2-20 通过方框图变换，求如图题2-20所示 系统的传递函数。 退出

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自动控制原理 第三章 线性系统的时域分析 1 基本概念 2 稳定性分析 3 稳态误差的计算 4 消除反馈系统稳态误差的措施 5 动态性能计算 退出

前已指出，分析控制系统的第一步是建立系统的数学模型，然后即可采用各种方法对系统进行分析或设计。 线性系统的时域分析概述 前已指出，分析控制系统的第一步是建立系统的数学模型，然后即可采用各种方法对系统进行分析或设计。 由于多数控制系统是以时间作为独立变量，所以人们往往关心状态及输出对时间的响应。对系统外施一给定输入信号，通过研究系统的时间响应来评价系统的性能，这就是控制系统的时域分析。 退出

为了便于对系统进行分析，设计和比较，根据系统常遇到的输入信号形式。在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数，称为典型输入信号。 基本概念 1.典型输入信号 为了便于对系统进行分析，设计和比较，根据系统常遇到的输入信号形式。在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数，称为典型输入信号。 控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃、单位斜坡（速度）函数、单位加速度（抛物线）函数、单位脉冲函数和正弦函数。 退出

指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程或过渡过程。 2.瞬态响应 指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程或过渡过程。 瞬态响应可以提供关于系统稳定性、响应速度及阻尼情况等信息。 退出

指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态响应又称稳态过程。 3.稳态响应 指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态响应又称稳态过程。 稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。 4.稳定性 若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定；反之，不稳定。 退出

控制系统能在实际中应用，其首要条件是保证系统具有稳定性。不稳定的控制系统，当受到外界或其内部一些因素的扰动，如负载或电源的波动，系统的变化等，就会使系统的输出量越来越偏离其平衡状态，即使在扰动因素消失后，也不可能再恢复到原平衡状态。控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，与外加信号无关。 退出

5.误差和稳态误差 控制系统在输入信号的作用下，其输出量中包含瞬态分量和稳态分量两个分量。对于稳定的系统，瞬态分量随时间的推移而逐渐消失，稳态分量则从输入信号加入的瞬时起就始终存在，其表现方式就是稳态响应。稳态响应反映了控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和精度。这种能力或精度称为系统的稳态性能。一个系统的稳态性能是以系统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价的。 退出

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又有另一种定义，对于图（b）单位负反馈时，则系统的控制量与实际输出量之差，定义为误差，即若H(s)=1时， （1）误差 对于图（a），系统期望的被控制量 cr(t) 与实际的被控制量 c(t) 之差，称为系统的误差，记作e(t)，即e(t)＝cr(t)－c(t)…（1） 又有另一种定义，对于图（b）单位负反馈时，则系统的控制量与实际输出量之差，定义为误差，即若H(s)=1时， e(t)＝r(t)－c(t) …………………………（2） 显然，有 ………… （3） 退出

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（2）稳态误差 当时间t趋于无穷大时，如果e (t)的极限存在，即 sE(s) 在 s 右半平面解析，则误差 e(t) 的稳态分量 ess(t) 定义为稳态误差，即 …………（4） （4）求稳态误差的一个基本公式。 退出

6.动态性能指标 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，瞬态过程随时间t变化的指标，称为动态性能指标。为了方便比较，一般假设系统初始条件为零，来定义系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统性能的指标。 （1）上升时间tr 单位阶跃响应 c(t) 第一次达到稳态值c(∞)＝1所需的时间，定义为上升时间，记为tr。对于过阻尼过程来说，一般把从稳态值的10%上升到90%所需的时间定义为上升时间。其计算公式为 其中 （2）峰值时间tp 单位阶跃响应c(t)达到第一个稳态峰值所需的时间定义为峰值时间，记为tp，其计算公式为 退出

退出 (3) 最大超调量一般用下式定义控制系统的最大超调量，即 按定义，考虑到c(∞)＝1，得 （4）过渡过程时间ts 过渡过程时间ts，又称为调节时间ts。其定义为：单位阶跃响应C（t）进行到使下式成立所需的时间，定义为过渡过程时间，即 另一种定义方式为：包络线衰减到Δ区内所需要的时间，定义为过渡过程时间。式中Δ为指定的数量，一般取0.02或0.05，其计算公式为 其中 为包络线 的时间常数。 退出

1 +△ 1 -△ 退出

在0≤t ≤ 时间内，单位阶跃响应 c(t) 穿越其稳态值次数的一半，定义为振荡次数，记为N，其计算公式为 (14) 当△=0.05，0＜ ＜0.9 时，有 当△=0.02，0＜ ＜0.9 时，有 各性能指标的几何表示如图所示。 退出

接下来我们结合MATLAB中的SIMULINK仿 真工具对课本上提到的一阶、二阶、分别进 行仿真分析。高阶系统我们这里不作要求。 1、一阶系统单位阶跃响应仿真 仿真的数学模型取为 T为时间常数。 接下来我们看一下它的单位阶跃响应输出。 退出

