主讲：蒋士亮 教授 单位：广西民族大学 物理与电子工程学院 理论力学多媒体课件 主讲：蒋士亮 教授 单位：广西民族大学 物理与电子工程学院

• 教材蓝本 (面向21世纪课程教材) 金尚年,马永利编著.理论力学.第二版.北京：高等教育出版，2002 • 主要参考书： 1. 陈世民.理论力学简明教程.北京：高等教育出版社，2001. 2. H.Goldstein .Classical Mechanics (Second Edition). Cambridge: Addison-Wesley,1980. 3. 蒋士亮.理论力学学习导引.桂林:广西师范大学出版社,1997. • 内容设计 蒋士亮教授 何良明 • 脚 本 • 多媒体制作 赵迎新老师、刘杰、何良明 • 动画制作 吴礼燕老师 • 文字录入 　　 盘佳秀

绪论 一、力学、与理论力学 宏观 一般力学 固体力学 经典力学 流体力学 绝对时空 交缘力学 v《光速 微 宇 观 观 相对论力学 量子力学 (质量与尺寸 随v而变化 ) 量子力学

绪论 理论力学： 研究质点系机械运动一般规律。 (属于一般力学) 包 括： 静力学、运动学和动力学 研究杆状构件的强度，刚 材料力学： 包 括： 研究质点系机械运动一般规律。 静力学、运动学和动力学 研究杆状构件的强度，刚 度和稳定性 。 材料力学： 研究杆系结构的强度，刚 度和稳定性。 结构力学： 固体力学 研究非杆结构在弹性阶段 的强度、刚度和稳定性。 弹性力学： 流体力学： 研究流体受力与运动规律。

绪论 二、研究内容 研究物体所受力系的简化平衡规律及 (1) 静力学: 其应用。 包括几何静力学、分析静力学 应 用: 质点系、刚体、流体 应 用: 质点系、刚体、流体 杆与杆结构. 变形固体 块、板、壳. 三大关系 平衡、几何、物理

绪论 研究点与刚体运动的几何性质 (2) 运动学: 包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础) 刚体运动 变形(包含刚体位移和相对位移) 刚体运动 (3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系 包括质点系、刚体，变形体的动力效应。

绪论 三、力学模型 1、基本模型: 质点系→基本理论(包括一切模型) 2、一般模型: 质 点: 具有质量的几何点。 刚 体: 质 点: 具有质量的几何点。 刚 体: 任何两点距离不变的几何体。 变形固体: 连续、均匀、各向同性或各向异性假设。 分为宏、细、微三层次。 流 体: 理想流体(无粘性) 。

绪论 .地球: 天文学中视为质点或刚体。 地震学中视为多相变形固体。 土木工程中视为弹性半空间。

绪论 3、特殊模型: 工程系统的计算简图(结构与机构) ①形状 轮廓线、杆轴线 铰接:限制平移、可转动 刚结:限制平移与转动 弹性:可变形 ②联结 ③荷载 恒载与活载 静载与动载 表面力与体积力 分布力与集中力 温度变化、电磁效应、支座移动， 加工误差等。 ④其它外因:

绪论 四、研究途径与方法 1、途径: 分理论体系与工程应用两条。 普遍定理 力学模型 数学模型 理论解答 误差检验 实际对象 是 否 实验 基本模型 （质点系 ） 普遍定理 力学模型 数学模型 理论解答 误差检验 结果 实际对象 抽象 简化 是 否 实验 模拟 基本定律 公理化 修改力学模型 解析 计算

静力学：从5条公理出发. ②公理化: 动力学： 从牛顿三大定律出发. 分析力学：从两个基本原理出发. ③数学方法: 矢量分析、代数方程、微分方程。 ④计算机方法: 数值计算、过程仿真。 ⑤实验方法: 机械测试、电测、光测等。 ⑥开拓新方法: 校核 优化设计 逆问题 响应 参数识别 (系统几何物理特性)

绪论 培养能力: 1、经典方法分析能力 抽象与逻辑思维；运动、变形与受力分析；计算模型与方法的选择。 2、创新能力 创造新思想、新方法、新产品的能力。 创新思维特点: 发散性: 多向性 开放性: 一题多解、多问、多变 探索性: 寻找新问题与新途径。 由被动接收 主动索取 想象性: 想象力比知识更重要。

