第四章 曲线和曲面 第一节 曲线和曲面表示的基础知识 第二节 Hermite多项式 第三节 Coons曲面 第四节 Bezier曲线和曲面 第四章 曲线和曲面 第一节 曲线和曲面表示的基础知识 第二节 Hermite多项式 第三节 Coons曲面 第四节 Bezier曲线和曲面 第五节 B样条曲线和曲面

第一节 曲线和曲面表示的基础知识 1.显式、隐式和参数表示 ①显式： y=f(x) 不能表示封闭曲线或多值曲线（圆） ②隐式：f(x,y)=0,f(x,y,z)=0 球面

（2）无法解决斜率为无穷大的情况； （3）对于空间复杂曲线曲面很难表示 （4）不便于计算和编程 显式隐式表示的缺点 （1）与坐标轴相关的，不便于坐标变换； （2）无法解决斜率为无穷大的情况； （3）对于空间复杂曲线曲面很难表示 （4）不便于计算和编程

③ 参数表示（解决上述问题） 空间曲线： ，， 矢量表示是：

对参数t求导： 曲面: 曲线或曲面的某一部分，可以简单地用a≤t≤b界定它的范围

空间直线段 P1[x1,y1],P2[x2,y2] P(t)代表曲线上的一点 P(t)= P1+( P2- P1) t = (1-t)P1+ tP2

参数方程具有如下优点： 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 便于坐标变换 便于处理斜率为无限大的问题，不会因此中断计算 代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于向高维空间扩展。 t∈[0,1], 直接定义了边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。 易于用矢量和矩阵表示，从而简化了计算。

1.插值:要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插（interpolation）。 基本概念 1.插值:要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插（interpolation）。 给定函数f(x)在区间[a,b]中互异的n个点的值f(xi) i=1,2,…n,基于这些数据寻找某一个函数 ，要求 ， 为f(x）的插值函数，xi为插值节点 (1)线性插值 函数f(x)在两个不同点x1,x2的值，y1=f(x1),y2=f(x2) 用线性函数 近似代替y=f(x),选择a,b使 则称 为f(x)的线性插值函数

(2)抛物线插值(二次插值） 设已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3,要求构造函数 在节点xi处有

2,逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。

常用方法 最小二乘法 假设已知一组型值点（xi,yi), i=1,2,…n,要求构造一个m（m<n-1)次多项式函数y=F(x）逼近这些型值点。 偏差的平方和最小： 或加权平方和最小： 令F(x)为一个m次多项式 最小二乘法就是定出ai使偏差平方和最小

3.参数曲线的代数形式和几何形式 一条三次参数曲线的代数形式： 矢量形式： 给定P(0),P(1),以及P’(0),P’(1)

解四个方程，求得参数 令 参数曲线的几何形式

矩阵形式表示参数曲线： P=TA 其中 P=FB P=TMB表示一条参数曲线

参数连续性 一函数在某一点x0处具有相等的直到k阶的左右导数，称它在x0处是k次连续可微的，或称它在x0处是k阶连续的，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。参数曲线的可微性称为参数曲线的连续性。 几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有Ck连续性，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作Gk 。零阶几何连续G0与零阶参数连续C0是一致的。一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。

4.曲线段间 和 连续性定义 （1）Q1(1)=Q2(0),则Q1(t)和Q2(t)在P处有 和 连续性 （2） Q1(1)和Q2(0）在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小不等， 则Q1(t)和Q2(t)在P处有 连续性 （3） Q1(1)和Q2(0）在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有 连续性 (4) Q1(1)和Q2(0）在P处已有 连续 且 大小方向均相同，则Q1(t)和Q2(t)在P处有 连续性 推广之，Q1(1)和Q2(0）在P处已有 连续，若 在P处大小和方向均相同，则说Q1(t）和Q2(t)在P处具有 连续性

(5). Q1(1)和Q2(0）在P处已有 连续 且 方向相同但大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有 连续性 5.光顺 光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：（1）具有二阶几何连续（G2）；（2）不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小

