量子力学导论 量子力学的基本概念 波粒两象性 不确定关系 波函数及其统计解释 薛定鄂方程 算符与平均值 量子力学应用 返回

波粒两象性 经典物理学中的波和粒子的概念 光的波粒两象性 德布罗意物质波假设 实验验证—戴维孙—革末实验 德布罗意波和量子态 在刚性匣子中的粒子 波和非定域性 返回

经典物理学中波和粒子的概念 返回 粒子的描述：静态属性（颗粒属性）—质量、电荷、大小、自旋等。动态属性（轨道属性）—具有确定的位置和速度。 波的描述：某种物理量在空间的周期性变化（振动的空间传递），描述该变化需要波长、频率、速度、位相等。波具有相干叠加性，波长和频率不可以精确确定，要无限精确测定频率，需花费无限长时间；要无限精确测定波长，需在无限扩展的空间中进行。 返回

波长和频率 返回

光的波粒两象性 光的本性认识 结论 16世纪，笛卡尔提出光的波动说 1672年，牛顿提出光的微粒说 1678年，惠更斯提出光的波动说 19世纪末，菲涅耳、夫琅和费与杨氏等人证实光具有干涉和衍射特性，验证了惠更斯的观点。后来麦克斯韦理论预言电磁波的存在，并由赫兹证实。 1905年，爱因斯坦提出光量子说，给出光子能量为hν 1917年，又提出光还有动量，P=h/λ 结论 光既具有波动性又具有粒子性，光在传播时显示波动性，在转移能量时显示出粒子性。 返回

德布罗意物质波假设 1923-1924年，德布罗意提出物质波假设 普朗克常数的意义 物质粒子都具有波动性和粒子性 给出波和粒子重要的关系式：P=h/λ 普朗克常数的意义 是量子化的量度，即它是表征不连续程度（分立性）的标度 普朗克常数h 在物质的波动性和粒子性之间架起了一座桥梁 ！！两种概念之间存在关联 返回

实验验证—戴维孙—革末实验 1925年，戴维孙和革末利用电子在镍上的散射实验意外的证明了电子的波动性

实验验证—戴维孙—革末实验 强束的出射条件 返回

德布罗意波和量子态 电子的波长: λ=h/p=h/(mv) L=nh/(2 π)=rmv 电子稳定运动条件：2πr=nλ n=1,2,…… 原子中电子波是稳定驻波 返回

在刚性匣子中的粒子 由经典理论出发： 由量子理论出发： 动能：Ek=mv2/2 周期：T=2d/v 驻波条件：n λ /2=d, n=1,2,…….. 由德布罗意关系式：p=h/ λ，和非相对论动能公式： Ek=p2/(2m) 得到动能和动量均为量子化的： P=nh/(2d)；Ek=n2h2/(8md2)

*假设粒子为电子，d=0.4nm, Ekmin=2.3eV *假设粒子质量为9.1mg, d=4cm, Ekmin=2.3X10-41eV 最小能级间隔为6.9X10-41eV

波和非定域性 从德布罗意波的观点看，玻尔的氢原子实际上就是一个德布罗意波被关在库仑势场中 返回 电子动能为：Ek=n2h2/(8 π 2mr2) 电子总能量：E= n2h2/(8 π 2mr2) – e2/(4 π ε0r) 微分上式求得：r=a0n2 导出氢原子能量为： E1=-13.6eV/n2 返回

不确定关系 不确定关系的表述和含义 不确定关系的简单说明 应用举例 互补原理 返回

不确定关系的表述和含义 不确定关系（又名测不准关系） 应用 1927年海森伯首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律。 从量子力学角度来看，描述微观粒子的两个物理量（算符），如果不能对易，则不能同时被确定。 应用 分析玻尔的氢原子轨道概念 返回

