第四章 数值积分与数值微分 — 基本概念 — Newton-Cotes 公式

内容提要 数值积分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式 数值微分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式 自适应积分方法 多重积分

本讲内容 数值积分基本概念 Newton-Cotes 公式 为什么要数值积分 数值积分基本思想 代数精度 插值型求积公式 收敛性与稳定性 公式介绍 代数精度 余项表达式

数值积分 微积分基本公式： 但是在许多实际计算问题中 (1) F(x) 表达式较复杂时，计算较困难。如

几个简单公式 基本思想 矩形公式 梯形公式 抛物线公式

一般形式 数值积分一般公式 机械求积公式 求积系数 求积节点 将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现 一般地，用 f(x) 在 [a, b] 上的一些离散点 a  x0 < x1 < ··· < xn  b 上的函数值的加权平均作为 f () 的近似值，可得 机械求积公式 求积系数 求积节点 将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现

代数精度 代数精度 定义：如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，求积公式 代数精度的验证方法 都精确成立，但对次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度 代数精度的验证方法 将 f (x) = 1, x, x2, … , xm 依次代入，公式精确成立; 但对 f (x) = xm+1 不精确成立。 注：求积公式并不局限于机械求积公式

举例 例：试确定 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度 解： 将 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 代入求积公式，使其精确成立，得 … … 存在唯一解： 所以求积公式为： 具有至少 n 阶代数精度

举例 例：试确定系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 解： 将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得 解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为 易验证该公式对 f (x)＝x3 也精确成立，但对 f (x)＝x4 不精确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。

举例 例：(教材第100页) 试确定下面求积公式中的系数，使其具有尽可能高的代数精度。 解： 将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得 解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。所以求积公式为 将 f (x)＝x3 代入，等号不成立，故公式具有 2 次代数精度。

代数精度 可以验证： 性质：任意具有 m ( 0 ) 次代数精度的机械求积公式一定满足 左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度 中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度 性质：任意具有 m ( 0 ) 次代数精度的机械求积公式一定满足 练习：抛物线公式 具有 几次 代数精度？

插值型求积公式 插值型求积公式 误差： 设求积节点为：a  x0 < x1 < ··· < xn  b 若 f (xi) 已知，则可做 n 次多项式插值： 其中 误差： 其中

插值型求积公式 性质：插值型求积公式具有至少 n 次代数精度 定理：下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的充要条件是该公式是插值型的 当 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 时，有 即公式精确成立 性质：插值型求积公式具有至少 n 次代数精度 定理：下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的充要条件是该公式是插值型的 证明：板书 当机械求积公式具有尽可能高的代数精度时, 它总是插值型的

求积公式余项 注意： 教材上 101 页的公式 (1.8) 无法验证 后面所有求积公式的余项估计都不能使用这个方法，否则按做错处理！！！

收敛性 求积公式的收敛性 定义：如果求积公式 满足 设求积节点为：a  x0 < x1 < ··· < xn  b ，令 xi = xi –xi-1 定义：如果求积公式 满足 则称该求积公式是 收敛的。

稳定性 求积公式的稳定性 定义：对  > 0，若存在  > 0，使得当 ( i = 0, 1, … , n) 时，有 则称该求积公式是 稳定的。 定理：若 Ai > 0, i = 0, 1, … , n，则下面的求积公式是稳定的 证明：板书

Newton-Cotes 公式 Newton-Cotes 求积公式 基于等分节点的插值型求积公式就称为 Newton-Cotes 公式 积分区间：[a, b] 求积节点： xi = a + i  h 求积公式： Cotes 系数

Newton-Cotes 公式 n = 1: 梯形公式 n = 2: 抛物线公式 Simpson公式 n = 4: 代数精度 = 1 n = 2: 抛物线公式 Simpson公式 代数精度 = 3 n = 4: 科特斯 (Cotes) 公式 代数精度 = 5

Cotes 系数与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 无关

N-C 公式 Cotes 系数具有以下特点： (1) (2) (3) 当 n  8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当 n 较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。 一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式 当 n  7 时，Newton-Cotes 公式是稳定的

N-C 公式代数精度 定理：n 阶 Newton-Cotes 公式至少有 n 阶代数精度 证：只要证明当 n 为偶数时，公式对 f (x)＝xn+1 精确成立。 x = a + t h t = n - s 即

余项 例：试确定梯形公式的余项表达式 板书 例：试确定 Simpson 公式的余项表达式 板书 例：试确定下面的求积公式的余项表达式 板书

余项 定理：当 n 是奇数时，设 f(x)Cn+1[a,b]，则 N-C 公式的余项可表示为 证明：略 注：不适用非等步长的求积公式！

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