第四章 数值积分与数值微分 — 基本概念 — Newton-Cotes 公式.

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数值分析 第五节 数值微分 在实际问题中,往往会遇到某函数 f(x) 是用表格 表示的, 用通常的导数定义无法求导, 因此要寻求其他 方法近似求导。常用的数值微分方法有 : 一. 运用差商求数值微分 二.运用插值函数求数值微分 三. 运用样条插值函数求数值微分 四. 运用数值积分求数值微分.
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第六章 数值微分 6.1 插值型数值微分公式 6.2 插值型数值积分. 6.1 插值型数值微分公式 当 x 为插值节点 时,上式简化为 故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数 值进行近似计算,以便估计误差。 一般地 这类公式称为插值型数值微分公式。
第一节 不定积分的概念及其 计算法概述 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质及简单计算 四、小结.
第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分形式不变性 五、微分在近似计算中的应用 六、小结.
第 8 章 数值积分与数值微分 8.1 Newton-Cotes 公式 Newton-Cotes 公式 8.2 复化求积公式 复化求积公式 8.3 自适应步长求积方法 自适应步长求积方法 8.4 Gauss 求积方法 Gauss 求积方法 8.5 特殊函数的积分 特殊函数的积分 8.6 数值积分的.
第九章 常微分方程数值解法 §1 、引言. 微分方程的数值解:设方程问题的解 y(x) 的存在区间是 [a,b] ,令 a= x 0 < x 1
2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.
第八章 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个方程所确定的隐函数 及其导数 隐函数的微分法.
高等数学一 主讲 杨俊 演示文稿制作 杨俊. 高等数学一 第 3 章 一元函数微分学的应用 第 4 章 一元函数 积分学及应用 第 1 章 函数、极限与连续 第 2 章 导数与微分.
第 5 章 数值积分 §1 插值型求积公式 §2 复化求积公式 §3 龙贝格 (Romberg) 求积方法 §4§4 数值微分 数值微分.
第 4 章 数值微积分. 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式 第 4 章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式.
1 4.5 高斯求积公式 一般理论 求积公式 含有 个待定参数 当 为等距节点时得到的插值型求积公式其代数精度至 少为 次. 如果适当选取 有可能使求积公式 具有 次代数精度,这类求积公式称为高斯 (Gauss) 求积公式.
2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
计算机数学基础(下) --数值分析 教师:孙继荣 电话: 028 -
2.5 函数的微分 一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、小结.
1 、牛顿 - 莱布尼兹公式 另外若给出的函数 f(x) 是数据表,也不好求函数的积分。 计算定积分的方法: 但是求函数 f(x) 的原函数 F(x) 不一定比计算积分容易, 例如函数 找不到用初等函数表示的原函数。 一、数值求积的基本思想 实验 4 数值积分与微分 主讲人:魏志强.
理学院 张立杰 《数值分析》第四讲 数值积分与微分. §4.1 引言 第四章:数值积分与数值微分 1 、积分的概念 设 任取 做 如果 存在, 则称 可积,极限值称为函数 在区间 [a,b] 上的 定积分,记为 : Riemann 积分.
第二节 换元积分法 一、第一类换元积分 法(凑微分法) 二、第二类换元积分法. 问题 解决方法 利用复合函数,设置中间变量. 过程令 一、第一类换元积分法(凑微分法)
8.1 不定积分的概念和基本积分公式  原函数和不定积分  基本积分公式表  不定积分的线性运算法则 第八章 不定积分.
第五章 二次型. 第五章 二次型 知识点1---二次型及其矩阵表示 二次型的基本概念 1. 线性变换与合同矩阵 2.
第三章 函数逼近 — 最佳平方逼近.
例题 教学目的: 微积分基本公式 教学重点: 牛顿----莱布尼兹公式 教学难点: 变上限积分的性质与应用.
第二章 数值微分和数值积分.
第二节 微积分基本定理 一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式.
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高等数学电子教案 第五章 定积分 第三节 微积分基本定理.
第五节 微积分基本公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式.
一、原函数与不定积分 二、不定积分的几何意义 三、基本积分公式及积分法则 四、牛顿—莱布尼兹公式 五、小结
第二节 微积分基本公式 1、问题的提出 2、积分上限函数及其导数 3、牛顿—莱布尼茨公式 4、小结.
第四章 定积分及其应用 4.3 定积分的概念与性质 微积分基本公式 定积分的换元积分法与分部积分法 4.5 广义积分
数 学 分 析 第九章 定积分 第二节 微积分学基本公式 主讲:师建国.
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第四章 函数的积分学 第六节 微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式.
微积分基本定理 2017/9/9.
9.1 数值积分基本方法 9.2 梯形积分 9.3 Simpson积分 9.4 Newton-Cotes积分 9.5 Romberg积分
第四章 一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分
第4章 数值积分与数值微分.
计算方法 第2章 数值微分与数值积分 2.1 数值微分.
Chapter 7 数值积分与数值微分.
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
利用定积分求平面图形的面积.
定积分习题课.
定积分的概念与性质 变上限积分的概念与定理 牛顿-莱布尼茨公式 讨论或证明变上限积分的特性
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§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
第5章 §5.3 定积分的积分法 换元积分法 不定积分 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法.
第2章 Z变换 Z变换的定义与收敛域 Z反变换 系统的稳定性和H(z) 系统函数.
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第四章 数值积分与数值微分 — 复合求积公式 — Romberg 算法.
计算机数学基础 主讲老师: 邓辉文.
二.换元积分法 ò ( ) (一)第一类换元积分法 1.基本公式 把3x当作u,“d”后面凑成u 2.凑微分 调整系数 (1)凑系数 C x
§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
计算机数学基础(下) 第5编 数值分析 第12章 数值积分与微分(续).
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高等数学 西华大学应用数学系朱雯.
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第二章 函数 插值 — 分段低次插值.
4.2.1 原函数存在定理 1、变速直线运动问题 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 4.2 微积分基本定理(79)
第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式.
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和.
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题.
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第六章 数值积分与数值微分.
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第三节 函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.
第四章 函数的 积分学 第七节 定积分的换元积分法     与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法.
教学大纲(甲型,54学时 ) 教学大纲(乙型, 36学时 )
第六章 线性方程组的迭代法 — Jacobi, G-S and SOR.
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第四章 数值积分与数值微分 — 基本概念 — Newton-Cotes 公式

