第 二 章 地图投影基本理论

学习指导 学习目标与要求 1．掌握地图投影的概念与若干定义 2．掌握地图投影的基本公式 3．掌握等角条件、等面积条件与等距离条件 　　学习目标与要求 　　1．掌握地图投影的概念与若干定义 　　2．掌握地图投影的基本公式 　　3．掌握等角条件、等面积条件与等距离条件 　　4．了解地图投影的类型 　　学习重点 　　1．掌握主方向、变形椭圆的概念 　　2．掌握地图投影长度比、面积比、角度变形的基本公式 　　学习难点 　　1．长度比的基本公式 　　2．投影的三种条件

第一节　地图投影的概念与若干定义 　　　地球表面的经纬线网格与平面建立了相互对应的网格的数学关系时，则地球表面各该网格内的要素也能满足这种数学法则而被表示在平面上。　　 　　地图投影：利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。 　　主要内容：研究把曲面表示到平面所采用的各种数学法则。 　　如果地球表面上有一点A (φ，λ)，它在平面上的对应点是A′(x，y)，此两点坐标之间可用下列函数关系式表示： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2-1)

　　　由于球面上经纬线是连续而规则的曲线，而地图上一定范围之内经纬线也必定是连续和规则的，因此规定： 　　　在一定的区域内，函数f1、f2应单值、有限而连续。 　　如果从(2-1)中消去φ，可得经线投影方程式： F1(x，y，λ)=0　　　　　　　　　　(2-2) 　　如若消去λ，便有纬线投影方程式： F2(x，y，φ)=0　　　　　　　　　　(2-3) 　　如在(2-1)式中令λ＝λ0＝常数，则方程 　　　　 (2-4) 表示经度为λ0的经线方程

　　同样，如φ＝φ0＝常数，则方程 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 (2-5) 　　表示纬度为φ0的纬线方程式。 　　以上各式就是地图投影中曲面与平面关系的基本表达式。 　　地球表而上的长度、面积、角度经过投影，一般地其量值都会发生某种变化。为此，给定以下一些基本定义： 　长度比μ ——地面上微分线段投影后长度ds′与它固有长度ds之比值： 　面积比P——地面上微分面积投影后的大小dF′与它固有的面积dF之比值： (2-6) (2-7)

　　　在同一个投影中，不同点上的长度比和面积比的数值一般是不固定的。长度比和面积比的变化显示了投影中长度和面积的变化。为确切地赋予这种变化在数量上的描述，应引进长度变形与面积变形的概念。 　长度变形 　——长度比与1之差值。 　面积变形　 ——面积比与1之差值。 　角度变形——某一角度投影后角值β′与它在地面上固有的角度值β之差值： β-β′　　　　　 　 (2-10) (2-8) (2-9)

　主比例尺——计算地图投影或制作地图时，必须将地球(椭球体或球体)按一定比率缩小而表示在平面上，这个比率称为地图的主比例尺，或称普通比例尺。因而一幅地图上注明的比例尺实际上仅是该图的主比例尺。 　局部比例尺——地图上除保持主比例尺的点或线以外其它部分上的比例尺。局部比例尺的变化比较夏杂，它们依投影的性质不同，常常是随线段的方向和位置而变化的。 　　为方便起见，在研究投影和推导公式时，常令主比例尺数值为1。

第二节　地图投影的基本公式 　　为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素（线段、面积、角度）与它们在平面上的表象的对应关系式，以便于利用这些关系式导出地图投影的基本公式。

　球面微分梯形ABCD，其间经差为dλ，纬差为dφ。AC为微分梯形的对角线dS，它与经线AP的夹角为α。 沿经线微分线段 沿纬线微分线段 对角线AC可表示为： C点对A点方位角α：sinα=r·dL/ds，cosα=M·dB/ds 梯形ABCD的面积：　dF=M·r·dB·dL

微分梯形在平面上的表象为平行四边形A’B’C’D’ 对下式微分 B’ x’ D’ A’ C’ dsm’ ψn ψ ds’ dx dy O X Y dsn’ 得 对各偏导数组合做以下记号

