第3章 线性系统的时域分析法 内容重点： 典型响应的性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 稳态分析

本章主要内容 本章重点 本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。 通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和求取等内容。

时域分析法：以时间为自变量分析系统在某种典型输入下系统输出的动态和稳态规律，并分析其结构和参数对动态和稳态性能的影响，并指出改善性能的方向。 ３.1 典型响应和性能指标 时域分析法：以时间为自变量分析系统在某种典型输入下系统输出的动态和稳态规律，并分析其结构和参数对动态和稳态性能的影响，并指出改善性能的方向。 一.典型初状态 符合一般物理规律

二．典型外作用 1 阶跃函数 a t>=0 a为常数 0 t<0 at a t t t 图3.1 典型外作用

2. 斜坡函数at 3.单位理想脉冲 ] 4正弦asinωt 5.加速度函数 L[δ(t)]=1

6.余弦函数acosωt

三 典型时间响应 1. 单位阶跃响应 Φ（s）*R(s)=Φ(s)*1/s h(t)=L-1 [Φ(s)*1/s] 2. 单位斜坡响应 1.   单位阶跃响应 Φ（s）*R(s)=Φ(s)*1/s h(t)=L-1 [Φ(s)*1/s] 2.  单位斜坡响应 Ct(s)= Φ（s）*R(s)= Φ(s)*1/s² Ct (t)=L-1 [Φ(s)*1/s2] 3.  单位脉冲响应 K(s)= Φ（s）*R(s) =Φ（s）*1=Φ（s） K(t)=L-1[Φ(s)]与传递函数的信息相同

4.任意输入下系统的响应 任意输入x(t),k(t)为脉冲响应。输入函数分为N段,每段 ，N趋于无穷间隔趋于零。输入信号相当于N个脉冲信号。在 时刻输入信号的强度为 由叠加原理有系统的输出为 X(t) t N等分

与传递函数的定义结论相同

系统的动态和静态过程 动态过程：系统在典型信号下系统输出量从初态到终态的响应过程。过程一般表现为衰减、振荡，收敛。用动态特性描述。 稳态过程：系统在典型信号下，时间趋于无穷时系统输出量的表现方式。用稳态性能描述。一般指稳态误差。 系统在典型信号下的性能指标由动态性能和稳态性能组成。

四．阶跃响应的性能指标 超调量 误差带 tr td 图3.2 单位阶跃响应曲线及性能指标

描述稳定系统在单位阶跃函数作用下动态过程随时间变化的指标称为动态性能指标。 １、峰值时间tp 指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值所需时间。 ２、超调量σ% 指暂态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。 3、延迟时间tr：响应第一次到达终值一半的时间

6、稳态误差еss （稳态性能指标控制精度和抗扰能力的量度） 4、调节时间ts 指当c（t）和c（∞）之间误差达到规定允许值（一般取c（∞）的±５％，有时取±２％）并且以后不再超过此值所需的最小时间。 5、上升时间： 振荡系统响应从0到第一次上升到终值所需时间或响应从终值10%上升到终值90%所需时间 6、稳态误差еss （稳态性能指标控制精度和抗扰能力的量度） 对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统的单位阶跃响应的实际值（即稳态值）与期望值（即输入量１（t））之差，定义为稳态误差，即еss =1-с(∞)

6、延迟时间td响应时间第一次到达终值一半时间。 3-2 一阶系统分析 一、 数学模型 一、       数学模型 图3.3一阶系统典型结构 一阶系统微分方程 Φ（s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1)

二、 单位阶跃响应   响应是初值为零指数规律上升到稳态的曲线

1/T 响应特点（1）可以用T来衡量输出数值，如上图 （2）响应曲线的初始斜率为1/T,随时间变化减小。 图3.4一阶系统单位阶跃响应曲线 响应特点（1）可以用T来衡量输出数值，如上图 （2）响应曲线的初始斜率为1/T,随时间变化减小。 可以用初始斜率确定T，或判别是否为一阶系统

ts=4T(对应2%误差带)可见T反应系统的惯性 ess=1-h(∞)=1-1=0 性能由定义求出 三 性能指标  σ%=0或无意义，tp不存在 ts=3T(对应5%误差带) ts=4T(对应2%误差带)可见T反应系统的惯性 ess=1-h(∞)=1-1=0 性能由定义求出

例3.1 一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调节时间ts.如果要求ts =0.1秒，试问系统的反馈系数应调整为何值？ 解： 1. ts=3T=3*0.1=0.3秒 2.   - T=0.01/ KH ts=3T=0.03/ KH 0.1=0.03/ KH KH=0.3 图3.5 系统结构图

