项目四 无穷级数 学习任务一： 　数项级数的概念和性质 一、数项级数及其收敛性 二、数项级数的基本性质 三、数项级数收敛的必要条件

一、数项级数及其收敛性 un 称为一般项或通项. 定义 1 设给定一个数列 u1 , u2 , …, un , … ， 则表达式 称为无穷级数. 其中 u1 , u2 , · · · 叫做该级数的项， 由于式中的每一项都是常 数， un 称为一般项或通项. 所以又叫数项级数， 简称级数， 称 u1+ u2 + ··· + un + ··· = 为部分和数列，记作Sn.

定义 2 若级数 的部分和数列 的极限存在， 即 级数的和. S 称为 这时也称该级数收敛于 S . 发散. 若部分和数列的极限不存在，

例 2 试讨论等比级数 　a + ar + ar2 + ··· + arn-1 + ··· (a  0) 的收敛性. 根据等比数列前 n 项的求和公式可知， 解 当 r  1 时， 所给级数的部分和为

由定义 2 知， 该等比级数收敛， 即

所以这时该等比级数发散. 当 r = 1 时， 因此该等比级数发散.

当 n 为奇数， 当 n 为偶数， 部分和数列极限不存在， 故该等比级数发散. ≥

例 3 级数 称为调和级 数， 试证明其发散. 证 ≥ ≥ 由此知 f (x) 为增函数.

≥ ≥ ≥ ≥ ≥

相加得 ≥

例 4 求级数 的和. 解 注意到 因此，

所以该级数的和为 即

二、数项级数的基本性质 不影响级 1. 在级数的前面加上或去掉有限项， 数的收敛性. 但一般将会改变收敛级数的和. 1. 在级数的前面加上或去掉有限项， 但一般将会改变收敛级数的和. 2. 用一个非零的常数 c

所得级数收敛且其和等于两个级数和的相加. 3. 两个收敛级数的对应项相加， 即

这是因为 这是能借助级数作近似计算的基本依据. 所产生的误差.

三、数项级数收敛的必要条件 就有 于是 因此这时必有 这就是级数收敛的必要条件 .

定理 则 事实上，

例 5 试证明级数 证

例 6 试讨论级数 解 注意到级数 所以级数发散 .

学习任务二 正项级数及其审敛法 这时， 则称该级数为正项级数 . 因此有 即正项级数的部分和数列是一个单调增的数列. 学习任务二 正项级数及其审敛法 ≥ 则称该级数为正项级数 . 这时， 由于 因此有 ≥ 即正项级数的部分和数列是一个单调增的数列. 我们知道，单调有界数列必有极限. 根据这 一准则， 我们可得到判定正项级数收敛性的一个 定理 .

定理 1 正项级数收敛的充要条件是它的部分 和数列有界.

例 1 试判定正项级数 解 由于该级数为正项级数， 且部分和 因此正项级数 即其部分和数列有界，

定理 2 (比较审敛法) 设有两个正项级数 ≤ 那么:

证 结论 (1) 的证明 : 为了利用定理 1 ， ≤

证明结论 (2) 的方法读者不难自行完成，这里从略. 就有常数 M 存在， ≤ 于是 Sn ≤ M 证明结论 (2) 的方法读者不难自行完成，这里从略.

例 2 讨论级数 常数. 此级数称为 p 级数. 解 当 p =1 时 ， 此时 p 级数 故发散. 当 p < 1 时 ， 例 2 讨论级数 其中 p 为正 常数. 此级数称为 p 级数. 解 当 p =1 时 ， 此时 p 级数 故发散. ≥ 当 p < 1 时 ， 所以由比较审敛法的结论 (2) 可 知， 而调和级数发散， 这时 p 级数发散.