将dx,dy的全微分式代入 于是有 若先后取dL=0，dB=0，则可获得平面上经、纬微分线段的表达式

B’ x’ D’ A’ C’ dsm’ ψn ψ ds’ dx dy O X Y dsn’ 对角线A’C’与x轴之夹角ψ有关系式：

Ψ是任意方向与Ｘ轴夹角。当dλ和dφ为零时，对应经纬线方向与Ｘ轴夹角

经纬线投影后的夹角 经纬线投影后的夹角 与90度之差值ε 微分线段ds’的方位角α’（以经线顺时针方向计算至 ds’，即α的投影）

　　微分梯形投影后的面积，即（以经线顺时针方向计算至 ds’，即α的投影），即平行四边形A’B’C’D’的面积：

§２-３等角条件、等面积条件与等距离条件 等角条件： 1）经纬线投影后正交， ＝90° 2）一点上任一方向的方位角投影前后保持相等，α＝α’ 1）经纬线投影后正交，　＝90° 2）一点上任一方向的方位角投影前后保持相等，α＝α’ 把Ｅ、Ｇ代入前式，并由后式　　求出后将其代入前式得

等面积条件 dF’=dF 而 dF=M·r·dφ·dλ 或

等距离投影条件：沿某特定方向长度比为1。 当 时，为沿经、纬线长度比。 沿经线等距离： 沿纬线等距离： 等角投影条件： 等面积投影条件：

小比例尺制图时，用球体代替地球椭球时，等角、等积、等距条件如何表示？

§２-３等角条件、等面积条件与等距离条件 等角条件 等面积条件 或 或

等距离投影条件 沿经线等距离： 沿纬线等距离： 等角投影条件： 等面积投影条件：

§２-4 地图投影中变形的理论 一点上任意方向长度比的定义： 将：sinα=r·dλ/ds，cosα=M·dφ/ds 代入上式得： （1） §２-4 地图投影中变形的理论 一点上任意方向长度比的定义： 将：sinα=r·dλ/ds，cosα=M·dφ/ds 代入上式得： （1） 它随点的位置（经纬度）、方位角而变化。 当α=0°或α=90°时，即为 引入m、n，（1）式也可表示为：

主方向与极值长度比 将（１）式对α求一阶导数，并设在α＝ α0时有极值 化简后有： 　　考虑正切函数周期，上式有二解：２α0及２α0+180。对应极值长度比的方向有α0及α0+90。 结论：极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上。 　　　　　称这两个特殊的方向为主方向。 　　将极值长度比的方向α0及α0+90代入（1）式的二阶导数，则二者必反符号。也即一个为极大值，一个为极小值。

在平面上两个主方向仍保持正交。 将极值长度比的方向α0及α0+90代入右式

主方向与极值长度比 极值长度比：一点上各长度比中的最大值与最小值。 极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上 主方向：极值长度比的两个互相垂直的方向。 在平面上两个主方向仍保持正交。

变形椭圆 　　 用来论述和显示投影变形的工具。 地面一点的微分圆(也称单位圆)，在投影后一般地成为一个微分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当地、直观地显示变形的特征。

　　斜坐标系在应用上不甚方便。 　　主方向投影后保持正交且为极值。 　　取主方向的直径作为微分圆的坐标轴，在对应平面上它们成为椭圆的长短半轴。 　　以μ1和μ2表示沿主方向的长度比。

　　　如用α、b表示椭圆的长短半轴，则 　　　　　a=μ1r　　　　　b=μ2r 　　令微分圆半径r=1，则有： 　　　　　a=μ1　　　　　b=μ2 　结论：微分椭圆长、短半轴的大小，等于O点上主方向的长度比。 　　如果一点上主方向的长度比(极值长度比)已经决定，则微分椭圆的大小及形状即可决定。

求定一点上与主方向夹角为β的OA半径的长度比 上式即为微分圆上任一点长度比与极值长度比之关系式。

变形椭圆的方位角 －－变形椭圆长半轴与经线的夹角 在直角三角形A’O’A’0中 代入椭圆方程 得 用三角基本公式可化上式为 化简后即为 Ａ’ Ａ’0 α0’ m O’ θ’ φ n λ 代入椭圆方程 得 用三角基本公式可化上式为 化简后即为

沿经、纬线长度比与极值长度比的关系式 一点上任意方向长度比与沿经、纬线长度比的关系式 (2) 当 时μ有极值且 由 可得 代入(2)式 当 时μ有极值且 由　　　　　　　　　可得 　　代入(2)式 利用一元二次方程根与系数的关系可最终获得 以a、b表示极值长度比的二极值，则有

面积比 用沿经、纬线长度比表示面积比 引用公式 可得

　　　角度变形 　地面上某一方向与主方向组 成的角度与它投影后角度关系 最大角度变形 以　　表示　　　最大值

重要关系式总结 1．长度比公式 2．面积比公式 3．角度变形的公式 ① 经纬线夹角变形公式 经纬线投影后的夹角为θ′ 　重要关系式总结 　　1．长度比公式 　　2．面积比公式 3．角度变形的公式 ① 经纬线夹角变形公式 　　经纬线投影后的夹角为θ′ 　　经纬线投影后的夹角变形为

