导数及其应用

◆导数 Derivative的概念 函数 自变量 函数 导数 其它形式 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果 例题 设 ，求 解 所以 如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果 其结果表示是x的函数，称之为导函数。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆基本导数公式 记熟、记牢、记准 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆函数的和差积商的求导法则 你记住了吗？ 特别 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例1 设 解 例2 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例3 设 解 练一练 求下列函数的导数 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆复合函数的求导法则 推广 链式法则 Chain Rule 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例6 设 解 因为 所以 代入 例7 设 可分解为 解 所以 也可以不写出中间变量 2017/9/10-23:23:20 例6 设 解 因为 所以 代入 例7 设 可分解为 解 所以 也可以不写出中间变量 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例8 设 由外及里，环环相扣 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

练一练 求下列函数的导数 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例9 解 例10 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

练一练 求下列函数的导数 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆高阶导数 ——导函数的导数 函数 一阶导数 二阶导数 三阶导数 n阶导数 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

练一练 求下列函数的二阶导数 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。 ◆隐函数的导数 隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导。 例12 求由方程 确定的隐函数的导数 将方程两边同时对 x 求导，得： 解 注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。 所以 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例 求由方程 所确定的隐函数 的导数 解 将方程两边同时对 x 求导，得： 因为当 x = 0时，从原方程可以解得 y = 0 所以 例 求由方程 所确定的隐函数 的导数 解 将方程两边同时对 x 求导，得： 因为当 x = 0时，从原方程可以解得 y = 0 所以 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

注意：y是x的函数，siny则是x的复合函数。 例 求由方程 所确定的隐函数 的导数 解 将方程两边同时对 x 求导，得： 注意：y是x的函数，siny则是x的复合函数。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

将方程两边同时对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得： ◆幂指函数的导数 转化为初等函数，直接求导法 例14 解法1 转化为隐函数，对数求导法 解法2 两边取对数，得 将方程两边同时对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得： 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

一般地，幂指函数 的求导，可有两种方法， 都可得到一般公式： 如 练习 设 解答 2017/9/10-23:23:20 一般地，幂指函数 的求导，可有两种方法， 都可得到一般公式： 如 练习 设 解答 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算 为主的函数的求导。 ◆对数求导法 例15 解 两边取对数，得 两边对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得： 对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算 为主的函数的求导。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

练一练 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆由参数方程所确定的函数的导数 注意一阶导数也是 t 的函数 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。 例16 求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

练习 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

练一练 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆单侧导数 左导数 右导数 函数在点x0处可导 左导数和右导数都存在，并且相等。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例5 已知 解 因为 所以 ，从而 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆导数的几何意义 的切线方程为 法线方程为 法线是过切点且与切线垂直的直线 x y o T M 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例6 求双曲线 在点 处的切线方程和法线方程。 解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为 所以，所求切线方程为 即 所求法线的斜率为 例6 求双曲线 在点 处的切线方程和法线方程。 解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为 所以，所求切线方程为 即 所求法线的斜率为 所求法线方程为 即 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例 曲线 在点 处的切线平行于直线 例 曲线 在点 处的切线垂直于直线 例 曲线 在点 处的法线垂直于直线 例 曲线 在点 处的切线平行于直线 例 曲线 在点 处的切线垂直于直线 例 曲线 在点 处的法线垂直于直线 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆函数的可导性与连续性的关系 可导 连续 连续是可导的必要非充分条件 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

函数 f (x) 在某点连续，却不一定在该点可导。 例7 讨论函数 在点 的连续性和可导性。 解 故函数在点 x=0 处连续 不存在 故函数 f (x)= |x| 在点 x=0 不可导 函数 f (x) 在某点连续，却不一定在该点可导。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

解 因为函数在x=2点可导，所以函数在该点连续。 例8 设 在 点可导，求常数 的值。 解 因为函数在x=2点可导，所以函数在该点连续。 所以有 即有 （1） 又 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

又 所以 代入（1）式得 所以 即为所求。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆函数的微分 结论： 可导 可微，且 一般形式 一一对应 导数公式 微分公式 2017/9/10-23:23:20 可导 可微，且 一般形式 导数公式 微分公式 一一对应 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆复合函数的微分法则和微分形式不变性 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例1 解 例2 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例3 解 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

