§3 微分及其运算 一、微分的定义 二、基本初等函数的微分公式与 微分运算法则
一、微分的定义 1.引例:圆形金属薄片受热后面积的改变量. 设有半径为 的圆形金属薄片, 受温度 升高影响， 半径增加了 则面积增量为 其中第一部分 是 的线性函数, 第二部分 是 时比 高阶的无穷小, 因此, 当 很小时， 第一部分是 的主要部分， 故我们可以用第一部分近似 计算金属薄片的面积改变量， 即
这一近似公式很容易计算， 其误差为 当 很小时， 误差是非常小的． 既容易计算又是较好的近似值 问题:类似的线性函数(改变量的主要部分)是否对所有函数的改变量都有? 有的话，它是什么? 如何求之?
2.微分的定义
3.函数可微的条件 证 必要性 设函数 在点 处可微, 即 上式两边同除以 得
所以 这说明函数 在点 处可导, 且 充分性 设函数 在点 处可导, 即 由极限与无穷小的关系得 其中 故 因为 与 无关, 且 所以由微分 定义知函数 在点 处可微, 且
特别地， 当 时， 因为 所以 因此以后我们将（2）式中的 写成 称之为自变量 的微分, 于是函数 的微分 （3） 比如
注 如果将（3）式写成 则它表明函数的 导数就等于函数的微分与自变量的微分的商， 因此，导数 也叫做微商. 4.微分的几何意义 如图所示． 当自变量 由 变到 时， 相应的函数值的增量 曲线在点 处的切线 的方程为 由于该方程右端 所以切线方程为
这表明微分 在几何上表示的是切线 上相应两点 的纵坐标增量. 且 很小时, 有 当 这表明，在点 附近， 我们可以用切线 近似代替原来的曲线 例1 求函数 当 由 改变到 时函数值的增量微分与微分. 解 函数的微分为 由已知条件 故
二、基本初等函数的微分公式与 微分运算法则 注 在例1中，近似公式 的误差为 二、基本初等函数的微分公式与 微分运算法则 求法: 求出函数的导数, 再乘以自变量的微分即可. 1.基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
3.复合函数的微分法则——微分的形式不变性 结论： 微分的形式不变性
例2 设 求 解 因为 所以 或者由微分的形式不变性，有 例3 求 的微分. 解
例4 在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成立. 解 作业：P107: 1; 2.(1) (3) (5); 3. (6) (8)