第二章 控制系统的数学模型 2.1控制系统的微分方程 2.2控制系统的传递函数 2.3 动态结构图

概述 1. 数学模型 ------描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式 2. 建模的基本方法: 机理建模法(解析法) 实验辩识法 3. 经典控制理论中数学模型的主要形式: 微分方程 传递函数 动态结构图

第一节 系统的微分方程 一、 线性系统微分方程的建立 第一节 系统的微分方程 一、 线性系统微分方程的建立 1. 确定系统和各元件的输入量(给定量和扰动量) 与输出量(被控制量, 也称为系统的响应) 2.  列写系统各部分的微分方程 3. 消去中间变量, 求出系统输入、输出变量的微分方程 4. 标准化。

【例2-1】 RLC串联电路的微分方程 解: (1) 定输入输出量:ui(t) ----输入量, uo(t) ----输出量 (2) 列写微分方程，由基尔霍夫定律 (3)消去中间变量并标准化

【例2-2】 弹簧 – 质量 – 阻尼器组成的机械位移系统的微分方程 解: (1)设外力为输入量，质量块的位移量为输出量 (2) 列写微分方程，根据牛顿定律: (3)消去中间变量并标准化

【例2-3】确定图2.3所示电枢控制的他励直流电动机的微分方程 解 （1）取电枢电压 为输入量，电机转速 为输出量 （2）建立微分方程组: 电枢回路电压平衡方程 电动机电磁转矩方程

电动机的机械运动方程 消除中间变量，使方程标准化： 当取电枢电压 为输入量，电机角位移 为输出量时，因为 ，所以电动机的微分方程为：

【练习】 图为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。

一、传递函数的基本概念 1、定义：在初始条件为零时，系统输出量G(s)的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。 第三节 传递函数 一、传递函数的基本概念 1、定义：在初始条件为零时，系统输出量G(s)的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。 r(t) R(s) c(t) C(s) G(s)

拉普拉斯变换 定义 线性定理 延迟定理 微分定理 积分定理

设系统微分方程的一般形式为 当初始条件均为零时，由拉普拉斯变换有 令 称为系统的传递函数。

传递函数性质 传递函数是复变量的有理真分式，只适用于线性定常系统。 传递函数无法反映系统内部中间变量的传递关系。 传递函数描述的是系统所固有的动态特性，因此它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入无关。 传递函数不能反映系统所具有的物理性质。 系统传递函数的分母多项式被称为系统的特征多项式，它决定了系统暂态响应的基本特点和动态本质。 可用因式连乘的形式来表示传递函数的分子与分母多项式

二、 典型环节及其传递函数 1、 比例环节 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 二、  典型环节及其传递函数 1、   比例环节 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。

2、   惯性环节 特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。

3、 积分环节 特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 3、   积分环节 特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。

4、  微分环节 纯微分环节 一阶微分环节 特点：输出与输入信号对时间的响应成比例，反映的是输入信号的变化率，而不是输入信号本身的大小。

5、 振荡环节 或 ξ－阻尼比 自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率） 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。 5、   振荡环节 ξ－阻尼比 自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率） 或 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。

6、 延迟环节: －滞后时间常数 特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。

三．控制系统传递函数的求取 例 求例1的R、L、C串联电路的传递函数 解： 由微分方程 则 对电网络,可直接利用复阻抗,令 Z1 = R + Ls , Z2 = 1/Cs 元件 交流阻抗 复阻抗 R L jωL SL C 则

例 求传递函数

第三节 动态结构图 方框图的基本概念 1. 定义 由具有一定函数关系的环节组成的，且标有信号流向的图称为方框图。 2．组成: 方框图 第三节 动态结构图 方框图的基本概念 1.   定义 由具有一定函数关系的环节组成的，且标有信号流向的图称为方框图。 2．组成: 方框图 信号流线(带箭头线段) 分支点 相加点