绪论 3、考研 土木、力学、机械、航天研究生必考课程之一. 科技创新，需要高级力学人才。

第一章 牛顿动力学方程 内容: · 经典力学立论的理论基础 · 牛顿力学的基本定律和定理 · 牛顿动力学方程及其应用 · 解题指导 内容: · 经典力学立论的理论基础 · 牛顿力学的基本定律和定理 · 牛顿动力学方程及其应用 · 解题指导 重点: 牛顿动力学方程及其应用 难点: 角动量概念和角动量定理 牛顿在伽利略、开普勒工作的基础上建立了完整的经典力学理论，这是现代意义下的物理学的开端。经典力学理论的基础是质点运动三条定律，其核心是牛顿动力学方程。

1、1 经典力学立论的理论基础 包括：三个观点（物质观、时空观、运动观）和四条推理规则（简单性原理、因果性原理、统一性原理、真理性原理） 1、1 经典力学立论的理论基础 包括：三个观点（物质观、时空观、运动观）和四条推理规则（简单性原理、因果性原理、统一性原理、真理性原理） • 物质观。所有的物质都由原子的微粒组成，原子间存在互相吸引力和排斥力，可以凝聚分离，构成万物及运动。 • 时空观（绝对时空观）。时间是一维的、均匀的、无限的，与空间和物质都无关——牛顿的绝对时间。可用一条长的直线表示时间： 左 右 过去 现在 未来 图1.1

空间是三维的，各向同性的、均匀的、无限的，与时间和物质都无关——牛顿的绝对空间。可用一直角坐标系表示空间。原点为空间任一点，正交的三个坐标轴方向可以任意选取且可向正负方向无限延伸，任一质点在空间的位置均可用坐标系中的三个坐标值表出。绝对时间和绝对空间构成了牛顿力学的绝对时空观。 · 运动观.内容包括 ①力学的最高原理——牛顿三定律和力学相对性原理的确立；②万有引力定律的发现。 · 简单性原理.凡科学上正确的东西都是简单的，因此，力求用简单的方法和形式解决科学问题，表述科学结论。 　· 因果性原理.即决定论。

· 绝对性原理.指物质观、时空观、运动观对整个自然都是普遍适用的，是自然哲学的根本所在。 · 真理性原理.既承认客观真理的存在，同时又承认人们在一定认识阶段的认识只能接近真实，即承认相对真理的存在。真理性原理是绝对真理与相对真理结合的观点。 四条哲学推理规则是自然科学认识论、方法论的准则，是学习、研究自然科学强大的思想武器。 １.２　牛顿第二定律的数学表达 图1.3 m O C 　　设质量为m的物体（质点）沿曲线C运动，所受到的力为,当物体的质量不变时,牛顿第二定律的表示为

（1.4） 方程（1.3）可表示为 力 一般是位矢 速度 和时间t的函数: (1.2) 则式(1.1)可写为 (1.3) 式(1.3)在常用的坐标系中的分量式分别为： P(x,y,z) y x 图1.4 o 　（１）　直角坐标系 （1.4） （1.5） 方程（1.3）可表示为

（2）平面极坐标系 及其单位矢量 和极角θ及其单位 的方向都随时间改变，且 矢量 其结构如图1.5所示.从图中可知： 随着质点P的运动，矢径 （1.7） （1.8） 质点的位矢 和速度 为 （1.9） （1.10）

（1.11） 因此，牛顿第二定律可表示为 （1.12） (3)球坐标系 空间一点P的位置坐标及其单位矢量分别为 r、θ、φ和 加速度为 （1.11） 因此，牛顿第二定律可表示为 （1.12） x y z o θ r N 图1.6 (3)球坐标系 ，由图1.6可知： 空间一点P的位置坐标及其单位矢量分别为 r、θ、φ和 (1.13) (1.1４) (1.1５)

(1.16) (1.1７) (1.1８) 位矢和速度为 （1.19） （1.20） 由定义 求出加速度 的表示式后，可得

可看成是由OXY平面上的平面极坐标R、φ和直角坐标Z组合而成。 单位矢量 （4）柱坐标 　可看成是由OXY平面上的平面极坐标R、φ和直角坐标Z组合而成。 单位矢量 的变化率为 Y z O x R r 图1.7 （1.22） 位矢和速度为 牛顿第二定律为 （1.23） （1.24） （1.25）