分析玻尔的氢原子轨道概念 电子的第一玻尔半径 玻尔第一轨道速度及动量 动量的不确定度 假设动量不确定度为1%，则位置不确定度为2.6nm。 r1=0.053nm 玻尔第一轨道速度及动量 v1=αc ； p1=m v1=mαc 动量的不确定度 假设动量不确定度为1%，则位置不确定度为2.6nm。 返回

不确定关系的简单说明 由经典的波动概念可得：ΔxΔλ≥λ2 加入德布罗意关系： λ=h/p 返回 得：ΔxΔλ= ΔxΔ pxh/px2≥λ2 推得：ΔxΔ px≥λ2 px2/h = h（单缝衍射说明） 返回

应用举例 返回 束缚粒子的最小平动能 电子不能落入核内（10MeV?) 谱线的自然宽度

互补原理 辞海解释 阐述 中国古代公孙龙的哲学思想 旧称“并协原理”，玻尔对量子力学中不确定关系的另一种表述，认为仪器应该分为测定位置和测定动量的两类，把这两种仪器的结果“互补”起来才能得到对粒子的完全认识，而同时用这两种仪器去测准同一粒子的状态是不可能的（双缝干涉假想实验） 阐述 互补原理从哲学的角度概括了物质的波粒两象性 不确定关系从数学的角度概括了物质的波粒两象性 中国古代公孙龙的哲学思想 “视不得其所坚，而得其所白者，无坚也；抚不得其所白，而得其所坚者，无白也” 返回

波函数及其统计解释 物质波的本质是什么？ 波函数——几率波的波幅（几率幅） 波函数为量子力学中描写微观系统状态的函数，在坐标表象中取形式：ψ（r,t) 粒子在给定时间、空间处单位体积中发现一个粒子的几率为|ψ(r,t)|2 波函数的基本性质: 单值、连续、有限、归一性、态叠加性、宇称属性、波函数前可以有任意常数 评注 返回

电子波的本质 观点1——德布罗意（1955年《非线性波动原理》）和薛定谔：电子是三维空间连续分布的物质波包。 观点2：电子波是大量电子分布于空间形成的疏密波。 费曼: “电子既不是粒子，也不是波，更确切地说，它既不是经典概念的粒子，也不是经典概念的波；但我们也可以说，电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两象性矛盾的统一” 电子的粒子性指“颗粒”属性—静态属性，电子的波动性仅仅指波的相干叠加性。 玻恩：物质波是反映粒子在空间几率分布的几率波。

双缝实验 机枪扫射 弹孔（子弹）密度 n(x)=n1(x)+n2(x) )

双缝实验 声波干涉

双缝实验 电子双缝干涉 点x附近的干涉花纹强度分布 （等于波幅的平方） 正比于点x附近感光点的数目 正比于点x附近出现电子的数目 电子波的强度分布等同于电子的密度分布

下面通过电子单缝衍射实验来阐明概率波的概念： (a)若电子流强度很大 在照相底片上很快就出现了衍射图样。 (b)若入射电子流很弱 时间较短时，看不出任何规律。 时间足够长时，与强电子流的衍射图样相同。 两次实验的衍射图样相同表明： ①单个电子也具有波动性。 ②电子的波动性是大量电子在同一次实验中的统计结果，也是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 ③每个电子只能落在一个位置上，一个电子落下的位置具有偶然性，而大量电子落下的位置具有必然性。

附近衍射花样强度 附近感光点的数目 附近出现电子的数目 附近电子出现的几率 电子波强度分布与电子几率分布成正比 设衍射波波幅为： 衍射花样强度分布为： 波的强度分布 的物理意义与经典波根本不同

描述电子出现在点 附近几率大小 代表 附近的小体积元 中找到电子的几率。 粒子在体积微元dV中出现的几率为： ——几率密度

基本叠加性：如果ψ1， ψ2，…… ψN均为描述系统状态的波函数，那么它们的线性叠加也是描述系统状态的波函数。 态的叠加性（基本） 基本叠加性：如果ψ1， ψ2，…… ψN均为描述系统状态的波函数，那么它们的线性叠加也是描述系统状态的波函数。