内容提要 数值积分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式 数值微分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式 自适应积分方法 多重积分

本讲内容 数值积分基本概念 Newton-Cotes 公式 为什么要数值积分 数值积分基本思想 代数精度 插值型求积公式 收敛性与稳定性 公式介绍 代数精度 余项表达式

数值积分 微积分基本公式: 但是在许多实际计算问题中 (1) F(x) 表达式较复杂时,计算较困难。如

几个简单公式 基本思想 矩形公式 梯形公式 抛物线公式

一般形式 数值积分一般公式 机械求积公式 求积系数 求积节点 将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现 一般地,用 f(x) 在 [a, b] 上的一些离散点 a  x0 < x1 < ··· < xn  b 上的函数值的加权平均作为 f () 的近似值,可得 机械求积公式 求积系数 求积节点 将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现

代数精度 代数精度 定义:如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ,求积公式 代数精度的验证方法 都精确成立,但对次数为 m +1 的多项式不精确成立,则称该求积公式具有 m 次代数精度 代数精度的验证方法 将 f (x) = 1, x, x2, … , xm 依次代入,公式精确成立; 但对 f (x) = xm+1 不精确成立。 注:求积公式并不局限于机械求积公式

举例 例:试确定 Ai ,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度 解: 将 f (x)= 1, x, x2, … , xn 代入求积公式,使其精确成立,得 … … 存在唯一解: 所以求积公式为: 具有至少 n 阶代数精度

举例 例:试确定系数 Ai ,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度,并求出此求积公式的代数精度。 解: 将 f (x)=1, x, x2 代入求积公式,使其精确成立,可得 解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为 易验证该公式对 f (x)=x3 也精确成立,但对 f (x)=x4 不精确成立,所以此求积公式具有 3 次代数精度。

举例 例:(教材第100页) 试确定下面求积公式中的系数,使其具有尽可能高的代数精度。 解: 将 f (x)=1, x, x2 代入求积公式,使其精确成立,可得 解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。所以求积公式为 将 f (x)=x3 代入,等号不成立,故公式具有 2 次代数精度。

代数精度 可以验证: 性质:任意具有 m ( 0 ) 次代数精度的机械求积公式一定满足 左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度 中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度 性质:任意具有 m ( 0 ) 次代数精度的机械求积公式一定满足 练习:抛物线公式 具有 几次 代数精度?

插值型求积公式 插值型求积公式 误差: 设求积节点为:a  x0 < x1 < ··· < xn  b 若 f (xi) 已知,则可做 n 次多项式插值: 其中 误差: 其中

插值型求积公式 性质:插值型求积公式具有至少 n 次代数精度 定理:下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的充要条件是该公式是插值型的 当 f (x)= 1, x, x2, … , xn 时,有 即公式精确成立 性质:插值型求积公式具有至少 n 次代数精度 定理:下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的充要条件是该公式是插值型的 证明:板书 当机械求积公式具有尽可能高的代数精度时, 它总是插值型的

求积公式余项 注意: 教材上 101 页的公式 (1.8) 无法验证 后面所有求积公式的余项估计都不能使用这个方法,否则按做错处理!!!

收敛性 求积公式的收敛性 定义:如果求积公式 满足 设求积节点为:a  x0 < x1 < ··· < xn  b ,令 xi = xi –xi-1 定义:如果求积公式 满足 则称该求积公式是 收敛的。

稳定性 求积公式的稳定性 定义:对  > 0,若存在  > 0,使得当 ( i = 0, 1, … , n) 时,有 则称该求积公式是 稳定的。 定理:若 Ai > 0, i = 0, 1, … , n,则下面的求积公式是稳定的 证明:板书

Newton-Cotes 公式 Newton-Cotes 求积公式 基于等分节点的插值型求积公式就称为 Newton-Cotes 公式 积分区间:[a, b] 求积节点: xi = a + i  h 求积公式: Cotes 系数

Newton-Cotes 公式 n = 1: 梯形公式 n = 2: 抛物线公式 Simpson公式 n = 4: 代数精度 = 1 n = 2: 抛物线公式 Simpson公式 代数精度 = 3 n = 4: 科特斯 (Cotes) 公式 代数精度 = 5

Cotes 系数与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 无关

N-C 公式 Cotes 系数具有以下特点: (1) (2) (3) 当 n  8 时,出现负数,稳定性得不到保证。而且当 n 较大时,由于Runge现象,收敛性也无法保证。 一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式 当 n  7 时,Newton-Cotes 公式是稳定的

N-C 公式代数精度 定理:n 阶 Newton-Cotes 公式至少有 n 阶代数精度 证:只要证明当 n 为偶数时,公式对 f (x)=xn+1 精确成立。 x = a + t h t = n - s 即

余项 例:试确定梯形公式的余项表达式 板书 例:试确定 Simpson 公式的余项表达式 板书 例:试确定下面的求积公式的余项表达式 板书

余项 定理:当 n 是奇数时,设 f(x)Cn+1[a,b],则 N-C 公式的余项可表示为 证明:略 注:不适用非等步长的求积公式!

作业 教材第 135 页:1、3、4、5、7