都可作出这样的三条正交的直线，以、n、b为坐标轴构成空间自然坐标系。 （5）自然坐标与内禀方程 设质点沿着某一空间曲线MN运动，在轨道MN上的任意点P作密切平面，在密切平面内过P点作切线 和法线n，再作直线b，使三者的方向关 系为 ，即互相⊥，b称为次法线。 和 构成的平面 称为法平面， 与 组成的平面称为直切平面。轨道上每一点 都可作出这样的三条正交的直线，以、n、b为坐标轴构成空间自然坐标系。 用 表示其单位矢量，显然，随着质点的运动， 方向随时间t而变化。

　　质点在任意时刻（P点）的速度和加速度分别为 （1.26） O x y P ds 图1.9 如图1.9所示：

因 ，即 指向轨道的凹向，可见 与法线 同向， 所以加速度为 （1.27） ， 则牛顿第二定律为 （1.28）

1.3 动力学基本定理 1.3.1 动量定理 (1)质点系动量定理 牛顿第二定律 可写为 (1.29) 式中 1.3 动力学基本定理 1.3.1 动量定理 (1)质点系动量定理 牛顿第二定律 可写为 (1.29) 式中 为质点动量，式(1.29)表明：质点动量的变化率等于质点 所受到的力。 　 对于由n个质点组成的质点系 （1.30） 为质点系的动量： 式中 （1.31）

即质点系动量不变——质点系动量守恒定律。 为合外力： （1.32） 方程（1.30）表明：质点系动量的变化率等于体系所受到的合外力——质点系动量 定理，方程中体系中的的内力完全不出现。 （2）质点系动量守恒定理 若质点系所受的合外力为零： ，则 （1.33） 即质点系动量不变——质点系动量守恒定律。 ，质点系动量不守恒，但在某一定方向（例如x方向）的合外力 ，则在该方向动量守恒： 例如外力仅为重力时，质点系水平方向动量守恒。 您能举出系统总动量不守恒而在水平方向动量守恒的实例吗？

（1.35） （3）质心运动定理 质点系的动量 式中 为质点系质心的位矢， 为质点系总质量，则 （1.36） （1.34） 质点系的动量定理可改写成： （1.36）

是质心的速度。上式描述了质心的运动（平移）规律，称为质心运动定理，它表明：质心的运动如同一个质量等于质点系的质量，所受的力等于作用在整个质点系上的合力的质点的运动一样。 式中 　　质心运动定理只描述质点系质心的平移，不涉及质点系相对于质心的 空间取向，而且质心运动状态的变化取决于质点系所受的外力，而与内力 无关，内力可以改变质点系内质点的运动状态，不能改变质心的运动状 态。质点系可以是离散的质点组或可变形的柔体（如京剧演员、跳水运动 员）或不发生形变的刚体，也可以是运动过程将发生爆炸的炮弹，在这些 体系中质心运动定理都成立。如跳水运动员在空中卷缩、抱膝、翻滚、伸 展多姿多态，而其质心的运动遵循抛体运动规律，轨迹为抛物线。

P r O 图1.11 1.3.2 角动量定理 （1）角动量 质点的位矢 和它的动量 的矢量积 （1.37）

（1.38） （1.39） 称为质点对坐标原点O的角动量（或动量矩），是描述物体运动特性的重要物理量之一。 质点系的角动量定义为 （2）质点系对惯性系中固定的角动量定理 式（1.38）两边对t求导： 上式中内力矩和 于是 （1.39）

上式表示：质点角动量的变化率等于作用在质点在质点系上所有外力矩的和，与 体系内部的相互作用无关——质点系对惯性系中固定点的角动量定理。 （2）角动量守恒定律 如果质点系所受到的外力矩为零，则体系角动量守恒 （1.40） 若在某一固定方向的外力矩为零，则角动量在该方向的分量守恒。 宇宙中存在着各种层次的天体系统，它们都具有旋转的盘状结构。例如银河系，最初是一团极大的弥漫气体云，具有一定的初角动量。 在自身引力作用下收缩，聚集而成现在的形态。由于角动量守恒，银河系演变成了朝一个方向旋转的盘状结构（图1.12）

质心系——随质点系质心平动的参考系（当质心加速度 (3)质心系中的角动量定理 质心系——随质点系质心平动的参考系（当质心加速度 时，质心系不是惯性系而为非惯性系）。 表示质心系中相应的量，则 如图1.13所示，o - xyz为固定坐标系（惯性系）， 为原点取在质心C 上随质点系相对于o–xyz平动的质心系, zˊ X Y Z xˊ yˊ O c 图1.13 即 （1.41）