态的叠加性（扩展） 规则一： 如果发生在i态与f态之间的跃迁，存在着几种物理上不可区分的方式，那么，在i—>f间的跃迁几率幅应是各种可能发生的跃迁几率幅之和 规则二： 假如有n个彼此独立、互不相关的末态f1，f2，f3…fn，如果知道跃迁到任一末态的几率，那么，跃迁几率等于到达各种末态跃迁几率之和

态的叠加原理 规则三： 规则四： 假如从i态到f态的跃迁必须经过某一种间态v，那么，总的跃迁几率幅等于分段几率幅之乘积 假如有两个独立的微观粒子组成一体系，并且两粒子同时发生了两个跃迁，那么，体系的跃迁几率幅等于个别粒子的几率幅之乘积 返回

评 注 量子力学的基本概念——量子力学的基本规律是统计规律，而经典物理的基本规律是决定论、严格的因果律。 评 注 量子力学的基本概念——量子力学的基本规律是统计规律，而经典物理的基本规律是决定论、严格的因果律。 “ i ”的抽象性[列宁：一切科学的抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然] 要求：认清物质波的本质，掌握波函数的物理意义及其性质。 返回

薛定鄂方程 薛定鄂方程的建立 定态薛定鄂方程 几率守恒定律 返回

几率守恒定律

几率守恒定律

上式两边对空间Ｖ积分并利用高斯公式可得： ——几率守恒的积分形式 上式说明，在空间某体积Ｖ内发现粒子的几率在单位时间内的增量等于在同一时间内通过Ｖ的边界面流入体积Ｖ的几率。

量子力学基本方程的创立 海森堡于1925年7月提出了矩阵力学 薛定谔于1926年1月提出了波动力学 海森堡：矩阵力学创始人 （我越是思考薛定谔理论的物理内容，就对它越讨厌） 薛定谔：波动力学创始人 （海森堡的超越代数的矩阵方法简直无法想象，它如果不使我拒绝的话，至少也让我感到气馁） 狄拉克：相对论量子力学创始人（1930年《量子力学》） 海森堡于1925年7月提出了矩阵力学 薛定谔于1926年1月提出了波动力学

薛定鄂方程的建立 薛定谔方程物理意义 薛定谔方程的建立过程 量子力学的基本方程，也是量子力学的基本假设之一 它反映了微观系统的状态随时间变化的规律 薛定谔方程的建立过程

薛定鄂方程的建立 非相对论情形下能量、动能和势能的关系： 引入德布罗意关系上式可写为： 自由粒子（V=0）可以看作平面波

薛定鄂方程的建立 上式 对时间微商得 波函数对矢径二次微商 对于自由粒子，总能量等于动能： 描述自由粒子的波动方程

薛定鄂方程的建立 则对于任意势场V的薛定谔方程为： 该方程是线性方程，满足线性叠加原理 该方程解为复数，所以波函数本身没有意义，有意义的是波函数的平方——几率密度。

多粒子体系的薛定谔方程

定态薛定鄂方程 如果势场不显含时间，则波函数可写成： 将上式带入薛定鄂方程，并化简得：

定态薛定鄂方程 时间部分解得： 则波函数可写为： 几率密度： 与时间无关的部分可写为： 定态薛定谔方程 返回

算符与平均值 算符的引入 本征方程、本征函数和本征值 平均值的求法 返回

算符的引入 算符的定义 作用到一个函数之后可以把该函数映射为另一函数，如Δf = g，则Δ被称为算符 在量子力学中，将这些运算符号称为算符。 实际上，在量子力学中描述系统的每一个力学量 都对应一个算符。