3-3典型二阶系统分析 一、       数学模型   C R K1/S K2/(TS+1)

参数关系如下 阻尼比 自然频率 开环增益

二、 单位阶段响应h(t)的一般式 R(s) C(s) 则单位阶跃响应一般式 图３.７二阶系统动态结构 C1=ωn2/( s1 -s2)s1; C2=ωn2/( s2 -s1)s2

二阶系统的响应特点和特征根的性质 ξ>1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根。 ξ=1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-ωn 0<ξ<1称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的共轭复数。 ξ=0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特征根 ξ<0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。

1、      过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 5%误差带 ξ>=0.7 响应特点非振荡 图3.8过阻尼二阶系统h(t)曲线

2、 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应 s1,2= -ωn 1

3、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应 输出为 响应由两部分稳态为1，瞬态为阻尼正弦震荡频率为 称为阻尼振荡频率。收敛速度由指数函数的幂决定 为衰减系数。 wn为自然频率

欠阻尼二阶系统的动态性能分析 在图中称为阻尼角 无零点欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算公式 （1）延迟时间 的计算

在绘制出 ntd 和  之间的关系曲线，利用曲线拟合方法，当阻尼比在欠阻尼时 结论：极点远离虚轴延迟时间变快 或 （2）上升时间 的计算 多点值为1，由物理意义取最小值

（3）峰值时间 的计算 （4）超调量 的计算

根据超调量的定义，并考虑到 系统的超调量由系统的阻尼比唯一决定 （5）调节时间 的计算 为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实际响应估算调节时间。

在 ，误差带 时，可用以下近似估算公式： 也可以用以下公式估算：

利用包络线计算过程如图，系统的响应在包络线内，包络线方程为 利用 调节时间的计算过程 利用包络线计算过程如图，系统的响应在包络线内，包络线方程为 利用 包络线与误差带的交点来近似计算，结果较保守。 1 t

二阶系统单位阶跃响应的性能指标归纳如下： 或 实际上，上述各项性能指标之间的存在矛盾，例如上升时间（响应速度）和超调量（阻尼程度或相对稳定性）

性能与参数K的关系 1、K值增大 阻尼减小上升超调 增大 过渡过程平稳性变坏，响应时间变快， 说明调节K使系统的平稳性 和快速性矛盾。 ２、性能与参数T的关系

T值减小阻尼增大超调减小过渡过程平稳性 变好，ts减小响应时间加快。 T值增大阻尼减小超调增大过渡过程平稳性变坏，响应时间变长。 性能与参数 的关系 阻尼比增大超调减小，响应加快。反之系统性能变坏。 性能与自然频率的关系：与超调无关，自然频率增加，响应加快。反之变慢。

4、过阻尼二阶系统的动态过程分析 过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的系统过阻尼响应是不希望的。 但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性： 例如（1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。 （2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时间响应尽可能快。 另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。

过阻尼 动态性能指标：延迟时间、上升时间、调节时间 因为求上述指标，要解一个超越方程，只能用数值方法求解。利用曲线拟合法给出近似公式，或绘制曲线查表使用 （1）延迟时间 计算

（2）上升时间 计算 利用wntr关系曲线查表计算 （3）调节时间 计算 1、工程上绘出T1/T2与ts/T1的关系曲线，然后查表计算。2、T1>4T2时,系统近似一阶系统。极点为-1/T1

3-4二阶系统的单位斜坡响应 一、欠阻尼单位斜坡响应

ess 单位斜坡响应曲线 误差响应曲线

稳态误差，峰值时间，最大偏移量，调节时间表示单位斜坡响应性能。阻尼比减小使系统的tp和误差减小。ts和最大偏移量增大，动态性能变差。

二、临界阻尼单位斜坡响应

三、过阻尼单位斜坡响应 结论：利用斜坡响应可以计算系统的性能，但不如阶跃响应计算性能方便

例：单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示。试确定系统的闭环传函。 C(t) 误差带 解 依图可知 tp=0.4 0.4