上式表示：质点系动能的增加等于外力和内力所做的元功之和——质点系动 能定理。 上式表明：质点系对质心的角动量变化率等于作用在质点系上的外力对质心的力矩 的和。——对质心的角动量定理，与惯性系中的角动量形式相同。 1.3.3 能量定理 （1）质点系动能定理 质点系的动能 （1.42） 对上式两边微分得 即 （1.43） 上式表示：质点系动能的增加等于外力和内力所做的元功之和——质点系动 能定理。

（2）寇尼希（König）定理 如图1.10所示，质点系动能

因质心系的原点在质心C上，故式中 ，所以 （1.44） （1.45） （3）质心系的动能定理 质点系动能的微分为 式中 为质点系相对于质心的动能。（1.44）式表示：质点系的总动能等于质点系全部质 量集中在质心并以质心速度运动的动能，加在各质点相对于质心系的动能——寇尼 希定理。 （3）质心系的动能定理 质点系动能的微分为

根据寇尼希定理: 因此得 (1.46) 上式为质心系中的动能定理,与惯性系中的动能定理的形式一样. (4) 机械能守恒定律 如果力 是坐标的单值、有限、可微的函数，且 （1.47）

所做的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关。满足（1.47）式 则存在某一单值标量函数V（x，y，z），且 （1.48） 则力所做的功为 （1.49） 可见力 所做的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关。满足（1.47）式 或（1.48）式的力称为保守力。 由质点的动能定理：

式中单值标量函数V称为物体的势能，T+V为物体的机械能，上式表明： 如果作用在质点上的力 不做功或 对上式积分得 T+V=E=常数 （1.50） 式中单值标量函数V称为物体的势能，T+V为物体的机械能，上式表明： 如果作用在质点上的力 不做功或 ——机械能守恒定律。 为保守力，则质点的机械能守恒 1.4 牛顿力学理论的应用例题 [例1] 长距离自由落体。 　　　试求彗星在万有引力作用下从距太阳a处到b处所用的时间，其中a﹥b » R， R为太阳半径 解：取图示的直角坐标，其运动微分方程为

O Z m f 太阳中心 图1.14 令 积分 代入上式： 得

F=T-2Ncosθ-mˊg (1) （2） （3） （4） [例2] 两个小环套在一悬挂着的大环上沿大环滑动 [例2] 两个小环套在一悬挂着的大环上沿大环滑动 解：大环和小环各受哪些力作用？ 如图1.15，大环在竖直方向所受的合力为 F=T-2Ncosθ-mˊg (1) 小环沿大环运动的微分方程为 （2） （3） 由（3）式，有 积分上式得 （4）

（5） （6） 上式成立的条件为 ，因此： 大环可上升的条件为 （4）式代入（2）式可得 （5）式代入（1）式： 当合力F≥0时大环上升，这时T=0，于是（6）式化为 上式成立的条件为 ，因此： 大环可上升的条件为

② 大环开始上升时小环所处的位置为 [例3]质点沿摆线 运动 解:半径为R的圆周沿x轴纯滚动时,圆周上一点P(x,y)的轨迹即为摆线.本题给 出摆线方程,求质点运动的加速度的大小. 摆线方程通常表成直角坐标形式.如图1.16所示: O R C Y D E P M 图1.16 X

(2) 设x轴正向与轨道切线正向之间的夹角为 ,由图1.16知: 则(2)式为 (1) 上式为M点的运动学方程(直角坐标形式),称为摆线(式旋轮线)参数方程. 积分得 (2) 设x轴正向与轨道切线正向之间的夹角为 ,由图1.16知: 则(2)式为

(3)式为以弧长为变量的摆线方程(轨迹方程) 将弧坐标原点移至4R处,上式为 (3) (3)式为以弧长为变量的摆线方程(轨迹方程) 可见:切向加速度和法向加速度随质点的位置改变变化,但总的加速度的大小是常量 ．

始时排列放在桌面上，右端正好排列到桌缘， [例4] 变质量方块串的运动。 方块串的总长为L，单位质量为ρ，开 始时排列放在桌面上，右端正好排列到桌缘， 小方块与桌面的动摩擦因数为μ，用恒力F沿水平方向从左端推动该列小方块。求当左端刚好达到桌缘时，这列小方块的速度。 x y F O 图1.17 　　解：以桌面上（水平方向）和竖直方向两部分方块串为研究对象，它们的质量在运动过程中不断变化，是变质量运动问题，其运动方程分别为 （1） （2） 在转角处，方块串微元 的运动方程为

