第六章 微分与不定积分 第三节 不定积分
一.绝对连续函数的定义 现在回到我们最初的问题上来： 牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？
从单调函数的例子及上面的讨论不难看到，有界变差函数的导数虽然可积，但也未必能使牛顿—莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强，这正是下面要引入的 定义: 设f是[a,b]上的函数，若对任意 存在 使得对于[a,b]中的任意一组分点： 只要 便有 则称f是[a,b]上的绝对连续函数，或称f在[a,b]上绝对连续。
二.牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件 从定义立知, [a,b]上的绝对连续函数一定是一致连续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？假设 是 [a,b]上的绝对连续函数，于是对任意 , 存在 ,使得只要 就有 取正整数N，使得 将分成N等分，设分点为
对[a,b]的任一分划 添加进去，得新的分划 ，于是 因此， 。这就是说,连续函数一定是有界变差函数。下面的定理指出：对绝对连续函数，牛顿—莱布尼兹公式是成立的。
定理9 设 上的绝对连续函数，则 上几乎处处可微, 上Lebesgue可积，且 定理9 设 上的绝对连续函数，则 上几乎处处可微, 上Lebesgue可积，且 证明：由上面的讨论，显然仅需证明等式 成立。
对于 则 上的可积函数，且
往证 上积分等度绝对连续的函数序列。任取 使得定义8中的不等式成立。设 内一列互不相交的区间,使得 , 则对任意正整数 , 有
从而对任意 ，有 进而
， ， 由积分的绝对连续性易知
进而对任意开集 ，只要 ，便有 若 是 型集， 是开集 ,则可设 ，当k充分大时，也有 ,因此由 （为什么？）立得
现设 是任意可测集， ，则可找到 型集 。使 于是 这说明 具有积分等 度绝对连续性，由Vitali 定理立知
证毕。
定理10 设 上的Lebesgue可积函数，且对任意 则 则。 定理10 设 上的Lebesgue可积函数，且对任意 则
证明：由 及积分的基本性质不难得知对[a,b] 内任意区间I，有 ,于是对[a,b]内任意开集G，也有 ,对[a,b]内任意闭集F,令 则G是开集，注意到 ，从而
现设E是[a,b]内任一可测集，则对任意正整数n， 存在闭集 ，使得 ，由 积分的绝对 连续性知对任意 ，存在N， 当 时 ,有 因此，
由 的任意性知 。 如果 ，则 ， ,至少有一个是 正测度集。 从而存在正整数n， 使 或 不妨设 则
这与上面的证明矛盾，故必有 证毕。 定理11 设 是 上的Lebesgue可积函数， 其中 c是任意常数，则 上的绝对连续函数， 且 上的 证明：由积分的绝对连续性立得, 绝对连 续函数， 于是 几乎处处可微， 且 在 上可积,
。 并有 又由F的定义知 ,所以 对任意 ,有 。 由定理10便得 。 至此我们得到了：一个函数等于其导数的Lebesgue积分当且仅当该函数为绝对连续函数。由此可以证明，对于绝对连续函数，分部积分公式及换元公式都是成立的。具体说来即有下面的
推论1（分部积分法） 设 ， 均为 上的绝对连续，则 推论1（分部积分法） 设 ， 均为 上的绝对连续，则 推论2（换元法） 若设 是 上的可积函数， 是单调绝对连续函数， 推论1与推论2的证明作为练习留给读者。