以上公式中E、F、G、H称为一阶基本量，或称高斯系数。具体含义如右： ② 最大角度变形公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a、b作为主方向的长度比(极值长度比)。 以上公式中E、F、G、H称为一阶基本量，或称高斯系数。具体含义如右：

　　在等角投影中没有角度变形，而面积变形最大。这种投影主要是依靠增大面积变形而达到保持角度不变(即图形相似)的。在等积投影中没有面积变形，但角度变形最大，即这种投影主要是依靠增大角度变形而保持面积相等。至于等距离投影，既有角度变形又有面积变形，两种变形其量值近似相等，而且这种投影的变形值也是介于等角与等面积投影之间的。

等变形线 等变形线是投影中各种变形相等的点的轨迹线。 用来显示投影变形的分布及变化规律。 　　等变形线是投影中各种变形相等的点的轨迹线。 　　用来显示投影变形的分布及变化规律。 　　在变形分布较复杂的投影中，难以绘出许多变形椭圆，或列出一系列变形值来描述图幅内不同位置的变形变化状况。 　　　计算出一定数量的经纬线交点上的变形值，再利用插值的方法描绘出一定数量的等变形线。 　　　在制图区域较大而且变形分布亦较复杂时经常采用的一种方法。

§２-5 地图投影的分类 1、依外在的特征进行分类： 在投影平面上经纬线投影的形状具有直观的明显性 2、依内在的性质来进行分类： §２-5　　地图投影的分类 　1、依外在的特征进行分类： 在投影平面上经纬线投影的形状具有直观的明显性 2、依内在的性质来进行分类： 投影内蕴的变形的实质 　　　在决定投影的分类时，应把两者结合起来，才能较完整地表达投影。　

§２.5.1　地图投影按经纬线形状分类 　　分析投影中经纬度与投影直角坐标(或极坐标)之间的关系，无非存在如下几种情况：

　以上这些关系可以用下列图解来说明经纬线的形状：

相应于图 中的类别 投影名称 经纬线形状 限定特征 经线 纬线 C（右） 圆锥投影 方位投影 直线束 同心圆弧 同心圆 经线间隔相等，交于纬线圆心 同上，且经线夹角等于经差 C（左） 圆柱投影 平行直线 经纬线正交 B2（右） 伪圆锥 伪方位 对称曲线 B2（左） A （右） 伪圆柱 多圆锥 同轴圆弧

　　　不同位置的情况，具体地说，可以分为： 　　正轴投影(极投影) 　　斜轴投影(水平投影) 　　横轴投影(赤道投影) 　　为调整变形分布，投影面可以与地球相切或相割。

§２.5.2 按内蕴的特征(变形)分类 等角投影(正形投影) 、等面积投影、任意投影 研究变形椭圆长、短半轴的变化规律，进而来划分： 　　 §２.5.2 　按内蕴的特征(变形)分类 　　等角投影(正形投影) 、等面积投影、任意投影 　　研究变形椭圆长、短半轴的变化规律，进而来划分： 　等角投影是椭圆型投影中a=b>1(或a=b<1)的情况中的一种特例。 　等面积投影是双曲型投影中 的一种特殊情况。 　等距离投影必然是抛物型投影。

各种投影所处的几何图形 　　　在{O，a，b}象限中，过原点a=b的斜线代表了等角投影。平行于坐标轴，a=1或b=1的两直线代表了等距离投影。过(1，1)以坐标轴为渐近线a·b=1的曲线代表了等面积投影。 　　　有斜线的部分Ａ代表了椭圆型投影所处的范围。有圈点的部分B代表了双曲型投影所处范围。 　等角、等面积、等距离投影在图上 　所处地位是四条线。

　　α线代表一种a =κb的投影，即a、b之间有固定的比值。这种投影可以命名为准相似投影。β代表一种ab＝ι的投影，可以命名为倍积投影。 　的线条，以及a=1或b=l的线 　条代表的投影可称为单纯投 　影，凡跨越A域、B域的线条 　（如α、β）可称之为混合投影。

数　学　定　义 按　变　形　划　分 变　形　特　征 单纯投影 混合投影 椭圆型 等角投影 非等角投影 ω=0 1 ω≠0 P≠1 抛物型 等距离投影 a=1或b=1 双曲型 等面积投影 非等面积投影 P-1=0