第二节 Hermite多项式 已知函数f(t)在k+1个点{ti}处的函数值和导数值{f (j)(ti)}，i=0,1,…,k，j=0,1,…,mi-1，要求确定一个N = m0 + m1 + … + mk- 1次的多项式P(t)，满足下面的插值条件：

1. Lagrange插值法: 已知f(t)在k+1个点的函数值f ( ti ) ,求一个k次多项式使p(ti)=f (ti)

例： k=2,m0=m1=m2=1 已知函数f(t)在三个点t0，t1，t2，的函数值f(t0), f(t1),f(t2), 求三次多项式P(t)

混合函数如下：

2. 已知表示一条曲线的某个函数f(t)在两点t0，t1的函数值f(t0), f(t1)和一阶导数值f’(t0), f’(t1)，求三次多项式P(t):

把a0，a1，a2和a3代入则有：

式中选取两个端点及其及其切向量作为曲线构造条件 混合函数如下： 经整理，所求多项式P 0(t)可以写出如下： 式中选取两个端点及其及其切向量作为曲线构造条件 混合函数如下：

经验证可知：

3. 为了使P0(t)的定义区间t0≤t≤t1变为区间0≤u≤1，可以做如下变换 解出 ，代入混合函数式中，得：

将关于u的混合函数代入，所求的三次多项式成为：

令

得

4.曲线拼接 对一般的Hermite插值问题，一般来说得到的插值多项式次数较高，应用起来不方便。通常的处理办法是将前面给出的参数的三次多项式逐段光滑地连接，如此来确定一般情况下的插值多项式。 将前面t0和t1视为ti和ti+1，设给定f(ti)，f(ti+1)，f’(ti)，f’(ti+1)，则在区间[ti，ti+1]的Hermite三次插值多项式Pi(t)是：

为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间[ti，ti+1]中引入如下一些基本函数：

完整的插值多项式可写为： 上式区间[t0，tn]中有定义，且为分段定义。在每个区间 [ti，ti+1]上，都恰有四项。满足插值条件

每段曲线Pi(t)只在[ti，ti+1]中有定义：

自变量的线性变换 用逆变换 代入，将所得关于u的多项式记为 ，得

其中 = =

例：设在平面上有两点P0，Pl，它们的位置向量分别为(1，1)，(4，2)，在P0的导数值即在该点的切线向量P’0 =(1，1)，在Pl处P’1 =(1，-1)，构造曲线。

第三节 Coons曲面

uw表示了曲面片的方程 0w，1w，u0，u1四条边界曲线 u0u边界线的切向量 u0w 边界线的跨界切向量 uwuu,uwuw,uwww曲面片uw关于u和w的二阶偏导数向量 u0uu 表示边界线u0上的二阶切向量 u0ww表示边界线u0上的二阶跨界切向量 uwuw为曲面片P在点(u,w)处的扭曲向量。 00，01，10，11表示曲面片四个角点 00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u 四个角点的切向量 00uw，01uw，10uw，11uw四个角点的扭曲向量

构造具有指定边界曲线的曲面片: Coons给出的一个解法是：寻找两个混合函数f0(t)和f1(t)，它们是连续的，并且满足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且f0(t)+f1(t)=1，0≤t≤1。 f0(t)=2t3-3t2+1,f1(t)=-2t3+3t2 f0(t)＝1-t,f1(t)=t

问题1：求通过四条边界线的曲面 给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w，且0≤u≤1，0≤w≤1 ①在u向进行线性插值，得到直纹面为：

②在w向进行线性插值，得到直纹面为： ③ ① ②叠加可得到一张新曲面P3(u,w)其边界恰好为无用的直线边界 ：

④ 构造Coons曲面P(u,w) P(u,w)=P1(u,w)+ P2(u,w)- P3(u,w) 可写成如下形式：

例如我们来验证0w是它的一条边界线，这只要把u=0代入公式右端，得

问题2： ①边界线为指定曲线 ②且有指定的跨界切向量 。 应用上节定义的四个混合函数q00(u), q01(u), q10(u), q11(u)。

这四个函数均是三次多项式。故连续可微，并且还满足下面的条件：

设已知四条边界曲线u0，u1，0w，1w 及沿这四条边界曲线的跨界切向量 u0w，u1w，0wu，1wu。 求出四个角点的位置向量00，01，10，11， 切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u， 扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw， 写出符合要求曲面片的数学表达式如下：