当 p > 1 时， 观察其前 n 项和 对于每一个确定的 p 值 ， 即图 中带阴影线的面积和. y O x 1 2 3 n n+1 图12 - 1

根据定积分的几何意义 ， 显然 于是由定理 1 可知，这时 p 级数收敛 . 所以部分和数列有界. 　　综上所述可知: p 级数当 p ≤ 1 时发散; p > 1 时收敛 .

例 3 证 利用比较审敛法. 注意到 根据级数性质 2 知道，

例 4 试判定 解 它是收敛的， 所以由比较审敛法可知， 所给正项级数收敛.

仔细分析例 3 与例 4， 我们就会发现， 而其分子分母都是 n 的多项式 ( 常数是零次多项式 ) 或无理式时， 只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上 (不包括一次)， 该正项级数收敛， 否则发散.

例 5 试判定以下正项级数的收敛性 : 解 (1) 因为通项的分母中，n 的最高次数为二次， 分母仅比分子高一次， 故该级数发散. 分子是 n 的一次多项式，

其中分母 n 的最高次数为 次，分子是零次，分母比分子高 次，

定理 3 (达朗贝尔( d Alembert )比值审 敛法) 设有正项级数 如果极限 存在， 那么 (1) 当  < 1 时级数收敛; (2) 当  > 1 时级数发散; (3) 当  = 1 时级数可能收敛，也可能发散.

证明从略，只作以下的说明 : (1) 当  < 1 时，则当 n 充分大后有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 而  大于 0 且小于 1 的等比级数，

(2) 当  > 1 时， 有 则当 n 充分大后 ， 而  > 1 ， 所以级数的后一项大于前一项 . 也可能发散 .

例 6 试证明正项级数 证 利用比值审敛法， 因为 所以级数收敛.

例 7 讨论级数 解 因为 当 x < e， 即 < 1 时， 当 x > e，即 > 1 时， 级数发散. 级数收敛;

虽然不能利用比值审敛法直接 得出级数收敛或发散的结论， 当 x = e 时， 但是，由于数列 是一个单调增而有上界的数列， ≤

于是可知，级数的后项总是大于前项， 所以级数也发散. 此外，凡是用比值审敛法判定的级数发散， 都必有

第三节 任意项级数 一、交错级数 二、绝对收敛与条件收敛

在级数 中，总含有无穷多个正项和负项叫任意项级数. 一、交错级数 正负号相间出 现， 它的一 般形式为 这样的任意项级数就叫做交错级数 .

定理 1 (莱布尼茨(Leibniz)审敛法) 设交错级数 定理 1 (莱布尼茨(Leibniz)审敛法) ≥ ≤

证 我们根据项数 n 是奇数或偶数分别考 于是 设 n 为偶数， 将其每两项括在一起 由条件 (1) 可知， 每个括号内的值都大于或等于零. 如果把每个括号看成是一项， 这就是一个正项级数 的前 m 项部分和， 它显然随着 m 的增加而单调增 加.

另一方面 ， 如果把部分和 ≤ 即部分和数列有界. 根据本章第二节定理 1 ， 有 当 n 为奇数时， 我们总可把部分和写为

再由条件 (2) 可得 都有 这就说明，不管 n 为奇数还是偶数. 故交错级数 定理 1 也称为 可知，有 交错级数审敛法或莱布尼茨审敛法. ≤ 定理 1 也称为 交错级数审敛法或莱布尼茨审敛法. 可知，有 ≤

例 1 试判定交错级数 解 ≥ ≥ 所以由交错级数审敛法可知，

例 2 试判定交错 条件 (2) 往往比较容易判断， 解 在利用交错级数审敛法时， 对于条件 (1)， 有时可利用导数工具来判断 . 因为

≥ ≤ 由此可以推得 ≥ ≥

例 3 试利用交错级数 使其误差不超过 0. 0001 . 解 又因为该级数是满足莱布尼茨审敛法的条件的交错级数，

且有 ≤ 即 就可以保证近似值的误差不超过 0.0001 .