（3） 当 时 代入（1）、（2）式，并相减，得 因 ，代入上式，可得

求电荷量为q，质量为m的带电粒子在电场强度为 ，磁感应强度为 积分上式并利用初始条件t=0时， ，得 　 [例5]带电粒子在电磁场中的运动 求电荷量为q，质量为m的带电粒子在电场强度为 ，磁感应强度为 的电磁场中的运动规律。 解：（1）带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 粒子受什么力作用？ ① 运动方程 （1） 设 沿Z轴正向： ,则 （2）

② 速度 用 标乘（2）式： （3） 即沿Z轴方向（ 方向）的速度分量不变（为何不变？） ③ 动能 将 点乘（1）式： 或 （4） ② 速度 用 标乘（2）式： （3） 即沿Z轴方向（ 方向）的速度分量不变（为何不变？） ③ 动能 将 点乘（1）式： 或 （4） 即粒子的动能守恒（何故？） 方程（2）的分量式为

称为粒子的回旋频率，是等粒子体物理学中一个重要的特征量。 （5） 式中 （6） 称为粒子的回旋频率，是等粒子体物理学中一个重要的特征量。 ④ 　运动轨迹 将（5）式中的第一、二两式再对t求导，得 （7） 积分可得 （８）

）为圆心（称为引导中心）的圆，圆的半径（称为回旋半径）为 将（5）式中的第三式 对t积分二次得 （９） （8）和（9）式即为粒子的轨迹方程，（8）式表示：带电粒子⊥磁感应线做横向圆圈运动；（9）式表示：带电粒子沿磁场方向作匀速直线运动。 对于运动平面（ ）上的观察者：粒子的运动轨迹是以（ ）为圆心（称为引导中心）的圆，圆的半径（称为回旋半径）为 （10） 回旋方向与q的正负有关（见图1.18）

⊕ y x z O B (a) (b) _ 图1.18 图1.19

对于静止观察者：带电粒子绕磁感应线作螺旋运动，其轨迹形成一个螺旋管（见图1.19） 　　对于静止观察者：带电粒子绕磁感应线作螺旋运动，其轨迹形成一个螺旋管（见图1.19） O x z 图1.20 （2）带电粒子在均匀恒定电磁场中的运动 设磁场和电场的方向为 牛顿力学方程的分量为 （11） 积分（11）中的第三式，很容易求得沿磁场方向的速度 （12） 上式表明带电粒子沿磁场方向作匀加速度运动。

是由粒子初始条件确定的常数。（13）式表明：粒子除 了围绕其引导中心作圆周运动外，其引导中心还沿着x轴方向漂移，漂移速度为 式中 与 　 为简化讨论，设E// =0， 。将（11）式中的第一、二两式 对t再求导一次，然后连续积分两次，可得 （13） 　　　　　　　　是由粒子初始条件确定的常数。（13）式表明：粒子除 了围绕其引导中心作圆周运动外，其引导中心还沿着x轴方向漂移，漂移速度为 式中 与 （14） 在受控核聚变中，需要采用磁场来约束带电粒子（等离子体），使之在 度高温下聚集不散，磁场约束装置设计的一个重要任务就是克服带电粒 子因漂移运动而引起的损失。

基本解法：运用高等数学的微分法，将运动学方程 对时间t 　 地球是一个磁体，周围有地磁场存在。地球的大气层中有由大量的带电粒子（电子、正离子、负离子）构成的电离层，电离层中的带电粒子的正负总电荷相等，但不是中性的而是呈电性的称为等离子体。太阳也是由等离子体组成的，不断从太阳吹向地球的所谓“太阳风”，实际上就是带电粒子流，这些带电粒子受到地磁场的作用时，形成丰富的物理现象。因此，本例讨论的带电粒子在电磁场中的运动是一个很有实际意义的力学问题。 1.5 解题指导 (1)习题类型及基本解法 牛顿动力学问题大体上分为两类: Ⅰ.已知质点的运动学方程 ,求质点的运动速度 、加速度 、和所受的力 ：这是正问题。 所受的力　　． 和加速度 基本解法：运用高等数学的微分法，将运动学方程 对时间t ，再由第二定律 求导数，即可求得速度 可求出质点