由响应图形可知系统与典型二阶系统有一定的区别,k`=0.8 系统结构图如下 由响应图形可知系统与典型二阶系统有一定的区别,k`=0.8 C(t) k`

根据终值定理

四、二阶系统性能的改善 改善二阶系统性能的两种方法：附加开环零点和局 部反馈。其中附加开环零点有两种方案 （方案1）比例-微分控制 1

原系统Td=0,开环增益和新系统一致。对稳态误差没影响 理论分析：比例-微分控制对系统性能的影响 原系统Td=0,开环增益和新系统一致。对稳态误差没影响

称为有零点二阶系统其性能指标需要按照定义重新计算。

我们是否可以利用典型二阶系统的性能公式呢？为了应用典型二阶系统 的性能指标公式。对新系统引入惯性环节，约去零点 我们是否可以利用典型二阶系统的性能公式呢？为了应用典型二阶系统 的性能指标公式。对新系统引入惯性环节，约去零点.同时还能过滤输入噪声。此时系统的结构图如下。 1/（TdS+1） TdS+1 k/(Ts+1)

结论：1、比例-微分控制不改变系统的自然频率。 2、比例微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的 超调量，缩短调节时间；改善了系统的动态性能。

3、开环增益不变，稳态误差没有影响； 4、微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。可以输入端引入滤波环节。 5、适当选择开环增益和微分时间常数，既可减小系统斜坡输入时的稳态误差，又可使系统具有满意的阶跃响应性能。（稳定性，快速性提高）

（方案b）测速反馈控制 开环增益与原系统相比下降。影响稳态误差

结论：（1）测速反馈可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率； （2）测速反馈不增加系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的； （3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。 上述两种方案对比： 1、附加阻尼来源不同：PD阻尼来自误差信号的速度，测速反馈来自输出端响应速度，后者稳态误差较大 2、使用环境不同：方案1对噪声有放大作用，当输入有严重噪声时不宜采用。方案2对输入噪声有滤波作用。应用较广。

3、对开环增益和自然频率的影响：方案1 对开环增益和自然频率没有影响。方案2对自然频率无影响，但降低了开环增益。影响稳态误差。解决办法，增大开环增益。但导致系统的自然频率增大，容易引起共振 4、动态性能影响：方案1相当加入系统实零点，加快上升时间。相同条件下方案1的超调量大于方案2。

引入局部反馈法 如果时间常数可以调节那么系统的性能调节方便了。结构图如下 C R K1/(Ts+1) K2/s a

局部反馈的等效 对比原环节发现从等效的角度新系统的时间 时间常数减小了变为 使系统的动态性能变好了。

结论 （1）可见增大了阻尼比，减小超调，调节时间变快。改善的系统的动态性 能，自然频率不变。 （2）系统的开环增益下降，稳态误差有影响。可以通过调节系统的增益来解决。 （3）实现的关键为局部反馈信号是否能引出 例：已知系统如图 1、K=4,T=0时计算 系统的Ts和Mp K/s(s+1) Ts+1

传函和参数的计算 ，

T不为零时： T=0.457(s) Mp=4.3% ts=2.12(s) 可见引入测速反馈后系统的动态性能得到改善。

3-5高阶系统的动态分析 1.闭环传递函数为： 2.输入为： 3.输入响应为： 4.拉氏反变换 分析闭环极点远近的问题！

一、闭环主导极点决定系统的性能 如果系统中有一个极点或一对复数极点距虚轴最近, 且附近没有闭环零点。 其它闭环极点和零点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上, 则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生. (近似为一阶或二阶系统，可为他们的组合)。其余的可以省略。 这样的极点称为闭环主导极点. 闭环偶极子彼此接近的零极点称为闭环偶极子。可以对消。

闭环主导极点 b大于5a 闭环偶极子 1．左半复平面上离虚轴最近极点是一对共轭复数极点，且它们附近没有 闭环零点 2. 由靠虚轴最近的那对共轭复数极点所对应的运动分量占主导作用，把这对闭环极点称主导极点。

练习： 2. 79.33/6.48 = 12.24 主导极点 S4=-79.33 单位反馈系统的闭环传递函数 1.离虚轴最近的极点 闭环偶极子 周围没有零点 S4=-79.33 2. 79.33/6.48 = 12.24 主导极点

化简结果： 变换前后保证系统的增益不变 性能指标

[例] 闭环控制系统的传递函数为 ，求单位阶跃响应，性能指标 tp=6.5s

3-6线形系统稳定性分析 一、稳定的概念 一个自动控制系统必须是稳定的 自动控制系统稳定的定义（平衡下的稳定） 设系统处于某一起始的平衡状态，在外作用影响下它离 开平衡状态，当外作用消失后，若经过足够长的时间它能回 复到原来的平衡状态，则称这样的系统是稳定的，或称系统 具有稳定性，否则是不稳定的或不具有稳定性。