求由方程 确定的隐函数的微分 解 两边同时微分，得 即 所以，所求微分为 例4 2017/9/10-23:23:20 求由方程 确定的隐函数的微分 解 两边同时微分，得 即 所以，所求微分为 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆罗尔定理 Rolle Theorem 若函数 满足： x y (1) 在闭区间 上连续 (2) 在开区间 内可导； (3) 则在 (1) 在闭区间 上连续 (2) 在开区间 内可导； (3) 则在 内至少存在一点 ，使 罗尔定理的几何意义 连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的. 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例1 验证函数 在区间 上满足罗尔 定理，并求出定理中的 值。 解 因为函数在 上连续，在 内可导，且 所以，函数在 上满足罗尔定理 而 得 例1 验证函数 在区间 上满足罗尔 定理，并求出定理中的 值。 解 因为函数在 上连续，在 内可导，且 所以，函数在 上满足罗尔定理 而 得 令 所以， 即为所求的点。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆拉格朗日中值定理 lagrange Theorem 若函数 满足： x y (1) 在闭区间 上连续； (2) 在开区间 内可导； 则在 内至少存在一点 ，使 几何意义: 连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线，则弧上至少至少存在一点 ，使得曲线在点 处的切线平行弦AB。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

推论：如果函数 f (x)在区间I上的导数恒为零，那末 f (x) 在区间I上是一个常数 例 证明 证明 令 则 在 内满足Lagrange中值定理 而 所以 而 所以 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例2 因为 所以 解 由Lagrange中值定理可知 即 所以 即为所求。 练习 解答 2017/9/10-23:23:20 所以 即为所求。 练习 解答 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例3 解 所以 即 所以 解题思路： 构造有关的函数 确定应用区间 应用Lagrange定理 计算导数后的等式 转化为不等式 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆洛必达法则 若 属 类型的极限问题，则可考虑用洛 必达法则，如果 存在或为 ，则 注意：法则只能解决 存在时，未定式 若 属 类型的极限问题，则可考虑用洛 必达法则，如果 存在或为 ，则 注意：法则只能解决 存在时，未定式 的定值问题。即如果 不存在，也不是 ， 则法则失效。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例1 求下列极限 型 型 解 原式 解 原式 型 解 原式 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算。 例2 求极限 解 这是 型的未定式，且当 时， 所以，原式 适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算。 练习 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆其它形式的未定式的定值 （1）形如 的未定式 解题方法：将未定式变形 例3 求极限 解 原式 2017/9/10-23:23:20 （1）形如 的未定式 解题方法：将未定式变形 例3 求极限 解 原式 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆其它形式的未定式的定值 （2）形如 的未定式 解题方法：将未定式变形 例4 求极限 解 原式 2017/9/10-23:23:20 （2）形如 的未定式 解题方法：将未定式变形 例4 求极限 解 原式 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆其它形式的未定式的定值 （3）形如 的未定式 解题方法：将未定式先取自然对数、变形， 再按情形（1）处理 （3）形如 的未定式 解题方法：将未定式先取自然对数、变形， 再按情形（1）处理 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例5 求极限 解 令 则 而 所以 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例6 求极限 解 令 则 而 所以 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例7 求极限 解 令 则 所以 所以 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

求下列极限 练习 （提示：利用等价无穷小替换） 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆函数的单调性 o o y x a b 函数单调递增，则 函数单调递减，则 y a b x 由Lagrange中值定理： 于是有函数单调性的判别定理 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆函数单调性的判别定理 设函数 在 上连续，在 内可导，则 （1） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递增的。 设函数 在 上连续，在 内可导，则 （1） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递增的。 （2） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递减的。 例1 判别函数 的单调性。 解 因为 所以，函数在 内是单调递增的。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

+ _ 3 -1 例2 求函数 的单调区间 解 因为 令 得驻点 列表讨论 所以，函数在 及 内单调增加，在 内单调减少。 例2 求函数 的单调区间 解 因为 令 得驻点 列表讨论 + _ 3 -1 所以，函数在 及 内单调增加，在 内单调减少。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在 的点可将单调区间分开。 例3 求函数 的单调区间 解 因为 当 时， 不存在 当 时， ，当 时， 所以，函数在 内单调增加，在 内单调减少。 小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在 的点可将单调区间分开。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点； （3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导 数的符号； 小结： 求函数的单调区间的一般方法： （1）求函数的一阶导数； （2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点； （3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导 数的符号； （4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例4 证明不等式 证明 令 则 所以，当 时，不等式 成立。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆函数的极值 由于函数在不同的区间的单调性不同， 因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数 值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称 之为函数的极大、极小值。 -1 3 例如 极值的概念：如果函数 在点 的某邻域内有定义，对于 该邻域内任意异于 点的 ，都有 ，则称 为函数的一个极小值；如果有 ，则称 为函数 的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取 得极值的点称为函数的极值点。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆函数的极值说明 函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性 （1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值； 如函数Y=x 在区间 [1，2] 内既无极大值，也无极小值。 （2）可以缺少其一； 如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆极值存在的必要条件（费马定理） 函数的极值点是驻点或导数不存在的点。 费马定理的逆定理不成立。 如果函数 在点 处可导，且在点 处有极值， 如果函数 在点 处可导，且在点 处有极值， 则 导数为零的点称为函数的驻点。 函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。 函数的极值点是驻点或导数不存在的点。 费马定理的逆定理不成立。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆极值存在的第一充分条件 设函数 在点 的某个邻域内可导（点 可除外） 则 在点 处取得极大值； 则 在点 处取得极小值； 设函数 在点 的某个邻域内可导（点 可除外） 则 在点 处取得极大值； 则 在点 处取得极小值； 则 在点 处无极值； 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