二、绝对收敛与条件收敛 绝对收敛. 定理 2

例 4 试判定级数 解 考察级数

利用正项级数比值审敛法， 是收敛的， 因此由定理 2 可知该级数收敛 . 条件收敛 .

例 5 试证明 证

因为 比分子中 n 的最高次数仅高一次， 所以级数发散. 综上所述，

学习任务三 幂级数 一、 函数项级数 二、 幂级数及其收敛性 三、 幂级数的运算

一、 函数项级数 ① 称为函数项级数， 在函数项级数 ①中，若令 x 取定义域中某一确定值 x0 ， 则得到一个数项级数 若上述数项级数收敛， 反之，若上述数项级数发散， 则称点 x0 为函数项级数① 的发散点.

称为函数项级数的收 敛域. 收敛点的全体构成的集合， 若 x0 是收敛域内的一个值， 因此必有一个和 S(x0) 与之对应， 即 上述级数的和 S 也随之 变动， 当 x0 在收敛域内变动时， 即 就得到一个定义在收敛域上的函数 S(x)，

如果我 们仿照数项级数的情形， 将函数项级数① 的前n 项和记为 Sn(x) ， 且称为部分和函数， 这个函数 S (x) 就称为函数项级数的和函数. 即 Sn(x) 那么在函数项级数的收敛域内有 则在收敛域内同样有

例 1 试讨论 解 因为所给级数的部分和函数 ≥ 所以，它在区间 (-1,1) 内收敛， 即收敛域为 (-1,1). 且所给级数的和函数为

二、幂级数及其收敛性 一般形式为 ② 幂级数， 幂级数更一般的形式为 它显然可以通过变量代换 y = x - x0 方法化为式② .

则称幂级 数为不缺项的， 否则称为缺项的幂级数. 例如幂级数 又如 缺 x 的奇次幂， 叫缺项的幂级数， 是不缺项的幂级数.

定理 如果 该幂级数收敛; 该幂级数发散. 记作 R , R= . 即

若将 x 看成 是一个确定的值， 证 因为 它不一定是正项级数， 那么就得到一个数项级数， 为此，我们可对幂级数的各项取绝对值， 得 这是一个正项级数. 运用比值审敛法. 因为

因此它 必然收敛 . 也就是说 显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大， 一般项 不趋近于零 . 由级数收敛的必要条 件可知该幂级数发散.

例 2 试求幂级数 的收敛区间 . 可运用上述定理求收敛半径 解 所给的幂级数为不缺项的， 此为调和级数， 它是发散的.

例 3　求幂级 　　　　　　　　　　　　　　　　　　是一个缺项幂级数， 解　所给幂级数缺少 x 的奇次幂项， 因此不能直接利用公式求收敛半径 R. 对此正项级数利用比值审敛法

所求幂级 数绝对收敛 .

例 4 解　运用正项级数的比值审敛法 . 幂级数收敛 .

区间端点处: 当 x = 0 时，

三、 幂级数的运算 它们的和函数分别为

1. 加法和减法

2. 乘法 此时所得幂级数的收敛半径是 R .

3. 逐项求导数 则在 (R , R) 内和函数 S(x) 可导， 若幂级数 且有 所得幂级数的收敛半径仍为 R ， 但在收敛区间端 点处的收敛性可能改变.

4. 逐项积分 和函数 S(x) 则和函数 S(x)在（R , R ) 可积， 并且有 : 但在收敛区间端 点处的收敛性可能改变. 所得幂级数的收敛半径仍为 R ，

例 5　讨论 解　幂级数 收敛半径 R = 1 ， 逐项求积分后得

当 x = - 1 时，幂级数为 交错级数， 它的收敛半径仍为 R = 1. 当 x = 1 时， 故原幂级数 的 幂级数为调和级数， 故原幂级数 的 收敛区间为 [1,1). 它是发散的.