1、偏差引起的信号的变化不得超过系统的 线形范围，如图示 2、稳定性和系统的本 身结构和参数有关和扰动 无关 3、稳定性反应在扰动 消失后的过渡过程上 大范围稳定 小范围稳定

线性系统运动的稳定性和平衡状态稳定性 的关系。运动的稳定性和平衡状态稳定性严格来讲不一样，但线性系统两者是一致的。 所以稳定对线形系统而言，是在初始扰动下动态过程随时间衰减并趋于零的过程。 反之称为不稳定。

二、线性系统稳定的充分必要条件 n = q + 2r, q实极点个数, r复极点对数. 假设系统的初态为零，作用系统一个理想单位脉冲，（相当于系统的一个扰动）系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换. n = q + 2r, q实极点个数, r复极点对数.

线性系统稳定的充分必要条件 系统稳定充要条件: 闭环特征方程式的根须都位于s 的左半平面.（虚轴左侧） 不稳定系统: 只要有一个正实根或一对实部为正的复数根.如果系统有零实部根，其余为负实部根，c (t) 为常数或正弦振荡项，系统处于临界稳定，属于不稳定。 不稳定系统的结果: 物理系统的输出量只能增加到一定的范围, 此后或者受到机械制动装置的限制, 或者系统遭到破坏, 也可能当输出量超过一定数值后, 系统变成非线性的,由于非线性因素存在, 表现为等幅振荡.

三、 劳斯稳定判据 —— 劳斯表 将各项系数, 排成劳斯表 可求得 n+1行系数

1. 劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion) 特征方程中各项系数为正是线性系统稳定的必要条件。 如果劳斯表中第一列的系数均为正值, 则特征方程式的根都在s的左半平面, 系统是稳定的. 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化, 其变化次数等于该特征方程式的根在s的右半平面上的个数, 系统为不稳定. 劳斯表中用一个正整数乘或除某一行不改变劳斯判据结论。

4 + 3 + 2 + + = 例 设有特征方程 s 2s 3s 4s 5 试用Routh判据判 别 该系统的稳定性 。 符号改变一次

2. 劳斯稳定判据的特殊情况 某行第一个元素为零

2. 劳斯稳定判据的特殊情况 某行第一个元素为零有一对纯虚根存在 改变一次

[例] 判稳 解: 用ε代表0, 此时有一对纯虚根存在,系统是不稳定的. 根为: +j, -j, -1, -2

2. 劳斯稳定判据的特殊情况 某行全为零存在绝对值相同符号相反的特征根 有一个正实部根, 系统不稳定.

C(s) R(s) -

劳斯稳定判据的应用 例: 三阶系统稳定的充要条件是:

利用稳定性分析参数 k和时间常数T的关系。 例系统如图 利用稳定性分析参数 k和时间常数T的关系。 系统的特征方程为 k/[(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)]

分三种情况进行分析 由劳斯判据可得k大于零同时列出劳斯表（略） T1=T2=T3时0<k<8 T1=10T2=10T3时0<k<24.2 T1=10T2=100T3时0<k<122.2 说明系统的稳定性和参数的关系：时间常数错开越大系统的稳定性越好。对系统的动态性能设计越有利。

结构不稳定问题： 依靠调节系统的参数无法保证系统的稳定。 系统的特征方程为 缺项系统不稳定，原因 前向通道积分环节多。 解决方法

等效减少积分环节 采用局部反馈等效后 传函为k/(s+ka), 积分 环节变为惯性环节。 引入PD校正如图 特征方程为 b>T系统稳定 k/s a bs+1

3-7线性系统稳态误差分析 一、稳态误差的定义 （１）从输入端定义E(s) 实际意义 数学意义 （２）从输出端定义 + - R(s) C(s) G(s) H(s)

单位反馈条件下两者定义一致。如不一致可利用E1=E(s)/H(s)进行变换。 两种定义间的联系 对上结构图进行等效变换 C(s) E1(s) 1/H GH R(s) R1(s) R1代表希望值，误差为 E1=R1-C 单位反馈条件下两者定义一致。如不一致可利用E1=E(s)/H(s)进行变换。

误差的计算过程 由稳态分量和动态分量组成，时间趋于无穷时动态分量为零，稳态误差定义为误差的稳态分量。 SE(s) 的极点均位于S左半平面时 由终值定理： 开环传递函数

