第二章 导数与微分 第二节 函数的微分法 一、导数的四则运算 二、复合函数的微分法
一、导数的四则运算 定理 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 则它们的和、差、积与商 在 x 处也可导， 且 (u(x) v(x)) = u(x) v (x); (u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
证 上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个． 因为 u (x + x) - u(x) = u， 即 u (x + x) = u(x) + u， 同理有 v (x + x) = v(x) + v . 令 y = u(x)v(x)， 则 y = u(x + x) v(x + x) - u(x)v(x) = [u(x) + u] · [v(x) + v] - u(x)v(x) = u(x)v + v(x)u + u v .
所以
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数). 推论 2
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0). (5cos x) = 5(cos x)， 又(x4) = 4x3， (cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0， 故 f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x . f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例 2 设 y = xlnx ， 求 y . 解 根据乘法公式，有 y = (xlnx) = x (lnx) + (x)lnx
例 3 设 求 y . 解 根据除法公式，有
例 4 设 f (x) = tan x， 求 f (x). 解 即 (tan x) = sec2x . 同理可得 (cot x) = - csc2x .
例 5 设 y = sec x， 求 y . 解 根据推论 2，有 即 (sec x) = sec x tan x . 同理可得 (csc x) = - csc x cot x .
另外可求得 (以后补证)
二、复合函数的微分法 定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且 或 或
证 设变量 x 有增量 x， 相应地变量 u 有增量 u， 从而 y 有增量 y. 由于 u 可导， 即
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导， 且
例 6 设 y = (2x + 1)5，求 y . 解 把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5看成是 y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 由于 所以
例 7 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式， 这里， 我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而 所以
例 9 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成， 所以 复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.
例 10 求 y . 解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中. 这样可以直接写出下式
例 12 设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x). 解
例 13 求 y . 解 这个复合函数有三个复合步骤 把这些中间变量都记在脑子中．
例 15 求 y . 解
例 16 ,求 y . 解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.
例 17 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式 y = cos(xln x) · (xln x) = cos(xln x) · (x · (ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
例 19 解 先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式， 然后又会遇到复合函数 的求导.
例 20 设 y = sh x， 求 y . 解 即 (sh x) = ch x . 同理可得 (ch x) = sh x .
补证一下 (x) = x -1 . 所以 (x) = (elnx) = elnx · (ln x)