验证通过边界0w

验证满足跨界切向量0wu:

问题3： 指定四个角点以及在这些点上的切向量和扭曲向量后，求解曲面的表达式。 计算求得四个角点的位置向量00，01，10，11，切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u，以及扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw，

已知角点位置向量00，10以及在这两点关于u的切向量00u和01u，可以用Hermite插值公式来指定一条u边界线：

将上两式代入前式，就可以得到：

例： 给出四个角点以及在该角点上的切向量和扭曲向量来构造Coons曲面表达式。设在平面上有四点P0，Pl，P2，P3，它们的位置向量分别为(0，0，0)，(0，0.75，0)，(0.75，0，0)，(0.75，0.75，0)。该四点的切向量、跨界切向量和扭曲向量，定义在关于角点的信息矩阵M中：

第四节 Bezier曲线和曲面 1.Bezier曲线定义 给出型值点P0，P1，…，Pn，它们所确定的n次Bezier曲线是：

是Bernstein多项式，调和函数 涉及到的0!及00，按约定均为1。 当n=1时

在n=2时

在n=3时

① ② ③ ④

2.Bezier曲线的一些重要性质： ① 端点性质：P(0)= P0，P(1)= Pn，曲线通过起点和终点。 ②

③ Bezier曲线的对称性

④曲线的凸包性 对给定的型值点P0，P1，…，Pn

P0P1P2P3和Q0QlQ2Q3，两个bezier多边形 ①曲线在连接点处C0连续的条件是P3=Q0 ② 曲线在连接点处G1连续，Q‘0=aP’3 Q'0=3(Q1—Q0)，P'3=3(P3—P2)， Q1-Q0=a(P3-P2)

由此得 ③连接点处C2连续的条件 对前面的公式求两次导数，可得，

于是知， 要求， 即 注意到Q0=P3，由此得：

4. Bezier曲线绘制 ①利用定义式 Bezier曲线的绘制，可以利用其定义式，对参数t选取足够多的值，计算曲线上的一些点，然后用折线连接来近似画出实际的曲线。随着选取点增多，折线和曲线可以任意接近。 假设给定的四个型值点是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)， P3=(3，1)，则计算结果见表

t (1-t)3 3t(1-t)2 3t2 (1-t) t3 P(t) 1 (1,1) 0.15 0.614 0.325 0.0574 0.0034 (1.5058,1.765) 0.35 0.275 0.444 0.239 0.043 (2.248,2.376) 0.5 0.125 0.375 (2.75,2.5) 0.65 (3.122,2.36) 0.85 (3.248,1.75) (3,1)

记点Pk，Pk+l，…，Pl可以生成的Bezier曲线为Pk,l(t)，0≤t≤1，则成立下面的递推关系 ②利用曲线性质（几何作图法和分裂法） a.几何作图法 记点Pk，Pk+l，…，Pl可以生成的Bezier曲线为Pk,l(t)，0≤t≤1，则成立下面的递推关系

上式改写为：

几何作图法伪代码语言实现：

void bez_to_points(int n, double P[], int npoints, double points[]) //控制点P的个数为n +1 //points存储Bezier曲线上的离散点序列 //离散点序列points的个数为npoints+1 { double t,delt; delt=1.0/(double)npoints;//将参数t npoints等分 t=0.0; for(int i=0;i<=npoints;i++) { points[i]=decas(n, P, t); //分别求出npoints+1个离散点points的坐标 t+=delt; }

double decas(int n,double P[],double t) { int m,i; double *R, *Q, P0; R = new double[n +1]; Q = new double[n +1]; for(i=0;i<=n;i++) R[i]= P [i]; //将控制点坐标P保存于R中

for(i=0;i<= m -1;i++) Q[i]= R [i]+t*( R [i+1]- R [i]); R[i]= Q [i]; //n次Bezier曲线在点t的值，可由两条n-1次Bezier曲线在点t的值通过线性组合而求得。 for(m=n;m>0;m--) { for(i=0;i<= m -1;i++) Q[i]= R [i]+t*( R [i+1]- R [i]); R[i]= Q [i]; } P0=R[0]; delete R;delete Q; return (P0);

