第四章 第四章 随机变量的数字特征

分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征. 例如： 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;

考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.

随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 本 章 内 容 r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容

§4.1随机变量的数学期望 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负 初 赛 复 决 总 成 绩 算术 平均 甲 乙 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负 初 赛 复 决 总 成 绩 算术 平均 甲 乙 90 85 53 228 76 88 80 57 225 75 加 权 平 均 3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 胜者 甲 甲 乙 甲 甲 甲 乙 乙

称 为这 3 个数字的加权平均 数学期望的概念源于此

定义 数学期望的定义 设 X 为离散 r.v. 其分布为 若无穷级数 绝对收敛, 则称 其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即

定义 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是 r.v.

例1 例1 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y)

例2 X ~ N (  ,  2 ), 求 E ( X ) . 解 例3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ). 解

常见 r.v. 的数学期望（P159） 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P() 

分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E() N(, 2)

注意 不是所有的 r.v.都有数学期望 例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为 但 发散 它的数学期望不存在!

r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望 设离散 r.v. X 的概率分布为 绝对收敛，则 若无穷级数 设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x) 若广义积分 绝对收敛, 则

设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为 Z = g(X ,Y ), 若级数 绝对收敛 , 则

设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 若广义积分 绝对收敛, 则

例3 例3 设 (X ,Y ) ~ N (0,1;0,1;0), 求 的数学期望. 解

例4 五个独立元件,寿命分别为 都服从参数为  的指数分布，若将它们 (1) 串联； (2) 并联 (1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值. （P.142 例6） 解 (1) 设整机寿命为 N ,

即 N ~ E( 5), (2) 设整机寿命为

可见, 并联组成整机的平均寿命比串联 组成整机的平均寿命长11倍之多.

例5 例5 设X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X ,Y 相互独 立，求E (max(X ,Y )) . 解 D1 D2

其中 称为 概率积分

所以 一般地，若 X ,Y 相互独立，则

当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 期望性质 数学期望的性质 E (C ) = C 常数 E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 若存在数 a 使 P(X  a) = 1, 则 E (X )  a ； 若存在数 b 使 P(X  b) = 1, 则 E (X )  b.

注 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立 反例见附录 1

证 性质5 设 X 连续，d.f. 为 f (x), 分布函数为 F(x), 则 故

例6 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子 中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的 数学期望. 例6 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子 中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的 数学期望. 解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为 X P 0 1 2 3

解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4 Xi P 1 0

求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X) 例7 例7 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X) 解

由数学期望性质 X ,Y 独立

应用 数学期望的应用

应用1 据统计65岁的人在10年内正常死亡 的概率为0. 98, 因事故死亡概率为0.02.保险 公司开办老人事故死亡保险, 参加者需交纳 保险费100元.若10 年内因事故死亡公司赔偿 a 元, 应如何定 a , 才能使公司可期望获益; 若有1000人投保, 公司期望总获益多少? 解 设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得 的收益, i =1~1000 . 则 0.98 0.02 100 100 Xi ~

由题设 公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司获益. 公司期望总收益为 若公司每笔赔偿3000元, 能使公司期望 总获益40000元.

应用2 验血方案的选择 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方 案有如下两种： 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； 分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济.

解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望. 为简单计, 不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n / k 组. 设第 i 组需化验的次数为X i, 则 Xi P 1 k + 1

若 则E (X ) < n 例如, 当 时, 选择方案(2) 较经济.

应用3 市场上对某种产品每年需求量为 X 吨 ，X ~ U [ 2000,4000 ], 每出售一吨可赚 3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1 万元，问应该生产这中商品多少吨, 才能 使平均利润最大？ 解 设每年生产 y 吨的利润为 Y 显然，2000 < y < 4000

显然， 故 y=3500 时, E(Y )最大, E (Y )= 8250万元

X (mm)~ N ( ,1).已知销售每个零件的利润 T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系： 应用4 应用4 设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~ N ( ,1).已知销售每个零件的利润 T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系： 问平均直径  为何值时, 销售一个零件的 平均利润最大？ (P.171习题四15题)

解

即 可以验证， 故 时, 销售一个 零件的平均利润最大.

习题 作业 P.169 习题四 1 2 3 4 5 7

补 充 作 业 设 g(x) 是取正值的非减函数, X 为连续 型 r.v., 且 E( g(X) )存在， 证明: 对任意常数 a

柯西 柯西 Augustin-Louis Cauchy 法国数学家 1789 - 1857

柯 西 简介 法国数学家 27岁当选法国科学院院士 早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这一直是几何学中一个精彩的结果. 在概率论中他给出了有名的柯西分 布. 然而他一生中最重要的数学贡献在 另外三个领域：微积分学、复变函数和 微分方程.

在这三个领域中我们常常能见到以柯西 名字命名的定理、公式和方程等: 柯西-黎曼方程; 柯西判别法则; 柯西积分定理; 柯西积分公式; 柯西不等式; 柯西初值问题 柯西在代数学、几何学、误差理论以及 天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色 的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数 学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础.

柯西是一位多产的数学家，一生共发表 论文 800 余篇，著书7本.《柯西全集》共有 27卷，其中最重要的为： 《分析教程》 1821 年 《无穷小分析教程概论》 1823 年 《微积分在几何上的应用》 1826 年 柯西的著作大多是急就章，但都朴实无 华，有思想, 有创见. 他所发现和创立的定理 和公式, 往往是一些最简单、最基本的事实. 因而，他的数学成就影响广泛，意义深远.

若 X 服从柯西(Cauchy)分布, 其 p.d.f. 为 简记 X ~ C( )分布,

[附录1] 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立 反例 1 X Y pij -1 0 1 -1 1 p• j pi•

X Y P -1 0 1 但

反例2

但

[附录2] 几个重要的 r.v. 函数的数学期望 —— X 的 k 阶原点矩 —— X 的 k 阶绝对原点矩 —— X 的 k 阶中心矩

—— X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 —— X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 —— X ,Y 的 二阶原点矩 —— X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 —— X ,Y 的相关系数