§9 势垒贯穿 (一）引言 （二）方程求解 （三）讨论 （四）应用实例

(一）引言 势垒穿透是粒子入射被势垒散射的 一维运动问题。典型势垒是方势垒， 其定义如下： V(x) V0 E 现在的问题是已知粒子以 0 a V(x) V0 I II III E 现在的问题是已知粒子以 能量 E 沿 x 正向入射。

（二）方程求解 （1）E > V0 情况 上述三个区域的 Schrodinger 方程可写为： 因为 E > 0, E > V0, 所以 k1 > 0, k2 > 0. 上面的方程可改写为：

波函数意义 2. 波函数导数连续 1. 波函数连续 定态波函数ψ1,ψ2,ψ3 分别乘以含时因子 exp[-iEt/] 即可看出： 式中第一项是沿x正向传播的平面波，第二项是沿x负向传播的平面波。由于在 x > a 的III 区没有反射波，所以 C'=0，于是解为： 利用波函数标准条件来定系数。 首先， 解单值、有限条件满足。 2. 波函数导数连续 1. 波函数连续 综合 整理 记之

3. 求解线性方程组 4. 透射系数和反射系数 求解方程组得: I 透射系数： 透射波几率流密度与入射波 II 反射系数： 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被 势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。 4. 透射系数和反射系数 I 透射系数： 透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为透射系数 D = JD/JI II 反射系数： 反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为反射系数 R = JR/JI 其物理意义是：描述贯穿到 x > a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂 直 x方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x < 0 的 I 区）在 单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比。 下面求 D 和 R

几率流密度矢量： 则入射波几率流密度 对一维定态问题，J 与 时间无关，所以入射波 Ψ = Aexp[ik1x] 所以反射波几率流密度： 对透射波ψ= Cexp[ik1x]， 所以透射波几率流密度： 其中负号表示与入 射波方向相反。

于是透射系数为: 同理得反射系数： 由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势 垒到 x > a 的III区，另一部分则被势垒反射回来。

因 k2=[2μ(E-V0)/ ]1/2，当 E < V0 时，k2 是虚数， 故可令： k2=ik3， 其中k3=[2μ(V0-E)/ ]1/2。 这样把前面公式中的 k2 换成 ik3 并注意到： sin ik3a = i sinh k3a 即使 E < V0，在一般情况下，透射系数 D 并不等于零。 0 a V(x) x V0 隧道效应 （tunnel effect） 入射波+反射波 透射波 粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。下图给出了势垒穿透的波动图象。

（三）讨论 （1）当k3a >> 1时 透射系数则变为： 故4可略 于是： 粗略估计，认为 k1 ≈ k3 （相当于E ≈V0/2）, 则 D0 = 4是一常数。下面通过实例来说明透射系数 的量级大小。

例1: 入射粒子为电子。 例2: 入射粒子换成质子。 设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2× 10-8 cm = 2Å， 算得 D ≈ 0.51。 质子与电子质量比 μp/μe ≈ 1840。 对于a = 2 Å 则 D ≈ 2 × 10-38。 可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。 若a=5× 10-8cm = 5 Å， 则 D ≈ 0.024，可见 透射系数迅速减小。 量子力学提出后，Gamow 首先用势垒穿透成功的说明 了放射性元素的α衰变现象。

此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。 （2）任意形状的势垒 可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。 对每一小方势垒透射系数 0 a b V(x) E dx 则 x1 → x2贯穿势垒V(x)的 透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即 此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。

（四）应用实例 典型实例。 （1）原子钟 （2）场致发射（冷发射） （3）扫描隧穿显微镜（STM）

（1）原子钟 N N’ N N’ 原子钟的频率标准就是利用氨分子( N H3 ) 基态势垒贯穿的振荡频率。 H 氨分子(NH3)是一个棱锥体，N 原子在其顶点上，三个 H 原子 在基底。如图所示： N N’ E 如果N原子初始在N处，则由于隧 道效应，可以穿过势垒而出现在 N’点。当运动能量小于势垒高度 如图中能级 E 所示，则N原子的运动由两种形式组成。 1. R-S之间或T-U之间的振荡（谐振子）； 2. 这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于NH3基态，第二种振荡频率为2.3786× 1010 Hz。这就是原子钟在规定 时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。

（2）场致发射（冷发射） 欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。 但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图(b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。 图 （a） 图 （b）

STM(Scanning Tunneling Microscope) 是观察固体表面 原子情况的 超高倍显微镜。 B I 势能曲线 U0 U E 1。原理 隧道电流 I 与 样品和针尖间 的距离S 关系极为敏感。 扫描探针 样品 A B S 10A

定量关系： s — 样品和针尖间的距离 U — 加在样品和针尖间的微小电压 A — 常数  — 平均势垒高度

2，优点 任何借助透镜来对光或其它辐射进行聚焦的显微镜都不可避免的受到一条根本限制：光的衍射现象。由于光的衍射，尺寸小于光波长一半的细节在显微镜下将变得模糊。而扫描隧道显微镜(STM)则能够轻而易举地克服这种限制，因而可获得原子级的高分辨率 原子尺度上研究物质表面结构、生物样品及微电子技术中有效的实验工具。例如生物学家们研究单个的蛋白质分子或DNA分子；材料学家们考察晶体中原子尺度上的缺陷；微电子器件工程师们设计厚度仅为几十个原子的电路图等，都可利用扫描隧道显微镜(STM)仪器。 扫描隧道显微镜(STM)则是对样品表面进行无损探测，避免了使样品发生变化，也无需使样品受破坏性的高能辐射作用。

用扫描隧穿显微镜拍摄的硅表面的象，每一个 隆起处是一个硅原子。

世界上最小的文字： 1990年1月，美国加利福尼亚州圣何塞IBM阿莫登 研究中心的科学家宣称：他们利用扫描隧穿显微镜移动并重新排列氙和镍表面的单个原子以便出其公司的开头字母：IBM。

1993年美国加州 IBM Almaden 研究中心的研究人员，用扫描隧穿显微镜(STM)操纵，将48个铁原子在铜的表面排列成一个圆圈， 形成量子围栏(Quantum Corral) ，电子被束缚在其中，其波函数形成同心圆状涟漪细浪。

由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。 前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。