和运动的初始条件（状态），求质点的运动学方程 Ⅱ.已知质点所受的力 、速度 、加速度 和轨迹。这是逆问题。 基本解法：根据牛顿第二定律建立方程，应用高等数学的积分法或解微分方程方法，求出方程的解析解可得速度 、运动学方程 ，消去 中的参数t可得轨迹方程。 （2）解题的思路和步骤 ① 确定研究对象，并隔离出来； ② 选取适当的坐标系； ③ 对研究对象进行受力分析和运动分析； ④ 根据已知条件和所求的量，确定解题方法，建立方程； ⑤ 解方程，求出要求的量； ⑥ 必要时对结果进行讨论。

质量为m的质点无初速度地自离地面为h处竖直 （3）范例 [例1] 质点在粘性介质中的运动。 O h mg m 图1.20 质量为m的质点无初速度地自离地面为h处竖直 下落，空气阻力大小与速度一次方成正比，即R=mkv， k为可用实验方法测定的常数。试研究其运动。 解：质点运动中受的力有：重力mg↓、 空气阻力R=mkv↑，取图1.20所示的直角坐标， 质点的运动微分方程为 （1） 请思考：方程中重力mg和阻力 为何都是“-”的？ 所以 因 初始条件为：t=0时， ，积分上式，得

[例2] 在上例中，如果阻力与速度的平方成正比： （3） （2） 　 讨论：当t→∞时，质点的速度 这时质点作匀速直线运动（为什么？） [例2] 在上例中，如果阻力与速度的平方成正比： ，试研究 质点的运动。 解：在图1.20的坐标系中，质点的运动微分方程为 （1） （想一想：上式中阻力 为何是“+”？） （2）

式中：c—与运动物体的形状以及物理性质有关的系数； 积分（2）式得 →1，故极限速度为 讨论：当t→∞时， 小结 求解物体在介质阻力作用下的运动问题需注意以下几点： 1.介质对物体的阻力规律是很复杂的，因为阻力的大小与运动物体的形状、大小和介质的物理性质（温度、粘性系数、密度等）以及物体运动的速度有关，通常用下式表示： 式中：c—与运动物体的形状以及物理性质有关的系数； ρ—介质密度； S—物体投影在⊥于速度的平面上的面积； φ（v）—物体运动的相对速度v的函数，在不同的速度范围内， φ（v）的形式不同。

（k>0，k是一个由实验测定的阻力系数）；在 ”，原因是阻力R在方程中的正负号不是简单地由R与v 2.质点在空气阻力作用下运动时，在速度不大的情况下，阻力的大小与 接近弹速范围内，阻力大小与速度的二次方成正比： 接近声速时，一般R与v的关系不能用简单的函数关系表示。 速度的一次方成正比： （k>0，k是一个由实验测定的阻力系数）；在 ；当运动速度增至 3.求解质点在阻力作用下的运动问题.首先要正确建立运动微分方程， 其关键是正确确定阻力在方程中的符号。阻力R的方向恒与速度v反向，但 R在运动微分方程中不一定为“-”，例如在前面的[例1]中阻力为“-mkv”，而 在[例2]中则为“+ 的反向决定，还与坐标的取向及 的符号有关。 ”，原因是阻力R在方程中的正负号不是简单地由R与v

R=-mkv，而在[例2]中，由于v²为“+”，故阻力R在方程中为“+”：R=+ 　　① 先选定坐标的正方向； ② 然后根据质点运动的运动方向，定出速度v在取定的坐标系中的正负； ③ 再根据R恒与v反向判定R在选定的坐标系中的正负； ④ 最后有 的符号确定R在方程中的正负。 例如：在[例1]中，x轴向上为“+”，质点向下运动，v为“-”，根据R恒 为“-”，故阻力R在方程中为“-”： 与v反向知R向上，应为“+”，但由于 R=-mkv，而在[例2]中，由于v²为“+”，故阻力R在方程中为“+”：R=+ 。 [例3] 质点的约束运动 一质量为m的小环，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程为 .试求小环自 处自由滑至抛物线顶点的速度及小环在此时所受的约束 反力。

① ② 根据初始条件为：t=0时， ，积分①式，得 ③ 解：本题是质点的约束运动问题，属动力学的逆问题。已知质点运动轨 　　解：本题是质点的约束运动问题，属动力学的逆问题。已知质点运动轨 迹，故采用自然坐标法较简便。 质点受哪些力作用？ X Y O θ mg n N 图１.２１ 如图1.21，质点运动微分方程为 ① ② 思考：①式右边为何为“-”？ 根据初始条件为：t=0时， ，积分①式，得 ③