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由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所以 其性能指标主要是调整时间，它表征系统过 渡过程进行的快慢。 一般将过渡过程时间记为T ，理论上一阶系 统过渡过程要完成全部变化量，需要无限长 时间。工程上有两种表示法，一种以输出与 输入信号误差小于5%看作过渡过程结束；一 种以输出与输入信号误差小于2%看作过渡过 程结束。 退出

2、二阶系统单位阶跃响应仿真 仿真的数学模型取为 接下来我们看一下在不同的阻力比的情况下 它的单位阶跃响应输出。 退出

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称为系统特征多项式。令D（s）=0，则得到系统特征方程。判别线性定常系统稳定性的基本方法，有如下几种 稳定性分析 1.判别线性系统稳定性的基本方法 设线性定常系统的闭环传递函数为 其中， 称为系统特征多项式。令D（s）=0，则得到系统特征方程。判别线性定常系统稳定性的基本方法，有如下几种 退出

系统稳定的充分必要条件是系统特征方程的所有特征根或闭环传递函数的所有极点均位于s平面的左半部。 1 特征方程法 系统稳定的充分必要条件是系统特征方程的所有特征根或闭环传递函数的所有极点均位于s平面的左半部。 2 代数判据法 根据特征方程的系数来判别特征方程根的实部符号，从而判定系统的稳定性。常用的代数判据有劳斯判据和胡尔维茨判据两种。由于时间有限，仅讲劳斯判据。 退出

（1）劳斯判据1为：系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数均大于零。 这句话包括两个方面： ①不缺项。 2.劳斯判据 （1）劳斯判据1为：系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数均大于零。 这句话包括两个方面： ①不缺项。 ②系数同号。它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。 （2）劳斯判据2为：线性系统稳定的充要条件是劳斯阵列表中第一列所有项系数均大于零，系数变量次数为极点在s右半平面的个数。 退出

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例3-4 设线性系统的特征方程为， 试应用劳斯稳定判据分析该系统的稳定性。 （3）劳斯判据判稳的两种特殊情况 ①在劳斯阵列表中，如果某一行中的第一列 项等于零，而其余各项不为零或不全为零。 那么可以用一个很小的函数来代替为零的第 一项，并且据此可以计算出劳斯阵列表中的 其余各项，然后看阵列中的第一列系数，全 大于零系统稳定；否则，不稳定。 例3-4 设线性系统的特征方程为， 试应用劳斯稳定判据分析该系统的稳定性。 退出

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在这种情况下，利用全为零行的上一行的系数，可组成一个辅助方程，并用这个辅助方程导数的系数取代各项，最后用劳斯判据加以判断。 ②在劳斯阵列表中，如果某一导出行中的所 有系数都等于零，则表明在s平面内存在一些 大小相等，但位置径向相反的根，即存在两 个大小相等符号相反的根。 在这种情况下，利用全为零行的上一行的系数，可组成一个辅助方程，并用这个辅助方程导数的系数取代各项，最后用劳斯判据加以判断。 请参考习题例3-5 退出

不用解方程，用劳斯阵列表可判断线性系统 的稳定性，这是劳斯判据的优点。但是，它 不能给出系统的品质指标，这是劳斯判据的 不足。 退出

在第五章给予介绍。由于频率特性曲线可以由实验法获取，因而比较实用。 3 根轨迹法 这是一种图解求根法。在s平面上，从开环极点位置出发，令开环系统某一参数（开环增益或别的参数），从零变化到无穷，根据一套绘制法则，画出闭环系统根的变化轨迹，从而判断现有参数下，闭环系统是否稳定，并可以决定使闭环系统稳定的参数变化范围。 4 频率稳定判据法 在第五章给予介绍。由于频率特性曲线可以由实验法获取，因而比较实用。 退出

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若F(s)=0时，误差信号的拉氏变换与控制信号的拉氏变 换之比，称为误差信号e(t)对于控制信号r(t)的闭环传递 函数，记作 ，即 稳态误差的计算 1.稳态误差的一般计算公式 设系统方框图如图(a)所示。 若F(s)=0时，误差信号的拉氏变换与控制信号的拉氏变 换之比，称为误差信号e(t)对于控制信号r(t)的闭环传递 函数，记作 ，即 若控制信号r(s)=0 时，误差信号的拉氏变换与干扰信号 的拉氏变换之比，称为误差信号e(t) 对于干扰信号f(t) 的 闭环传递函数，记做 ，即 退出

当控制信号r(t)和干扰信号f(t)同时作用于系统时， 稳态误差为： 设控制信号： 干扰信号： 当单独控制信号作用于系统时，则稳态误差为： 当单独干扰信号作用于系统时，则稳态误差为： 退出

当控制信号r(t)和干扰信号f(t)同时作用于系统 时，其稳态误差为： 退出

当sE(s)的极点全部在s 平面左半部时，可应 用终值定理计算在时间t 趋于无穷的稳态 误差 ，即 2、利用终值定理求稳态误差 当sE(s)的极点全部在s 平面左半部时，可应 用终值定理计算在时间t 趋于无穷的稳态 误差 ，即 退出