1、能量算符 由薛定谔方程： 哈密顿算符 因此薛定谔方程可以写成： 动能： 多粒子体系的哈密顿算符：

2、动量算符 动量平方：

3、角动量算符

又可根据复合函数求导法则，对任一可导函数 角动量平方算符： 球坐标系下的角动量算符 球坐标与直角坐标之间的变换关系为： 又可根据复合函数求导法则，对任一可导函数 。 这样可以得到 同理可以求得

因此，在球坐标系中 量子力学中算符还很多，这里所给出的只是基本的算符， 在以后的学习中会接触到更多。

二、本征函数、本征值 若将某个力学量的算符 作用于波函数， 解这个方程可得一系列的解： 等于一个常量A乘以波函数，即 A相应于 的值为： 对于波函数 有确定值 为算符 的本征值； 的，属于本征值 的本征函数， 的本征态。 本征函数描述的状态称为 组成 的本征函数系。

本征函数的性质 构成“正交”、“ 归一”的“完备”函数系 正交 归一 完备 任一物理上合理的波函数 Ψ(x)

三、平均值 本征函数 满足 测量值为 的几率分布为 则A的平均值为：

1、|Cn|2的物理意义 由 的归一化条件： 具有几率的概念，表示t时刻粒子处于 态的几率，

2、力学量的平均值 所以t时刻力学量A的平均值为：

一维无限深势井 一维有限深势井 一维势垒 一维谐振子势井 氢原子与类氢离子 量子力学应用 一维无限深势井 一维有限深势井 一维势垒 一维谐振子势井 氢原子与类氢离子

一、一维无限深势阱中的薛定谔方程及其求解 势阱中的势能为零，在阱外势能为无穷大 量子力学给出什么样的结果？ 按照经典力学，粒子被限制在两个刚性壁之间，能量可在0~∞之间取任意值。

1、建立薛定谔方程 V(x)与时间无关，属于定态问题， (1)x≤0,x ≥a：阱外， V(x)=∞ （粒子不可能跑到阱外）。 (2)0<x<a：阱内， V(x)＝0 定态薛定谔方程为： 即

2、薛定谔方程的求解 令 这个方程的解为： （1）由波函数 在x=0处连续，可得 所以

（2）由波函数 在x=a处连续，可得 (n=1,2,…) 说明：若n=0，得零解；n取负整数，得不到新解。 因此本征函数： (n=1,2,…) 由 可得： (n=1,2,…) （3）综上，

3、波函数的归一化 所以， 考虑时间因子

二、讨论 1、能级 (n=1,2,…) 能量本征值： 粒子在无限深势阱中运动的能量是不连续的，即量子化的，不同于经典物理中的结论 当n=1时，有最低能量： ———基态， 其它为激发态。

2、能级间隔 （1）与n的关系 能级间隔 随量子数n的增大而增大。 （2）与a的关系 当势阱宽度a为宏观尺寸时， 极小， 趋于连续。 （3）与m的关系

3、波函数满足正交归一性 4、几率分布 阱中：

ψ(x) |ψ(x)|2 经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，各处概率相等。 E4 a/2 a/2 E3 随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当n→∞时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。 E2 E1

5、粒子在阱中的平均位置： 例5-12 求在一维无限深势阱中粒子概率密度的 最大值位置. 解: 一维无限深势阱中粒子的概率密度为 将上式对x求导一次，并令它等于零

（ 0<x <a ） 由此解得最大值的位置: 例如 最大值位置 可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。

例：求电子在原子尺度 a 1=10-10 m和普通尺度 a2 =10-2 m 势阱宽度范围的相邻能级。 解：电子能量 相邻能级差： (1)在原子尺寸的势阱中 (2)在普通尺寸的势阱中