例 6 解　所给幂级数的收敛半径 R = 1， 收敛 区间为 (1 , 1) ， 而 在收敛区间 (1,1) 内， 所以

补充 函数的幂级数展开 一、 麦克劳林 (Maclaurin) 公式 二、 直接展开法 三、 间接展开法

一、 麦克劳林(Maclaurin)公式 泰勒 (Taylor) 公式 如果函数 f(x) 在 x = x0 则在这个领域内有如下公式 : ①

其中 称为拉格朗日型余项 . ① 式称为泰勒公式 . 就得到 ②

②式称为麦克劳林公式 . 幂级数 ③ 那么它是否以函数 f(x) 为和函数呢 ? 我们称之为麦克劳林级数 .

若令麦克劳林级数 ③ 的前n + 1 项和为 即 那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为

注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关系， 可知 于是，当 时，有 反之，若 必有

这表明，麦克劳林级数 ③ 以 f(x) 为和函数的充要条件， ② 这样，我们就得到了函数 f(x) 的幂级数展开式 ： ④

也表示了函数的 幂级数展开式是唯一的 . 它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 . 幂级数 : 称为泰勒级数 .

二、 直接展开法 利用麦克劳林公式将函数 f(x) 展开成幂级数 的方法，称为直接展开法 . 例 1　试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数. 解 可以 得到

因此我们可以得到幂级数 ⑥ 显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . ⑥ 因为

≤ 注意到，对任一确定的 x 值， 因此其一般项当 n 时， 而级数 ⑥ 是绝对收敛的， 所以，当 n 时,

由此可知 , e ) ( x f = 确实收敛于 这表明级数 ⑥ 因此有

例 2 试将 解 于是可以得到幂级数

且它的收敛区间为 因为所给函数的麦克劳林公式的余项为 所以可以推知

≤ 因此得到

三、 间接展开法 例 3 试求函数 解 而 所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得

例 4 将函数 展开成 x 的幂级数 . 解 注意到 而函数 的展开式由本章第四节例 1 可知 将上式两边同时积分

所以，上式 右端级数的收敛半径仍为 R = 1; 因为幂级数逐项积分后收敛半径不变， 而当 x = 1 时该级 数发散， 故收敛域为 1 < x ≤ 1 . 当 x = 1 时，该级数收敛 .

例 6 试将函数 x 的幂级数 . 展开成 解 因为

且 所以

根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个， 因此所得幂级数的收敛区间为 1 < x < 1 . 故 R = 1，

例 7 将函数 代入得 解 令 x  1 = y ， 则 x = y + 1， 因 所以 收敛区间为 (0 , 2) .

例 8 试将函数 解 则原题就转化成 将函数 于是有

最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面， 　　最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面， 以便于读者查用 . ≤

其端点的收敛 性与 m 有关. 最后一个式子称为二项展开式， 收敛区间为 [1 , 1], 例如当 m > 0 时， 当 1 < m < 0 时，收敛区间为(1 , 1] .

学习任务四 傅里叶(Fourier)级数 一、谐波分析 三角函数系的正交性 二、傅里叶级数 三、奇函数与偶函数的傅里叶级数 一、谐波分析 三角函数系的正交性 二、傅里叶级数 三、奇函数与偶函数的傅里叶级数 四、函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开为正 弦级数与余弦级数

一、谐波分析 三角函数系的正交性 由 三角函数系的正交性是指 : 组成的函数序列叫做三角函数系， 如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘， 一、谐波分析 三角函数系的正交性 由 　　三角函数系的正交性是指 : 组成的函数序列叫做三角函数系， 　如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘， 　其值都为零 . 在区间 [, ] 上的定积分， 这实际上只需证明以下五个等式成立 :

以上结果，这里就不证明了 .