分类的优点：根据输入信号判别是否存在原理性误差及误差的大小 二、控制系统的型别（输入一定时误差与开环传递函数描述的系统结构有关） 开环传递函数中积分环节的个数 上很少见 分类的优点：根据输入信号判别是否存在原理性误差及误差的大小

误差通式的计算 当S趋于零时G0（S）=1则 影响误差的因素有系统的型别，开环增益，输入信号的大小和形式。

阶跃输入无差的话，选用Ⅰ型或以上系统，系统在阶跃输入下稳态误差称为静差。0型系统称为有差系统 三. 给定输入信号作用下系统的稳态误差 1. 阶跃函数输入 阶跃输入无差的话，选用Ⅰ型或以上系统，系统在阶跃输入下稳态误差称为静差。0型系统称为有差系统

2. 斜坡函数输入 令 静态速度误差系数, 0型系统 I型系统 II型系统 结论：0型系统不能跟踪斜坡输入， I型单位反馈系统稳态输出速度与输入速度相同，存在一个稳态位置误差。 II型及以上系统稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差。

3.加速度函数输入 I型系统 0型系统 II型系统 存在位置误差 Ⅲ型系统 准确跟踪无位置误差

Ⅲ型及以上，误差系数为无穷，上述误差为零 输入信号作用下的稳态误差 系统型别 阶跃输入 斜坡输入 抛物线输入 静态误差系数 0型 I型 II型 Ⅲ型及以上，误差系数为无穷，上述误差为零

[例1] 单位反馈 求 解: I型系统 [例2] + - R(s) C(s) 解:(1) 判稳 特性方程 稳定的充要条件: 即:

系统的开环传函 系统的型别为II型 误差系数分为 利用叠加原理 求稳态误差

例题如图示 求单位斜坡下的稳态误差 由劳斯判据 得0 <k<6系统是稳定的计算误差有意义。 G（S）

其中k=6系统处于临界稳定， 系统的开环传函为 为Ⅰ型系统kv=k。

四、 扰动作用下的稳态误差 扰动不可避免 扰动稳态误差 负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。 它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。 Xi=0,希望输出为c0=0则扰动作用下E(s)=-XNs(s)

举例 求稳态误差 已知： 解：

五、提高稳态精度的方法： 1、增大系统开环增益或扰动作用点前的系统的前向通道增益。 2、系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。（提高系统的型别） 对输入而言系统前向通道串联的积分环节数量与误差传递函数含s=0的极点数目一致，决定了系统响应输入信号的型别。

对于响应扰动作用的系统 扰动作用点前的前向通道积分环节数与主反馈通道积分环节之和决定系统响应扰动作用的型别，与扰动作用点后的前向通道积分环节数无关。 如果积分环节过多，降低系统的稳定性，恶化系统的动态性能。 3、采用串级控制

系统的反馈控制回路中加入前馈控制。（适用扰动可以测量） 对输入误差的补偿： 4、采用复合控制 系统的反馈控制回路中加入前馈控制。（适用扰动可以测量） 对输入误差的补偿： Gc xi G1 G2 x0

开环传函为G1*G2 ,可见和原系统开环传函 一致，特征方程不便，不影响系统稳定性。 此时系统的误差为 对扰动的复合控制

系统如图所示 其中扰动可测 同样系统的特征 方程不变。 系统的误差为 Gc N(s) C(s) R(s) G1 G2

系统斜坡输入稳态误差为零求顺馈环节的系数a. 已知系统如图 系统斜坡输入稳态误差为零求顺馈环节的系数a. as G(s) c r

本 章 总 结 时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。 二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡,但只要阻尼 取值适当(如 = 0.7左右),则系统既有响应的快速性, 又有过渡过程的平稳性, 因而在控制系统中常把二阶系统设计为欠阻尼.

本 章 总 结 如果高阶系统中含有一对闭环主导极点,则该系统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征. 稳定是系统正常工作的首要条件. 线性定常系统的稳定是系统固有特性, 它取决于系统的结构和参数, 与外施信号的形式和大小无关. 不用求根而能直接判断系统稳定性的方法,为劳斯稳定判据. 稳定判据只回答特征方程式的根在s平面上的分布情况, 而不能确定根的具体数值.

本 章 总 结 稳态误差是系统控制精度的度量,也是系统的重要性能指标.系统的稳态误差既与其结构和参数有关,也与控制信号的形式、大小和作用点有关. 系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的. 解决这一矛盾的方法, 除了在系统中设置校正装置外,还可用前馈补偿的方法来提高系统的稳态精度.