由(2)式： ④ 因 ⑤ 将③、⑤式代入④式，得 在顶点O处：x=0，θ=0，所以 N=mg+mg=2mg 再分析两个约束问题的例题。

解：题目要求质点摆动的周期，因此必须求出质点振动的微分方程. 采用自然坐标法.如图1.22所示，以O为弧坐标原点，设 =0时，s=0，质点 　　[例4] 质点在重力作用下沿竖直平面内光滑的旋轮线运动.旋轮线的参数方程为 求质点在 =0附近摆动的周期。 　　解：题目要求质点摆动的周期，因此必须求出质点振动的微分方程. 采用自然坐标法.如图1.22所示，以O为弧坐标原点，设 =0时，s=0，质点 运动微分方程为 ① ②

由于不需要求约束反力，故只考虑①式.因s，t， 均为变量，不能直接积分， O B Y X C N R mg n 图1.22 由于不需要求约束反力，故只考虑①式.因s，t， 均为变量，不能直接积分， 。由参数方程，有 为此，设法消去 设t=0时， ，积分上式，得

③ 将③式代入①式 ④ ③式为质点振动微分方程，式中 为圆频率，则周期

所受的约束力。 弧坐标s=0.质点运动微分方程为 　　[例5] 质量为m的小珠串在一光滑的铁丝上，铁丝在竖直平面内且其 形状为抛物线： .初始时小珠的高度y=h，初速为零. 求小珠下滑时 所受的约束力。 解：采用自然坐标法.设t=0时， 弧坐标s=0.质点运动微分方程为 ① ② 积分①式，得 因

因 代入②式，得 小结 应用自然坐标系的内禀方程求解约束运动问题时应注意以下几点:

任一矢量，则A的切向分量和法向分量分别为 　　1.解约束问题的基本方法是:将约束去掉代之以相应的约束反力,从而把质点当自由质点处理。 　　2.约束力的大小、方向和作用点随约束物的性质、质点的运动状态和质点所受的其他力而变。在理想约束下，约束力方向沿曲线或曲面的法线，因此，采用自然坐标系中的内禀方程较为简便。因为约束力只在微分方程的法向分量中出现，这样约束质点的运动规律和约束力可以分别在微分方程切向分量和法向分量中进行计算。这是用内禀方程解约束问题的优点。 3.矢量在自然坐标系中切向和法向分量 的一般形式。 内禀方程中的切向分力和法向分力可正可负。 　　设O1PM为OXY平面上任意曲线（质点 运动轨迹），如图1.23所示，A为该平面上 任一矢量，则A的切向分量和法向分量分别为 （1） 其中θ为x轴正向与切线　正向之间的夹角，ψ为x轴正向与 正向之间的夹角。

的符号不同，这是造成一些理论力学教材和参考 4.应用内禀方程求解约束问题的关键是正确确定方程中切向分力和法向分力的正、负号。由（1）式知切向和法向分量的正负决定于 和 的符号，而θ的数值与切线（ ）的正向的选取有关。由于 正向的选取有一定任意性，而在切线上 θ的数值不同，因而 与 书中内禀方程各项符号各不相同的原因。由于这些书中未说明，使初学者难以掌握。因此，需要有一个简便统一的符号规则。 的正向选取不同的方向， 的符号不同，这是造成一些理论力学教材和参考 5.自然坐标系内禀方程符号规则。 ）与（+n）方向一致，则质点的内禀方程为 设质点P被约束沿平面曲线轨道O1M运动，质点所受的主动力为 ，约 束反力为 （如图1.23所示）。选取以指向O1M曲率中心方向为法向（n）正 向。根据右旋笛卡儿坐标方向关系，定出切向（ ）正向，即令 逆时针旋 转 后（+ （2）

克服了一些理论力学书中出现的不能全书统一的矛盾。 如果主动力为重力F= mg，则 ，上式为 （3） 此式为质点在重力和约束反力作用下内禀方程的一般式。按以上符号规则 选定切线和法线正向并确定内禀方程中各项的符号，其优点是： 1）在任何情况下，均有 其符号。这样既简便又避免出错。 ，则在计算中不必考虑 2）对于平面光滑曲线轨道，切线方向和切线角θ均连续变化。这就 克服了一些理论力学书中出现的不能全书统一的矛盾。

[例6] 有一小球质量为m，沿无摩擦的水平的对数螺旋线 的轨道滑动，当角 时其初速度为 ，求轨道对球的水平约束力N 的大小。 解：（1）用动量定理解 采用自然坐标法。规定起始点A 为弧坐标s原点，沿极角 增加方向 为s正向。根据动量定理有 约束方程为 （3） 积分（1）式（初始条件t=0时， ），得

