第五章 不定积分 一、不定积分的概念和性质 5.1 原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 第五章 不定积分 一、不定积分的概念和性质 5.1 原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x) 那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义] 已知f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存 在函数F(x)，使得在区间 I 上的任何一点x处都有 F’(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在区间I 上的一个原函数。

例5.1 求下列函数的一个原函数： ⑴ f(x)＝2x ⑵ f(x)＝cosx 解：⑴∵(x2)'＝2x ∴x2是函数2x的一个原函数 ⑵∵(sinx)'＝cosx ∴sinx是函数cosx的一个原函数 这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数 的原函数不是唯一的。 例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x， (x2－1)'＝2x 所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数) 都是函数f(x)＝2x的原函数。

[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数， C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x)的原函数 ⑵ f(x)在区间I上的全体原函数可以表示 为F(x)＋C 证明： ⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数 ⑵略

[说明] ⑴函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它就有 无穷多个原函数; ⑵函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积 分，记作∫f(x)dx， 其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。 ⑶求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C 其中C是任意常数，叫做积分常数。

例5.2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx 解： ⑴∵ 是x5的一个原函数 ∴ ⑵∵－cosx是sinx的一个原函数

5.2 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导， 所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分， 所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以 提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx 该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差

例5.4 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx ＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C 例5.5 求 解： 例5.6 求∫(sinx＋cosx)dx 解：∫(sinx＋cosx)dx＝∫sinxdx＋∫cosxdx ＝－cosx＋sinx＋C

5.3 基本积分公式 由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本求导公式反推，可得基本积分公式 ⑴ ∫0dx＝C ⑵ ∫xndx＝ (n≠-1) ⑶ ⑷ ⑸ ∫exdx＝ex＋C ⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C， ∫cosxdx＝sinx＋C ⑺ ∫sec2xdx＝tgx＋C ⑻ ∫csc2xdx＝－ctgx＋C ⑼ ＝arcsinx＋C ⑽ ＝arctgx＋C

例5.7 求 解： 说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函 数的指数加 1，再把指数的倒数放在前面做系数。 例5.8 求 例5.9 求∫10xdx 解：∫10xdx＝ ＋C

二、不定积分的计算 5.4 直接积分法 对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。 运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。

例5.10 求 解： 例5.11 求 例5.12 求

例5.14 求 解： 例5.15 求函数f(x)＝2x的不定积分中满足F(0)＝1 的原函数。 解：∵∫f(x)dx＝∫2xdx＝x2＋C ∴F(x)＝x2＋C 由F(0)＝1解得C＝1， 于是F(x)＝x2＋1 题中的条件 F(0)＝1 是用来确定积分常数C的值 的条件，这种条件叫做初始条件。

5.5 凑微分法 如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。 例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。 这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。 这种积分方法叫做凑微分法。

[讲解例题] 例5.16 求∫2sin2xdx 解：设u＝2x，则du＝2dx ∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu ＝－cosu＋C＝－cos2x＋C 注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。 例5.17 求∫2x(x2＋1)6dx 解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx ∫2x(x2＋1)6dx＝∫(x2＋1)6·2xdx＝∫u6du ＝ u7＋C＝ (x2＋1)7＋C

例5.18 求 解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx 例5.19 求 解： ，设u＝cosx，则du＝-sinxdx 例5.20 求 解：设u＝x2，则du＝2xdx

当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。 例5.21 求 解： 例5.22 求∫sin3xcosxdx 解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝ sin4x＋C

5.6 换元积分法 例如，求 ， 把其中最难处理的部分换元， 令 ,则原式＝ ， 再反解得 x＝u2＋1，则dx＝2udu，代入得 ＝ ＝2[u＋ln|u－1|]＋C＝ 这就是换元积分法。

例5.25 求 解：令 ，则x＝t2，dx＝2tdt 如被积函数含有根式 ，可用x＝asint换元。 例5.27 求 解：设x＝asint，则t＝arcsin ， dx＝acostdt， ＝acost

5.7 分部积分法 考察函数乘积的求导法则： [u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x) 两边积分得 5.7 分部积分法 考察函数乘积的求导法则： [u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x) 两边积分得 u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx 于是有 ∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx 或表示成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x) 这一公式称为分部积分公式。

[讲解例题] 例5.28 求∫xexdx 解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex 则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式 ∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex， 由分部积分公式有 ∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C 例5.31求∫xcosxdx 解：令 u(x)＝x2，v'(x)＝cosx，则v(x)＝sinx 于是∫xcosxdx＝xsinx－∫sinxdx ＝xsinx＋cosx＋C

例5.32求∫x2sinxdx 解：令u(x)＝x2，v'(x)＝sinx，则v(x)＝－cosx 于是∫x2sinxdx＝－x2cosx＋2∫xcosxdx ＝－x2cosx＋2[xsinx－∫sinxdx] ＝－x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C 由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的 次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分 部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。 为了简化运算过程，下面介绍分部积分法的列表 解法。

[分部积分法的列表解法] 例如：求 ∫x2sinxdx x2 → sinx ∫x2sinxdx ＝-x2cosx＋∫2xcosxdx － ↓积分 ∫x2sinxdx ＝-x2cosx＋∫2xcosxdx 求导↓ -cosx 2x 求导↓ 　　２ ↓积分 -sinx －＋ ＝-x2cosx ＋2xsinx-∫2sinxdx 求导↓ 　　０ 　＋ ↓积分 +cosx ＝-x2cosx＋2xsinx ＋2cosx＋C

再如：求∫xlnxdx x lnx 求导↓ ↓积分 1 ? 这说明把lnx放在右边用分部积分法解不下去。 lnx → x 求导↓ + ↓积分 　- 则

[一般原则] 幂函数、对数函数应放在左边， 指数函数、三角函数应放在右边。 例5.33 求∫exsinxdx 解：∫exsinxdx＝exsinx－∫excosxdx ＝exsinx－excosx－∫exsinxdx 移项得∫exsinxdx＝ ex(sinx－cosx)＋C

[作业] P.218 1 ⑶⑷⑸⑺⑻，2 ⑴～⑹ 4 ⑶⑷⑸，5 ⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻ P.245　 1 ⑵⑷⑸⑹, 2 ⑵⑶⑷⑸⑺⑻⑼⑽⑾⑿， 　　　　　3 ⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑻，4 ⑴⑵⑸⑹⑻⑼⑽⑾ 　P.247 1 ⑸⑹⑺⑻⑽, 2 ⑶⑹⑺⑻，3 ⑵⑶⑷， 　　　　　4 ⑴⑶⑷