3、利用误差系数求稳态误差 (1) 误差系数的基本概念 记： 则： ci 和cfi 定义为控制系统的误差系数。 退出

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(2) 求误差系数的三种方法 比较系数法 设系统方框图如图（d）所示，开环传函数 为： 误差传递函数为 退出

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同理，可求得 其中 退出

将误差传递函数的分子和分母分别排成s 的 升幂多项式，然后用分子多项式除以分母多 项式得到一个s 的升幂级数 于是有 长除法 将误差传递函数的分子和分母分别排成s 的 升幂多项式，然后用分子多项式除以分母多 项式得到一个s 的升幂级数 于是有 上式是收敛于s= 0邻域的无穷级数，上式 中的系数C 0，C 1，C 2 …为误差系数。 退出

将系统的开环传递函数写成适于查表的一般形 式，即 查表法 将系统的开环传递函数写成适于查表的一般形 式，即 通过查教材P82表3-2，查得v = 0，1，2对于单位 反馈系统响应控制信号的部分误差系数C0，C1，C2，以后，代入式 即可求得稳态误差。 退出

消除反馈系统稳态误差的措施 1.系统的型别的概念 系统的开环传递函数的一般形式是 式中k为开环增益， ，v为 开环函数中包含积分环节的数目。 退出

稳态误差与输入信号，系统型别的关系见下表： 系统的型别是根据 v 来区分的， v = 0，称为0型系统； v = 1，称为I 型系统； v =2，称为II 型系统；以此类推。 稳态误差与输入信号，系统型别的关系见下表： 1 2 退出

2、减小或消除稳态误差的措施 （1）增大系统的开环增益或扰动点之前系 统前向通道增益，但增加太大可能引起系统 稳定性下降。 （2）在扰动作用点之前的前面通道或反馈 通道中设置串联积分环节，可以消除系统在 特定输入信号和特定扰动作用下的稳态误 差。 （3）采用前馈补偿法可使系统有较高的稳 态精度。 退出

凡是用二阶微分方程描述的系统，称为二阶系 统。其频域数学模型一般为： 动态性能计算 1.二阶系统 凡是用二阶微分方程描述的系统，称为二阶系 统。其频域数学模型一般为： 式中， 为无阻尼自振角频率， 为阻尼比， 若0 < <1，上式称为欠阻尼二阶系统； 若 = 0，称为无阻尼二阶系统； 若 = 1，则称为临界阻尼二阶系统； 若 >1，则称为过阻尼二阶系统， 若-1 < <0，则称为负阻尼二阶系统。 退出

二阶系统的两个单位阶跃响应式子为： 称为系统有无阻尼自振角频率 退出

2、高阶系统 确定高阶系统的时间响应，是一件比较复杂 的工作。工程上常用主导极点的概念对高阶 系统近似分析，或者采用数字机分析法，模 拟机分析法等。 3、改善系统瞬态性能的常用方法： 在系统中引入速度反馈环节： 在系统加入比例微分环节： 退出

在系统中引入速度反馈环节： 在此系统中，加入速度反馈不改变 的 值，但阻尼系数增大，从而减小超调量和调 整时间。 退出

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在系统中引入速度反馈环节： 退出

在系统加入比例微分环节： 在此系统中，一般情况下，引进比例微分后 给系统增加了零点，同时又使阻尼系数增 大，超调量减小，调整时间也可能减小。 退出

例题1 由实验测得二阶系统的单位阶跃响应c(t) 如下图所示，试根据已知的单位阶跃响应 c(t)， 计算系统参数及 的值。 计算系统参数及 的值。 退出

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解：由已知条件得： 解之得： 退出

例题2.试确定下图所示系统的参数k的稳定 域。 - 退出

解：系统的开环传递函数为： 系统的特征方程为： Routh计算表为 系统稳定的充要条件是 Routh计算表中第一列的 符号相同，因此 1 k 退出

器内的水温，1min才能显示出该温度的98%的数 值。若加热容器使水温按 的速度均匀 上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 例题3.温度计的传递函数为 ，用其测量容 器内的水温，1min才能显示出该温度的98%的数 值。若加热容器使水温按 的速度均匀 上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 退出

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解：依题意，误差定义为e(t)=r(t)–c(t), 所以 ……① ……② 式 ① 代入式 ②, 得 ……③ …… ④ 式 ④ 代入式 ③, 得 温度计的稳态误差为 退出

的频率作等幅振荡状态，试确定振荡时参数与a 的值。 例题4 设某系统方框图如下图所示，若系统以 的频率作等幅振荡状态，试确定振荡时参数与a 的值。 分析与提示：由题意知系统处于等幅振荡状态，这说明系统是临界稳定的，即闭环系统必具有共轭根上述情况与在Routh计算表中出现S’行各元素均为零的现象相对应，这是因为只有这样才能 由s2行元素构成的辅助方程式解出一对共轭虚根。令此共轭虚根等于，便可确定参数K和a的值。 退出

解： 该系统的特征方程为： 由 s2 行元素构成的辅助方程式为 2+k 1+k 令 退出

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