一维有限深势阱 在阱内体系满足薛定谔方程： 解为： 在阱外体系满足薛定谔方程：

一维有限深势阱 结果讨论 返回

一、一维有限高方势垒问题中的薛定谔方程 一维有限高势垒势场为： 其中V0是常数。 经典物理：当粒子能量E大于势垒高度时，粒子一定可以穿过势垒，不会有反射；而当粒子能量E小于势垒高度时，粒子一定被反射回来，不会有透射。 量子物理中用薛定谔方程算出的结果会是怎样的？

Ⅰ： Ⅱ： Ⅲ： 二、薛定谔方程的计算 1、 令

Ⅰ： Ⅱ： 代表反射波， 代表反射波。 代表入射波 代表透射波 Ⅲ： 但在Ⅲ区不存在反射，故F＝0，

连续， 在

前面我们曾介绍了几率流密度矢量， 对于一维的情况， 为入射波， 所以入射粒子几率流密度为： 为反射波 ， 所以反射粒子几率流密度为： 透射波为 可以算出透射粒子流密度为：

反射比为： 透射比为： 当入射粒子流的能量E大于势垒的势能高度时，粒子不仅可以穿过势垒，也可能受到势垒的反射。

2、 令 Ⅰ： Ⅱ： Ⅲ：

o 反射比： 透射比为： 可见，当入射粒子流的能量E小于势垒的势能高度时，不仅有反射，也有透射，称为“隧道效应”。 隧道效应是微观粒子波动性的表现 U0 势垒 1 2 3 o a

则 若 估算T E(eV) V0 a(A) T 电子 1 2 0.51 5 0.024 质子 2.6×10-38

狮子的能量大于U才能出来！ U 经典理论 不好，狮子出来啦！ 救命 U 量子理论

粒子穿过势垒 V0-E 势垒宽度a 透射系数T 1MeV ~10－14m 10－4 1MeV 10-13m ~10－38

三.扫描隧道显微镜（STM） 是观察固体表面 原子情况的 超高倍显微镜。 1.原理 隧道电流 I 与样品和针尖间的距离S关系 极为敏感。 STM(Scanning Tunneling Microscope) 势能曲线 U0 U E 是观察固体表面 原子情况的 超高倍显微镜。 1.原理 隧道电流 I 与样品和针尖间的距离S关系 极为敏感。

分辨率：垂直0.01nm 横向0.1nm

宾尼、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。 前两人是扫描隧道显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。 宾尼 罗赫尔 鲁斯卡

一维谐振子势井 经典力学中，在弹性力 作用下的粒子为一维谐振子， 根据牛顿力学求得谐振子的势能为： 其中，m为振子的质量， 为振动频率。 普朗克在推导黑体辐射公式时，假设振子的能量为 在量子力学中给出怎样的结果呢？

一、一维谐振子的定态薛定谔方程及其本征问题 即 令 则上式可写成： 则 令

对该方程作定性讨论： （1）ξ→±∞， V→∞, |ψ|→0 方程(1)可化为： （2）ξ→0， V→0, Ψ为正弦型或余弦型 令待求波函数为： 代入方程（1）并化简

厄米方程 可以用级数法求解： 本征函数为 Hn(ξ)为厄米多项式。

二、讨论 1、能级 （1）谐振子的能量是分立的，量子化的，能级等间隔，为ħω （2）与普朗克的假设 相差一个常数项 （3）零点能 即谐振子的最低能量为： 这表明没有静止的谐振子，与经典物理相矛盾，按照经典物理，当温度趋于绝对零度时，所有运动趋于静止。

2、几率分布 （1）几率分布呈波动性 例如：①基态的波函数为： 几率密度分布函数为： 几率最大位置为x=0。 与经典物理的结论截然不同。 平均位置：

②第一激发态波函数为： 几率密度分布函数为： 因此第一激发态有两个极大值： 平均位置：

n=2时, n=3时,

（2） 当n很小时，粒子出现的几率分布与经典有明显的不同，当n越大，粒子位置几率密度的平均值就越接近经典理论。

（3）量子力学中不存在“经典禁区” 经典力学中： 为“经典禁区”。 量子力学中： 说明粒子有一定的几率出 现在“经典禁区”。 经典禁区

势函数与时间t无关,可以用定态薛定谔方程求解 氢原子与类氢离子 系统的势能为： 类氢离子的势函数为： 势函数与时间t无关,可以用定态薛定谔方程求解 对于中心力场问题，利用球坐标更方便， 在球坐标系中，薛定谔方程为： 下面来求解方程

