第四章 解析函数 的级数展开
4.1 复数项级数的基本概念 4.1.1 复数项级数概念 定义 4.1.1 复数项无穷级数 设有复数列， 其中 则 (4.1.1) 设有复数列， 其中 则 (4.1.1) 称为复数项无穷级数. 前n项和 称为级数的部分和.
定义4.1.2 级数收敛 若部分和复数列 存在有限极限，则称无穷级数 收敛，而这极限值称为该级数的和, 即 (4.1.2) 记作 若部分和复数列 存在有限极限，则称无穷级数 收敛，而这极限值称为该级数的和, 即 (4.1.2) 记作 (4.1.3)
定义4.1.3 级数发散 若部分和数列 无有限的极限，则称 级数发散
4.1.2 复数项级数的判断准则
根据上式判断级数是否收敛，实际上比较困难. 事实上，由于 根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法.
定理4.1.2 设 ，则级数 收敛的充分必要 条件是级数的实部 和虚部 都收敛.
定理 4.1.4 收敛的必要条件是 级数 .
例4.1.1 考察级数 的敛散性.
【解】 由定理4.1.2 知，只需讨论级数的实部级数 和虚部级数 的敛散性. 因为级数 发散，故原级数发散.
定义4.1.4 绝对收敛级数 若级数 收敛，称原级数 为绝对收敛级数.
定义4.1.5 条件收敛级数 若复数项级数 收敛，但级数 发散，则称原级数 为条件收敛级数.
说明： 级数 的各项均为非负实数，因此 为正项实级数，故可按正项级数的收敛性判别法则， 如比较判别法，比值判别法或根式判别法等判断 其收敛性.
定理4.1.5 若级数 收敛，则级数 必收敛； 但反之不一定成立. 即为调和级数，故发散. 是收敛的，但由于 例如级数
另外，若有 ，则 (4.1.5) 因此又可以得到下面的定理:
定理 4.1.6 级数 绝对收敛的充分必要条件是实数项级数 与 都绝对收敛.
定理 4.1.7 绝对收敛级数的各项可以重排顺序，而不改变其绝对收敛性与和.
定理 4.1.8 若已知两绝对收敛级数 则两级数的柯西乘积 也绝对收敛，且收敛于： (4.1.6)
例4.1.2 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ (1) ；
【解】 绝对收敛. 由正项级数的比值判别法知 收敛，故级数 (1) 因
(2)
(2) 因 ， 都收敛，故原级数收敛，但因 为条件收敛，所以原级数为条件收敛.
4.2 复变函数项级数 定义 4.2.1 复变函数项级数 是定义在区域D上的复变函数 设 序列，则称表达式 (4.2.1) 定义 4.2.1 复变函数项级数 设 是定义在区域D上的复变函数 序列，则称表达式 (4.2.1) 为复变函数项级数（简称复函数项级数）. 该级数前n项和 称为级数的部分和.
一致收敛
4.3 幂级数 4.3.1 幂级数概念
另一部分命题用反证法证明.
定义4.3.2 收敛圆 收敛半径
4.3.3 收敛半径的求法
定理 4.3.3 幂级数的性质：
4.4 解析函数的泰勒级数展开式 通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数.现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.
4.4.1泰勒级数
4.4.2将函数展开成泰勒级数的方法
4.5罗朗级数及展开方法
4.5.1罗朗级数
因此，我们可以用它的正幂项级数(4. 5. 2)和负幂项级数(4. 5. 3)的敛散性来定义原级数的敛散性 因此，我们可以用它的正幂项级数(4.5.2)和负幂项级数(4.5.3)的敛散性来定义原级数的敛散性. 我们规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和.
4.5.3 用级数展开法计算闭合环路积分
本章作业 4.1; 4.2; 4.4; 4.7; 4.8; 4.10 ;4.14 4.15: (1);(3) ; 4.16 计算机仿真（选作）:4.20