由（3）式，得 代入（2）式，得 （2）用动能定理和动量矩定理解 根据动能定理，有

由动量矩定理有 （4） 在对（4）进行求导之前先考察一下 与t的关系。 为常数，所以（4）式为

试求摆锤通过最低点时的速度及杆的张力（图1.26）。 [例7] 将一质量为m的重锤用一长为 的轻杆悬住，并固定其上端，这 时锤将被约束在一铅直平面内的圆周上运动， 若不计空气阻力作用，则称为单摆.如单摆从 幅角 （ 不一定很小）的地方自由下落， 试求摆锤通过最低点时的速度及杆的张力（图1.26）。 解:（1）用动量定理解 采用自然坐标法.以最低点B为弧坐标s原点，向右为s正方向，沿s 正方向。根据动量定理，有 增加方向为

由（1）式 初始条件为：t=0时， ，积分上式，得 (3) 将（3）式代入（2），并注意到 ，可得 （2）用动量矩定理和动量定理理解 在切向应用对O点的动量矩定理和在法向应用动量定理，得

将第一式积分可得 由第二式可求得 （3）用动能定理和动量定理解 因

因重力mg是保守力，张力T与v垂直不作功，故机械能守恒，即 根据动能定理： ，有 积分可得 再在法向应用动量定理可求出T. （4）用机械能守恒定律及动量定理解 因重力mg是保守力，张力T与v垂直不作功，故机械能守恒，即 再在法向应用动量定理可求出T。

选取固定圆锥为参考系，并建立如图1.27所示的柱坐标。根据动量矩 [例8] 在重力场中有一顶角为 的正圆锥，在其光滑内表面的高度为 z0处有一质量为m的小球以速度 平方向开始运动。试求该球的运动范围。 在水 解：由题意可知小球在圆锥内表面 的运动是在一定范围内旋转上升或下降的。 小球上升至最高点和下降至最低点之间的 高度范围即是题目要求的运动范围。注意 到小球达到最高点和最低点处时均 有 ，因此，找出 的一般表达式，最后解出对应 的z值即可。 选取固定圆锥为参考系，并建立如图1.27所示的柱坐标。根据动量矩 守恒和机械能守恒，有 （1） （2）

(3) (4) 将（3），（4）式代入（1）式，得 （5） （6） 将（3），（5），（6）式代入（2）式，得 （思考：小球受哪些力作用？为何动量矩和机械能守恒？） 约束方程 (3) (4) 将（3），（4）式代入（1）式，得 （5） （6） 将（3），（5），（6）式代入（2）式，得

当 时，小球在z方向折回。将 代入上式，得 即

讨论：小球的运动范围在 与 之间， 的大小取决于 。 1）当 时， ，小球在高为 处作圆周运动. 2）当 时， ，小球在 之间运动. 3）当 时， ，小球在 之间运动. 小结 综合应用动力学基本定理及其守恒定律求解质点动力学问题应注意 以下几点： 1.三个基本定理及守恒定律定律只适用于惯性系，有关的物理量如 动量、动量矩、动能等仅对惯性系而言。 2.对质点来说，三个定理共有七个标量方程，但独立的方程只有三个。

单独用动量定理，可以列出三个独立方程，而单是动量矩定理只能给出两个彼此独立方程，动能定理只有一个独立方程。通常根据题意可以选用动量定理，也可用动量定理或动量矩定理中的两个方程再加上一个动能定理方程。 3.一般在讨论质点速度与时间的关系时，应用动量定理；当质点围绕某点或绕某轴线作曲线运动时，应用动量矩定理；当讨论质点速度与坐标的关系时，则应用动能定理。 对于比较复杂的问题，如待求量既有力又有运动学量，或有多个运动学量，往往用一个定理不能求解，需要联合应用二至三个定理求解，有时还需要运动学的补充方程才能求解，对于用任何一个定理都可以求解的问题应选择一种较简便的方法求解，这些需要经过分析比较才能确定。 4.要掌握三个守恒定律的条件并善于从外力特征去判别质点运动是否遵从守恒定定律，因为守恒定律就是方程的第一次积分，它使方程降了一阶；另外运用守恒定律时不必追究运动过程中受力情况的细节，而可以直接写出初始状态与某状态的关系，这对解题十分有利。