3.意义： （1）根据方框图可了解系统中信号的传递过程和各环节之间的联系。 （2）利用方框图的等效化简，可求出输出与输入间的传递函数。 4．绘制 先绘各部分的方框图，再按信号传递关系连接 结论：系统的动态结构图形象而直观地表达了一个动态系统中各环节的传递函数及相互关系，是系统形象化的动态模型，且具有数学性质，可以通过代数运算和等效变化方便地求得系统的传递函数。

例2-4 绘制系统的动态结构图

动态结构图的等效变换 两类：1.环节的合并 2. 相加点或分支点的等效移动 遵循的原则：变换前后的数学关系保持不变。即： 变换前后前向通道的传递函数的乘积保持不变 变换前后回路的传递函数的乘积保持不变

（一）环节的合并 环节连接的三种基本形式：串联，并联和反馈 1. 环节的串联： G(s) = G1(s)G2(s)G3(s) 推广到n个环节串联： 注意：环节间必须无负载效应

2. 环节的并联： G(s) = G1(s) + G2(s) + G3(s)  推广到n个环节并联：

3. 反馈

（二）信号相加点和信号分支点的等效变换 相加点前移：乘以所跨越传函的倒数 相加点后移 ：乘以所跨越传函 分支点前移：乘以所跨越传函 分支点后移：乘以所跨越传函的倒数 保证移动后加入或引出的信号与移动前相同 注意：相邻的相加点和引出点之间位置不能简单互换。

信号分支点的等效变换

信号相加点的等效变换

相加点与分支点间的移动

例2.6 求图2.19所示RLC网络的传递函数。 Ei E Eo I1 I I2 + － Ei E Eo + － R1 C2s

R1C2S + - Ei Eo R1C2S + - Ei Eo

R1C2S + - Ei Eo Ei Eo

例2.7 试简化结构图并求系统的传递函数 解：简化

系统传递函数

梅逊公式 为特征式，且 所有回路的回路传递函数之和 所有两两互不接触回路的回路传递函数乘积之和 所有三个互不接触回路的回路传递函数乘积之和 从输入端到输出端，系统前向通道的个数 第k条前向通道上各环节传递函数之积 称为余子式，是在中把与第k条前向通道相接触的回路所在项除去后剩下的部分。

例2.7 试简化结构图并求系统的传递函数 解： 代入梅逊公式

例2.8 试简化结构图并求系统的传递函数 解：系统有五个闭环回路 系统没有两两互不接触的回路， 则特征式为

系统有四条前向通道 各前向通道和各回路相互接触，所以有 将上述各式代入梅逊公式得系统的传递函数为

三、反馈控制系统的传递函数 在实际的控制中，控制系统通常受两类信号的影响，一类受作用于输入端的参考输入信号，另一类是扰动信号。 系统的开环传递函数被定义为系统反馈信号与误差信号的比值，即：

系统的闭环传递函数分为参考输入信号作用下的闭环传递函数和扰动信号作用下的闭环传递函数。 1、参考输入信号 作用下（令 ） 闭环传递函数 若反馈通道上 ，则称系统为单位反馈系统

2、扰动输入信号 作用下（令 ） 闭环传递函数

3、在参考输入信号 和扰动输入信号 共同作用下的输出 3、在参考输入信号 和扰动输入信号 共同作用下的输出 由线性系统的叠加原理可知，系统的总输出是它们单独作用时系统的输出之和。即

系统的误差传递函数 系统的误差传递函数也分为参考输入信号作用下的误差传递函数和扰动信号作用下的误差传递函数。 前者反映系统输出跟随输入信号的能力，后者反映系统抗干扰能力。

1、参考输入信号 作用下的误差传递函数 2、扰动输入信号 作用下的误差传递函数

3、在参考输入信号 和扰动输入信号 共同作用下的误差 系统总的误差是它们单独作用所产生误差之和。

本章小结 本章作业： 建立系统微分方程的方法 传递函数的概念和性质 传递函数和微分方程之间的关系 反馈控制系统的传递函数 结构图的绘制和等效变换 梅逊公式及其应用 本章作业： 2.2（b)，2.3(a)，2.5 ，2.6，2.8(b)，2.10(a)，2.11(b)