设给出四点的坐标是(1，1)，(2，3)，(4，3)，(3，1)，求所确定三次Bezier曲线在t=1/3时的值P(1/3)，算法的计算过程

如果令Pa(s)和Pb(s)分别是以控制点序列 和 ， 确定的Bezier曲线，其中0≤s≤1，那么就有： 思想：将原控制点集分为两个点数相同的新控制点集，分别对应原曲线的前半段和后半段，新控制点集比原控制点集更接近直线，分裂过程继续进行，控制点集会迅速向曲线靠近，当满足某个允许的界限时，可依次连接各点的折线来表示曲线 设控制点序列P0，P1，…，Pn确定的n次Bezier曲线是P(t)，用如下递归方式计算另一组点集： 如果令Pa(s)和Pb(s)分别是以控制点序列 和 ， 确定的Bezier曲线，其中0≤s≤1，那么就有：

己知四点P0，P1，P2，P3，确定了一条三次Bezier曲线P(t)，可写出下式，

分裂法中的递归计算

分裂法的示意图

验证Bezier曲线分成前后两段的正确性， P0的系数为例，验证两端它的系数是相等的。

设己知三次Bezier曲线P(t)的控制顶点是P0，P1，P2，P3，在P( )处将曲线分为两段，求出前半段的控制顶点Q0，Ql，Q2，Q3和后半段的控制顶点R0，R1，R2，R3，。有算法如下 void split_Bezier(Point P[]) { Point R[4],Q[4]; int i,j; for(i=0;i<=3;i++) R[i]=P[i]; for(i=0;i<=2;i++) { Q[i]=R[0]; for(j=0;j<=2-i;j++) { R[j].x=(R[j].x+R[j+1].x)/2; //分别对相邻两控制点间的线段进行分裂 R[j].y=(R[j].y+R[j+1].y)/2; } Q[3]=R[0];

分裂算法的计算

分裂中止的条件： max(d(P1，P0P3)，d(P2，P0P3))<ε

void new_split_Bezier(Point P[]) { Point R[4],Q[4]; int i,j; const double epsilon=0.01; if (maxdistance(P)<epsilon) /*maxdistance(P)为求max(d(P1,P0P3)，d(P2,P0P3))的函数*/ { MoveTo(P[0].x,P[0].y); LineTo(P[3].x,P[3].y); } else { for(i=0;i<=3;i++) R[i]=P[i]; for(i=0;i<=2;i++) { Q[i]=R[0]; for(j=0;j<=2-i;j++) {R[j].x=(R[j].x+R[j+1].x)/2; R[j].y=(R[j].y+R[j+1].y)/2; Q[3]=R[0]; new_split_Bezier(Q);new_split_Bezier(R);

5.有理Bezier曲线

图中h0=h1= h3=1，当h2=0、1/2、1、2、4时曲线逐渐地靠近P2点

6.Bezier曲面 上式曲面为m×n次的Bezier曲面 若在空间给定(m+1)(n十1)个控制点，Vij，i=0，1，…，m，j=0，1，…，n，令 上式曲面为m×n次的Bezier曲面

当m=n=1，公式成为：

设v00，v01，v10，v11四点依次是(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，则可得P1,1(u，w)的坐标形式的参数方程为： 消去参数，就得马鞍面方程：

当m=n=3，曲面成为：

7.双三次bezier曲面和双三次Coons曲面之间的关系 设同一个曲面片，用Coons曲面形式确定它，又用Bezier形式确定它，现在来考查、矩阵M与矩阵B有什么关系。 求解上式得：

四个角点00，0l，10和11分别对应控制点V00，V03，V30和V33。切向量，例如00w=3(V01-V00)，表明00w，是沿从V00到V01边的方向，大小是两个位置向量差的3倍，其余切向量是类似的。 V10，V00沿w方向的切向量之差的三倍 V01,V00 沿u方向的切向量之差的三倍