一、用分离变量法求解方程 令 代入薛定谔方程， 上式两边同除以 并整理得 上式左边只是r的函数，右边是 要使这个式子成立，两边必须同时等于某个与 无关的常量， 的函数， 设该常数为λ

对（2）式继续分离变量， 令 并代入（2）式整理，得 两边必须同时等于一个与 无关的常量， 设该常量为m2,

1、求解 由 单值性可得， 由归一化条件

2、求解 令 ——缔合Legendre方程

用级数求解法 令 可得 —缔合Legendre多项式 —Legendre多项式 3、球谐函数 由归一化条件 球谐函数

4、径向波函数R(r) 对于类氢离子 这个方程求解过程较复杂，只介绍结果。 (1)E>0时，对任何大于0的E，方程都有符合波函数标准条件的解，电子的能量可取任何大于0的连续值（电离）。

(2)E<0时， n为主量子数，能量量子化， 为缔合拉盖尔多项式 a0为Bohr第一轨道半径， 由归一化条件：

5、类氢离子及氢原子的定态波函数

二、氢原子中电子能量En与简并度 能量En只与主量子数n有关， 波函数 与 都有关 对于一个确定的n，l可以从0取到(n-1)，共n个取值 对于每一个l，m有2l+1个取值； 因而，对于一个确定的n，(n,l,m)取值组合数为： 对应一个确定的能量本征值En,有n2个波函数 En为n2简并 与之对应， 注：这里没有考虑到电子的自旋

n l m Ψnlm En 1 Ψ100 E1 2 Ψ200 E2 0,±1 Ψ210, Ψ21±1 3 Ψ300 E3 Ψ310, Ψ31±1 0,±1,±2 Ψ320, Ψ32±1, Ψ32±2

三、轨道角动量 关于球函数 的方程 l为轨道量子数 m为磁量子数

电子的轨道角动量 在空间只可能有2l+1种取向 在空间不能任意取向，而只能取某些特定的方向， 例 B(z) m = 2 m = 1 m = 0 m = -1 m = -2

四、氢原子中电子的概率分布 在 处，体积元 中电子出现几率为： 1、电子概率的径向分布 电子在球壳r~r+dr范围出现的几率 球谐函数满足归一化条件，所以 为电子概率径向分布函数（电子径向几率密度）

（1）电子按半径几率分布并非均匀，而且电子并非在玻尔半径处才存在，而是随半径连续分布，说明不存在轨道，这与玻尔的圆形轨道理论是相矛盾的。 （2）这种连续分布存在一些极大值，即存在最概然半径。说明电子在这些范围出现的几率相对较大，可以认为电子主要处于最概然半径处。

（3）1s、2p、3d、4f态的 而2s、3p、4d、5f有两个极大值，3s、4p、5d、6f有3个极大值， 只有一个极大值， 态 1s 2p 3d 4f 2s 3p 4d 5f 3s 4p 5d 6f n 1 2 3 4 5 6 l 极大值数目 n-l 极大值的数目为n-l

（4）主极大位置与n、l的关系。 n 1 2 3 4 l 态 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f rm a 4.5a 4a 15a 10a 9a 25a 23a 16a n相同时，l越小，主极大远离原子核；l相同，而n不同时，随着n的增大，主极大远离原子核。

2、电子概率的角度分布 在立体角 出现的几率为： 径向波函数已经归一化，故 代表在立体角 范围内发现电子的几率密度。 具有关于z轴的旋转对称性。