第五章导数和微分 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。

重点 难点 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。 重点 导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导 难点 导数的实质，用定义求导，链式法则

基本要求 ①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质 ②会用定义求导数 ③熟记求导基本公式 ④牢固掌握链式法则 ⑤掌握隐函数和参量函数求导法 ⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法 ⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用 一阶微分的形式不变性

5.1 导数的概念 一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得

上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 速度反映了路程对时间变化的快慢程度

2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放

如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 如图, 极限位置即

二、导数的定义 定义

即 其它形式

关于导数的说明： 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质

2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. 注意: 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. 播放

单侧导数 1.左导数: 2.右导数: ★

三、由定义求导数（三步法） 步骤: 例1 解

例2 解

例3 解 更一般地 例如,

例4 解 特别地

例5 解 特别地

例6 解

四、导数的几何意义与物理意义 1.几何意义 切线方程为

法线方程为 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为

例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为

2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.

五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证

注意: 该定理的逆定理不成立. 连续函数不存在导数举例 例如,

1 例如,

例如, 1 1/π －1/π

例8 解

六、函数极值的定义

定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

Fermat定理 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如,

注 可疑极值点：驻点、不可导点 ①这个结论又称为Fermat定理 ②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点 可疑极值点：驻点、不可导点

七、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 不连续,一定不可导. 6. 判断可导性 直接用定义; 连续 看左右导数是否存在且相等.

作业 p94 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 思考题

思考题解答

5.2 求导法则

和、差、积、商的求导法则 定理

证(1)、(2)略. 证(3)

推论

例题分析 例1 解 例2 解

例3 解 同理可得

例4 解 同理可得 例5 解 同理可得

例6 解

隐函数的导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时

将求出的这些导数代入 得到关于 的代数方程， 至于隐函数求二阶导数，与上同理

例1 解 解得

例2 解 所求切线方程为 显然通过原点.

例3 解

补证反函数的求导法则 由隐函数的微分法则

例4 解

例5 求证抛物线 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a

证 故曲线上任一点 处切线的斜率为 切线方程为

故在两坐标轴上的截距之和为 对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦

观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。 --------对数求导法 适用范围: 例6 解 等式两边取对数得

例7 解 这函数的定义域

两边取对数得 两边对 x 求导得 两边取对数得

两边对 x 求导得 同理 例8 解 两边取对数得

两边对 x 求导得 例9 解 两边取对数得 两边对 x 求导得

例10 解 等式两边取对数得

一般地

三、小结 注意: 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导;

作业 p102 1, 2, 3, 4. 思考题 求曲线 上与 轴平行的切线方程.

思考题解答 令 切点为 和 所求切线方程为

5.3 由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导?

——参量函数 由复合函数及反函数的求导法则得

例11 解

所求切线方程为

例13 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该 曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线 上点 处的切线的直角坐标方程

解 由极坐标和直角坐标的变换关系知 切线斜率为

故切线的直角坐标方程为 例14

解

相关变化率

相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例15 4000m 解

水面上升之速率

五、小结 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解. 作业 p105 1, 2, 3.

思考题

思考题解答 不对．

5.4高阶导数 一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 定义

记作 二阶导数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

二、 高阶导数求法举例 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 解

例2 解

例3 解

例5 解 同理可得

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式 注意: 例4 解

例6 解

2. 高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式

例7 解

例8 解 由Lebniz公式，两边求 n 阶导数，有

注意到 注 这一解法的特点：找到了 的连续三阶导数之间的关系，利用 得到两相隔导数之间的关系，解决问题

3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式

例9 解

例10 解

试从 导出 例11 ① ② 解 ①

②

注 ①关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪 一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。 ② 都是对 x 求导 ③

容易漏掉

例12 证

三、小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法.

作业 p109 1, 2, 3, 4, 5, 6. 思考题 设 连续，且 ， 求 .

思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求

5.5 函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 5.5 函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。

一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

二、微分的定义 定义 (微分的实质)

由定义知:

三、可微的条件 定理 证 (1) 必要性

(2) 充分性

由微分的定义及上述定理可知

这表明 不仅是比 高阶的无穷小，而且也是比 高阶的无穷小，因此

四、微分的几何意义 几何意义:(如图) T N P M ）

五、微分的求法 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式

2. 函数和、差、积、商的微分法则

例1 解 例2 解

六、微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性

例3 解 例4 解

例5 解一 两边同时求微分得 解二 两边取对数得

两边对 x 求导，有 由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法 在本质上并没有区别，因此把两者统称为微分法

七、微分在近似计算中的应用 1.计算函数的近似值

2.常用近似公式 证明

八、小结 微分学所要解决的两类问题: 导数与微分的联系: 函数的变化率问题 导数的概念 函数的增量问题 微分的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学. 导数与微分的联系:

导数与微分的区别:

近似计算的基本公式

作业 p116 1, 2, 3 ,4, 5. 思考题

思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.

习 题 课

一、主要内容 关 系 基本公式 导 数 微 分 高阶导数 高阶微分 求 导 法 则

1、导数的定义 单侧导数 2、基本导数公式 3、求导法则 左导数，右导数，可导的充要条件 常、反、对、幂、指、三、双曲——18个公式 （常数和基本初等函数的导数公式） 常、反、对、幂、指、三、双曲——18个公式 3、求导法则

4、高阶导数 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则——注意不要漏层 (4) 对数求导法——注意适用范围 (5) 隐函数求导法则——注意y的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则——注意不要漏乘 4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数) 方法：逐阶求导

5、微分的定义 6、导数与微分的关系 7、 微分的求法 8、 微分的基本法则 微分的实质 基本初等函数的微分公式 函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性——复合函数的微分法则

二、典型例题 例1 解 例2

解 例3 求下列函数的导数 ①

②

③ 解

第二个方程两边对 t 求导得 ④

2001个 例4 A.充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要

证一 则

证二

设 确定了 求 例5 解 两边对 x 求导得

例6 解 分析: 不能用公式求导.

例7 解

例8 设 在 x = a 处连续，讨论 ① ② ③ 在 x = a 处的可导性 解 ① 在 x = a 处可导 ②

在 x = a 处不可导 在 x = a 处可导

③ 在 x = a 处可导 例9 在什么条件下，函数 ① ② ③ ④

解 首先注意到 是初等函数，连续 ① 因此要使 要使 ②

存在 此时 ③ 要使

注 ④ 要使 存在 此时 通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导 的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续，再到二阶可导，所要求的条件逐步加强。

例10 解一 联立解得 解二 联立方程组

两边对 x 求导 解得 例11

证 在 中令 有 再由 得 注意到 存在

例12 设 对所有的 x，有 证明 证 两边同除以 得

由 由夹逼定理得

例13 证 不妨设 观察下图 x y o y=f(x) a b

由 及函数极限的保号性质可知 使当

由于f ( x )在[ x1 , x2 ]上连续 故由零点定理知 使 例14 选择常数 a , b , c，使函数 二次可微 证 依题设知

是一多项式，也是二次可微 因此要想使F(x)二次可微，只须使其在x=x0处二次可微 F(x)在x0处连续 F(x)在x0处可导 F(x)在x0处二阶导数存在 由F(x)在x0处连续

其次由F(x)在x0处可导 此时 最后由F(x)在x0处二次可导