+ _ 3 -1 例1 求函数 的极值 解 因为 令 得驻点 列表讨论 极大值 所以，函数有极大值 ，有极小值 。 例1 求函数 的极值 解 因为 令 得驻点 列表讨论 + 极小值 极大值 _ 3 -1 所以，函数有极大值 ，有极小值 。 一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点， 必须按第一充分条件进行判别。 例2 求函数 的极值 解 因为 当 时， 不存在 当 时， ，当 时， 所以，函数有极小值 。 例3 求函数 的极值 解 因为 所以，函数无极值。（虽然有 ） 小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点， 必须按第一充分条件进行判别。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

o 练习 解 单调增区间为(-∞,0)和(1,+∞) 单调减区间为(0,1) f (0)=0为极大值；f (1)=-1/2 为极小值 ↗ ↘ 极大值0 + _ 不存在 (1,+∞) 1 (0,1) (-∞,0) 单调增区间为(-∞,0)和(1,+∞) 单调减区间为(0,1) o 1 f (0)=0为极大值；f (1)=-1/2 为极小值 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆极值存在的第二充分条件 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时， 使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必 须用第一充分条件判别。 例4 求函数 的极值 解 因为 所以，函数有驻点 而 所以 所以，函数有极大值 ，有极小值 。 注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时， 使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必 须用第一充分条件判别。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆函数的最大值与最小值 已有结论：如果函数在 [a,b]上连续，则函数在该区间上 一定有最大值和最小值。 由极小值的特性，可知： 极小值 最小值；极大值 最大值 求函数最值的一般步骤与方法 （1）求函数的导数； （2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存 在的点； （3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并 比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即 为函数在区间上的最小值。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例5 求函数 在 上的最值。 解 因为 令 得 而 所以函数 在 上的最大值是 最小值是 2017/9/10-23:23:20 例5 求函数 在 上的最值。 解 因为 令 得 而 所以函数 在 上的最大值是 最小值是 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆曲线的凹凸向及拐点 o o 定义 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该 定义 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该 曲线弧是（向上）凹的（concave)； 如果曲线弧总位于它的每 一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的(convex) y o a b x y x o a b 凹弧 凸弧 凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflection point)。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

◆凹凸弧的判别定理 定理 设函数 在区间 上具有二阶导数 ，则在 该区间上： （1）当 时，曲线弧 是向上凹的； 定理 设函数 在区间 上具有二阶导数 ，则在 该区间上： （1）当 时，曲线弧 是向上凹的； （2）当 时，曲线弧 是向上凸的。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

判断曲线 y=lnx 的凹凸性 例1 试证明函数 的图形是处处向上凹的。 证明 函数的定义域为 所以，函数的图形在 内是向上凹的。 例1 试证明函数 的图形是处处向上凹的。 证明 函数的定义域为 所以，函数的图形在 内是向上凹的。 判断曲线 y=lnx 的凹凸性 内是凸的。 解答 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。 解 函数的定义域为 因为 令 得 列表 2017/9/10-23:23:20 例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。 解 函数的定义域为 因为 得 令 列表 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。 解 函数的定义域为 因为 令 得 所以，曲线在 及 内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点 及 。 例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。 解 函数的定义域为 因为 得 令 所以，曲线在 及 内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点 及 。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com

所以，曲线在 内是向上凹的，在 内是向上凸的。 有拐点 。 例3 求曲线 的凹凸区间及拐点。 解 因为 所以，当 时， ，当 时， 所以，曲线在 内是向上凹的，在 内是向上凸的。 有拐点 。 2017/9/10-23:23:20 zjz4404@163.com