扭曲向量只与中间四个控制点有关系

双三次Coons曲面与Bezier曲面间的关系

一.B样条曲线（构造具有局部性的调和函数） 给定n+1个控制点P0，P1，…，Pn，它们所确定的k阶B样条曲线是： 其中Ni，k(u)递归定义如下：

这里u0，u1，…，un+k，是一个非递减的序列，称为节点，(u0，u1，…，un+k)称为节点向量。定义中可能出现 ，这时约定为0。

例一：选取，n=2，k=1，控制顶点是P0，P1，P2，这样应选择参数节点n+k+1=4个，设节点向量是(u0，u1，u2，u3)，按式定义，可写出三个基函数：

由公式可知所定义的B样条曲线是 任意一阶B样条曲线是控制点本身，可以看作是0次多项式

例二.选取n=3，k=2，于是有四个控制顶点P0，P1，P2，P3，应有参数节点n+k+1=6个，设节点向量是(0，0，1，2，3，3)，试画出所确定的2阶B样条曲线。 取u=0.5，进行计算。因为0.5∈[0,1]=[u1，u2]，因此N1,1(0.5)=1，而其它的Ni,1(0.5)=0，i≠1。

再取u其它一些值进行计算，结果如表所示。 0.5 1 1.5 2 2.5 3 N0,2(u) N1,2(u) N2,2(u) N3,2(u) P(u) P0 0.5(P0+P1) P1 0.5(P1+ P2) P2 0.5(P2+ P3) P3 二阶B样条曲线是连接各控制点的线段组成的折线，是一次多项式

P2，P3的坐标依次是(1，1)，(2，3),(4，3)， (3，1)，这时应取参数节点n+k+1=8个，设选取 例三.选取n=3，k=4，平面上四个控制顶点P0，P1， P2，P3的坐标依次是(1，1)，(2，3),(4，3)， (3，1)，这时应取参数节点n+k+1=8个，设选取 节点向量为(0，0，0，0，1，1，1，1)，求所 确定的4阶B样条曲线。 计算N1,4(0.5) ，其中0.5∈[0，1]=[u3，u4]

N3,1(0.5)=1，而对i≠3，Ni,1(0.5)=0。

用类似的过程可计算求出： 曲线上对应参数u=0.5的点是：

证明：四个控制点所确定的四阶B样条曲线（ 节点向量为（0,0,0,0,1,1,1,1）) 就是它们所确定的Bezier曲线

二：等距B样条曲线: 参数节点中参数u的每一区间为等长时所得到的B样条函数称为是等距的，或均匀B样条曲线。可假定ui=i,i=0，1，…，n+k，设tj=u-ui+j，ui+j≤u≤ui+j+1与0≤tj≤1是等价的。 递归式，经过计算，可以写出：

如果固定在ui+3≤u≤ui+4区间，可以写出：

令i=0，可写出四个B样条基函数：

设给出n+1个控制点P0，P1，…，Pn， 则所确定的4阶3次等距B样条曲线是：

曲线的性质

性质一：曲线在拚接处是连续的，一阶和二阶导数也是连续的。 因此4阶3次等距B样条曲线：虽然分段定义，但各段拚接处有直到二阶导数的连续性，整条曲线是光滑的。

性质2：4阶3次等距B样条曲线具有凸包性，这通过验证0≤Nj,4(u)≤1，0≤j≤3及 当移动一个控制点时，只对其中的一段曲线有影响，并不对整条曲线产生影响。如图4.22所示是一条B样条曲线。该图表示控制点P5变化后曲线变化的情况。由图可见P5变化只对其中一段曲线有影响。

性质4：用B样条曲线可构造直线段、尖点、切线等特殊情况。 灵活选择控制点的位置和节点ui的重复数，可形成许多特殊情况的B样条曲线

三.B样条曲面 0≤u≤1，0≤w≤1，0≤k≤K，0≤l≤L每一个曲面片Qkl(u，w)由16个控制点确定。