多元函数微分学学习辅导 一、内容提要 二、典型例题 首页 上页 返回 下页 结束

★ 多元函数微分学主要内容 一、多元函数微分学中的基本概念及其联系 二、求二元、三元初等函数的偏导数与全微分 三、复合函数求导法——求带抽象函数记号的复 合函数的偏导数与全微分 四、复合函数求导法——求隐函数的(偏)导数与 全微分 五、多元函数微分学的几何应用 六、多元函数的极值与最值问题

内容提要 偏导数 注: (1) (2) (3) 偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可.

二阶偏导数 定理 如果两个二阶混合偏导数连续, 则它们相等.

内容提要 全微分 函数zf(x, y)在点(x, y)可微分: 计算公式: 重要关系 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续

内容提要 复合函数求导公式 设 zf(u1,…, un) 可微 ui(x, y,…)偏导数存在 则有 全微分形式不变性 设zf(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分 无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的.

复合函数求导公式 设 zf(u1,…, un) 可微 ui(x, y,…)偏导数存在 则有 设 zf(u1, u2) 具有二阶连续偏导数 ui(x, y)偏导数存在 则有 约定记号

内容提要 F(x, y)=0 确定 y=f(x) 的导数公式 隐函数求导公式 F(x, y, z)=0 确定 z=f(x, y) 的偏导数公式

内容提要 曲线的切向量 光滑曲线 xx(t), yy(t), zz(t) 在 tt0 对应点处的切向量为 曲面F(x, y, z)0与曲面G(x, y, z)0的交线的切向量为 曲面的法向量 曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为 曲面 zf(x, y)在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为

曲线的切向量 光滑曲线 xx(t), yy(t), zz(t) 在 tt0 对应点处的切向量为 曲面F(x, y, z)0与曲面G(x, y, z)0的交线的切向量为 直线的对称式方程 过点 M0(x0, y0, z0), 方向向量 的直线方程为 平面的点法式方程 过点 M0(x0, y0, z0), 法向量 的平面方程为

曲面的法向量 曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为 曲面 zf(x, y)在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为 平面的点法式方程 过点 M0(x0, y0, z0), 法向量 的平面方程为 两向量平行的条件

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 内容提要 极值点的必要条件 具有偏导数的极值点必为驻点 极值的充分条件 设f(x y)具有二阶连续偏导数, (x0 y0)为f(x y)的驻点, 令 fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 则 (1) ACB2>0时, f(x0 y0)为极值: 当A<0时为极大值, 当A>0时为极小值 (2) ACB2<0时, f(x0 y0)不是极值 (3) ACB20时, f(x0 y0)可能为极值 也可能不是极值

内容提要 可微函数最值的求法 将函数在有界闭区域 D内的所有驻点处、偏导数不存在点处的函数值及在 D的边界上的最值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 如果函数的最值一定在 D的内部取得, 而函数在 D内只有一 个驻点, 那么该驻点处的函数值就是函数在 D上的最值. 拉格朗日乘数法 函数 u f(x, y, z) 在条件 j(x, y, z)0 下的可能极值点为 拉格朗日函数 L(x, y, z, l) 的驻点, 其中

典型例题 例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形. 解 (1)

典型例题 例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形. 解 (2)

例2 求下列极限. 解 (1) (2)

例3 证明极限 不存在. 分析: 当点(x, y)在直线 y=kx 上时, 有 点(x, y)沿不同的直线 y=kx 趋于点(0, 0)时, 函数都趋于0. 若点(x, y)在曲线 y=kx3 上, 则 注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.

例3 证明极限 不存在. 证明 当点(x, y)在曲线 y=kx3 上时, 有 点(x, y)沿不同的曲线 y=kx3 趋于点(0, 0)时,函数趋于不同的值. 因此, 极限 不存在. 注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.

例4 求 解1 解2 知识点

例5 求函数 的偏导数. 解 令 则 知识点

例6 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求 解 记 知识点

例6 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求 解 记

例6 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求 解

例7 求 解 设 则 知识点

例7 求 解 设 则 注: 本题利用 ez=xyz 代入后, 运算简便得多.

例8 求 和 解1 设 则 知识点

例8 求 和 解2 方程两边求微分得

例9 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 解法1 利用隐函数偏导数公式 确定的隐函数, 则 故

解法2 用全微分形式不变性 对方程 两边求全微分，得 即

例10 求曲线 x2y2z26, xyz0 在点(2, 1, 1)处的切线 及法平面方程. 解 令 则切向量 所求切线方程为 法平面方程为 6(y1)6(z1)0, 即 yz0. 知识点

例11 求椭球面 x22y2z21 上平行于平面 xy2z  0 的切平面方程. 解 设所求切点为(a, b, c), 法向量 已知平面法向量 由题设 得 代入椭球面方程, 求得 切平面方程为 即 代入 b 的值, 得 知识点

例12 求函数 f(x y)  x ln x  (1  x)y2 的极值 解 令 得驻点 在点 (1,1) 处, 不是极值； 在点 (1,-1) 处, 不是极值； 在点 处, 且 所以 为极小值. 知识点

例13 求 在区域 D上的最值, 其中 解 解方程组 得驻点 在 D的边界上, z(y)的驻点为 z(y)的可能最值为 f 在 D上的最小值为 最大值为 知识点

例14 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. 解1 设长方体的三棱长为x, y, z, 则 2xy2yz2xz=a2 令 得唯一驻点 此处V 取最大值 知识点

例14 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. 解2 设长方体的三棱长为x, y, z, 则问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)=a2下的最大值. 作拉格朗日函数 F(x, y, z)xyzl(2xy2yz2xza2), 解方程组 因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在 这个可能的极值点处取得 此时

使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小. 求这切 平面的切点, 并求此最小体积. 例15 在第一卦限内作椭球面 的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小. 求这切 平面的切点, 并求此最小体积. 解 设切点坐标为 (x, y, z), 则法向量 切平面方程为 由 得切平面方程为 该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为 问题转化为求函数 在以下条件(1)下的极值: (1) 知识点

作拉格朗日函数 得 这是唯一可能的极值点, 在此点体积 V 取最小值. 所求切点为 解方程组 所求四面体的最小体积为 问题转化为求函数 在以下条件(1)下的极值: (1) 知识点

解