3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数
这就是说,常数的导数等于零 下面我们求几个常用函数的导数。 1 、求函数 ( c 是常数)的导数。 2 、求函数 的导数。 解:(1)求增量: (2) 算比值: (3)取极限: 这就是说,常数的导数等于零 2 、求函数 的导数。 解:
探究:P13 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x 的图象,并根据导数定义,求它们的导数。 (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k 0)增(减)的快慢与什么有关? y x O
3、 函数 的导数 解: 4、 函数 的导数 解:
探究:P14 一般地,可以证明幂函数 ( 是任意实数)的导数公式为 一般地,可以证明幂函数 ( 是任意实数)的导数公式为 探究:P14 从图知:当x<0时,函数减少得快; 当x>0时,函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数: 解:
练习2 求下列函数的导数: 解:
练习3
为了方便,以后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表:
课堂练习P18 解: 1、运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则,重新求解 1.1节例1。你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷? 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却 和加热。如果第x h时,原油的温度(单位:0C)为f(x)=x2- 7x+15( ).计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。 解:
思考:P15 例1、 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 p(t)=p0(1+5%)t, 其中p0为t=0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 思考:P15
下面“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加、减、 乘、除的求导问题: 导数运算法则
课堂小结 1、熟记以下导数公式: 2、熟记运算法则 (1) (C)‘=0 (2) ( 3) (4) (5) (6) (7) (8)
练习:求下列函数的导数:
例3、 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯度的提高,所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯度为x%时所需费用(单位:元)为 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%; (2)98%。 函数f(x)在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢。 由上述计算可知, 它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90%左右时净化费用的变化率的25倍。 这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快。
四、小结: 1、充分掌握函数的四则运算的求导法则. 2、先化简,再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略. 3、在解决与曲线的切线有关的问题时,应结合函数与方程的思想,解析几何的基本方法和理论来求解.解决问题时,关键在与理解题意,转化、沟通条件与结论,将二者有机地统一起来.