二、傅里叶级数 如下形式的函数项级数 称为三角级数 . 假定 且可逐项积分 ，

于是有 注 意到三角函数系的正交性， 即有

所以 为了求出系数 an ， 我们用 cos kx 乘级数 ， 然后在逐项积分

由三角函数的正交性可知，等式右端各项中， 当 k = n 时， 有 其余各项均为零 . 因此

可得到 用类似的方法， 注意到在求系数 an 的公式中，令 n = 0 就得到 a0 的表达式， 因此求系数 an , bn 的公式可以 归并为

由傅里叶系数 组成的 三角级数称为傅里叶级数. an , bn 称为傅里叶系数.

收敛定理 (狄利克雷 (Dirichlet) 定理 ) 如果它满 足条件 : 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ， 在一个周期内连续或只有有限个第一类 间断点， 则 f(x) 的 傅里叶级数收敛， 并且至多只有有限个极值点， 并且

其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限， 级数收敛于 其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限， f(x+0) 表示 f(x) 在 x 处的右极限 .

例 2 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函 数 ， 它在 [ , ) 上的表达式为 试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 . 它在 [ , ) 上的表达式为 试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 . 解 函数 f(x) 的图形如图所示 ，   f(x) x O 2 

这是一个矩形波， 它显然满足收敛定理的条件 ， 由式 (12.6.4)

因为在计算 又

　　　　　　　　　　　　当 x  k (k = 0 , 1 , 2 ，···) 时， 根据收敛定理可知， 傅里叶级数收敛于 f(x) ， 即

图形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ，) 各点处与例 2 不同. 级数收敛于 所求傅里叶级数和函数的图形如图所示 . 图形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ，) 各点处与例 2 不同. 2   f(x) x O 2 

例 3 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ， 它在 [ , ) 上的表达式为 试将其展开成傅里叶级数. ≤ ≤   O 2 

解　计算傅里叶系数

所求的傅里叶级数在连续点处收敛于 f(x) ， 即

级数收敛 于  当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , · · ·) 时， 于  当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , · · ·) 时， 当 x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ，) 时， 级数收敛于 0 . 图中给出了它的和函数的图形.   f(x) x O 2 

三、奇函数与偶函数的傅里叶级数 称为 正弦函数， 展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数， 只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数. 在 [ , ]内 是奇函数， 假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 那么傅里叶级数一定是正弦级数. 即 此时傅氏系数

于是在区间 (  ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ， 所以 而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，

故有 同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其展开式为余弦级数， 即 此时傅里叶系数为

设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表达式 例 4 ≤ ≤ 试将其展开成傅里叶级数 . 解 函数 f (x) 的图形如图所示 ， f(x)  O  x

由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数， 因此我们应 根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.

又因为 f(x) 处处连续 ， 故所求的傅里叶级数收敛 于 f(x)， 即

四、函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数 我们设想有一 设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上， 且以 2 为 周期的函数， 它是定义在 (  ) 上 如果  (x) 满足收敛定理的条件， 而在 [0 , ] 上，  (x) = f(x). 那么  (x) 在 (  ) 上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，  (x) 称为f(x) 的周期延拓函数. 即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数，

下面的周期延拓是 最为常用: 在理论上或实际工作中， 使延拓后 的函数成为奇函数 ， 将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ， 然后再延拓为以 2 为周期 的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓; y x 3 2 2   O 　周期奇延拓

将 f(x) 先延拓到( , 0)， 使延拓后的函数为偶函数， 这种延拓称为周期偶延拓. 然后再延拓为以 2 为周期的函数， y x 3 2 2   O

其傅 显然，周期奇延拓的结果为正弦级数， 里叶系数按公式 (12.6.5) 计算. 即 ( 因在 [0 , ] 上， (x) = f(x) ). 其傅里叶系 数公式为 周期偶延拓的结果为余弦级数，

例 5　试将 解　按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，

且延拓的函数在 x = 0， 处连续， 因此 (0≤ x ≤ ) .

0≤ x ≤ 例 6 　试将函数 ≤  展开成正弦级数 . 解 　按公式(12.6.7)

所以 当 x =  时，收敛于 0.  y  2 x o