离散系统的求和式，具有完全相似的数学结构。线性定常离散系统（2.82）的稳定状况取决于系统矩阵 的特征值，当 的所有特征值的模均小于1时，对已知确定性输入 ，系统的响应是收敛的。

脉冲传递函数矩阵 考虑线性定常离散系统 （2.93） 令 为 的 变换， 为 的 变换， 为 的 变换，对式（2.93）取 变换，得 （2.94）

由式（2.94）导出 在初始条件为零的条件下 （2.95） 其中 （2.96） 是线性定常离散系统（2.93）的脉冲传递函数矩阵。

一般情况下， 为有理分式矩阵。由于实际系统是具有因果性的，故通常 为真有理分式矩阵。