第四章 力学量与算符 §4.1 线性算符、对易关系与厄米算符 §4.2 厄米算符的性质 §4.3 量子学基本假定3,力学量与算符 第四章 力学量与算符 §4.1 线性算符、对易关系与厄米算符 §4.2 厄米算符的性质 §4.3 量子学基本假定3,力学量与算符 §4.4 量子力学中常用的力学量算符 §4.5 量子学基本假定4,力学量平均值 §4.6 不确定关系 §4.7 力学量平均值随时间变化,守恒量 §4.9 维里定理与F-H定理

引言 一切力学量均可用算符表示？ 本章学习的主要问题是： 1、算符的定义 2、算符的运算 3、QM与MA中的算符的区别 4、算符的本征值问题 5、算符随时间的变化 6、其它问题

本章是量子力学的基础 一个基本概念：厄米算符（作用与性质） 二个基本假定：力学量用算符表示； 任意态用厄米算符本征态表示 三个力学量计算值：确定值、可能值、 平均值 四个力学量的本征态和本征值。

§4.1 线性算符、对易关系与厄米算符 §4.1.1.算符定义 代表对波函数进行某种运算或变换的符号 Ô u = v 表示 Ô 把函数 由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如： 表示 Ô 把函数 u 变成 v， Ô 就是这种变 换的算符。 Ô u = v d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。 du / dx = v x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。 x u = v

§4.1.2.算符的一般特性 （1）线性算符 （2）算符相等 满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符 Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如： 开方算符、取复共轭均不是线性算符。 （2）算符相等 若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。

注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 （3）算符之和 若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。 例如：体系Hamilton 算符 显然，算符求和满足交换率和结合率。 注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。

（4）算符之积 （5）对易关系 若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。 一般来说算符之积不满足 若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。 （4）算符之积 一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。 （5）对易关系 若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。 显然二者结果不相等，所以: 对易关系

注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。例如： 写成通式: 量子力学中最基本的 对易关系。 但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。 若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û 反对易。 注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。例如：

（6）对易括号 为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ 这样一来， 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ （6）对易括号 这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式： 不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。 返回

（7）逆算符 1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义 算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ ψ, 则可定义 算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ （7）逆算符 并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆. 2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0 证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立. 3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1

（8）算符函数 （9）复共轭算符 设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛 则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为: 例如: （9）复共轭算符 例如: 坐标表象中 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.

（10）转置算符 利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。 由于ψ、φ是 任意波函数, 所以 同理可证:

(11)厄密共轭算符 算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô+ 定义: 可以证明: (Ô Â)+ = Â+ Ô+ 由此可得：: 可以证明: (Ô Â)+ = Â+ Ô+ (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â+ Ô+ 转置算符 的定义 厄密共轭 算符亦可 写成：

(12) 厄密算符 返回 1. 定义: 满足下列关系 2. 性质 的算符称为 厄密算符. 性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 (12) 厄密算符 返回 1. 定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符. 2. 性质 性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 Ô+ = Ô, Û+ = Û 则 (Ô+Û)+ = Ô+ + Û+ = (Ô+Û) 性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。 因为 (Ô Û)+ = Û+ Ô+ = Û Ô ≠ Ô Û 仅当 [Ô, Û] = 0 成立时, (Ô Û)+ = Ô Û 才成立。

§4.2 厄米算符的性质 （一）厄米算符的本征值是实数 （二）厄米算符的本征函数具有正交性 （三）厄米算符的本征函数系的完备性 §4.2 厄米算符的性质 （一）厄米算符的本征值是实数 （二）厄米算符的本征函数具有正交性 （三）厄米算符的本征函数系的完备性 （四）两个厄米算符具有共同的本征函数系的充要条件

当体系处于 F 的本征态ψn 时，则每次测量结果都是 Fn 。 由 本征方程可以看出，在ψn（设已归一）态下 一、厄密算符的本征值是实数。 证 当体系处于 F 的本征态ψn 时，则每次测量结果都是 Fn 。 由 本征方程可以看出，在ψn（设已归一）态下

定理1： 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 二、厄密算符的本征函数具有正交性。 （1）正交性 定理1： 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 证： 设 两边右乘 φn 后积分 取复共轭，并注意到 Fm 为实。 二式相减 得： 若m≠Fn，则必有： [证毕] （2）分立谱、连续谱正交归一表示式 1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 2. 连续谱正 交归一条 件表示为： 3. 正交归一系 满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。

如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：φn1 ,φn2 , ..., φnf 上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。 （4）简并情况 如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：φn1 ,φn2 , ..., φnf 一般说来，这些函数 并不一定正交。 满足本征方程： 可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。 但是 证明 由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j 可以满足正交归一化条件： 证明分如下两步进行 1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn j可以组成。

2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 1. ψnj是本征值Fn的本征函数。 2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。 方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。 因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0， 所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交归一化的本征函数。 算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，F 算符与这些算符两两对易，其本征值与 Fn 一起共同确定状态。 综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。

三、厄密算符的本征函数系的完备性。 (I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若： 则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开： (II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量 算符的本征函数也构成完备系，如下表所示： 但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。

（一）两力学量同时有确定值的条件 体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般没有确定值。 四、两个厄密算符具有共同本征函数系的充要条件。 （一）两力学量同时有确定值的条件 体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般没有确定值。 如果力学量 F 有确定值， （x）必为 F 的本征态，即 如果有另一个力学量 G 在  态中也有确定值， 则  必也是 G 的一个本征态，即 结论： 当在  态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定值，那么 必是 二力学量共同本征函数。

？ （二）两算符对易的物理含义 考察前面二式： 所以 例如： = 0 的态，Y  m = Y00 Lx Lz 同时有确定值。 是特定函数， 非任意函数也！ ？ 所以 例如： = 0 的态，Y  m = Y00 Lx Lz 同时有确定值。 但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。

定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。 定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。 证： 由于 n 组成完备系，所以任意态函数 (x) 可以按其展开： 则 因为 (x) 是任意函数

逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数。 逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数。 证： 仅考虑非简并情况 即： 考察： 与 n 只差一常数 Gn n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n （ n = 1，2，… )也都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.

定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。 例 1： 例 2：

例 3： 例 4：

力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量： 例 1： 氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量： 例 2： 例 3： 一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。

§4.3 QM基本假定3,力学量与算符 §4.5 QM基本假定4,力学量平均值 QM基本假定3,力学量与算符:经典力学中的任一力学量F(r,p)对应量子力学线性厄米算符,F的本征值为力学量的测量值(又称可测值).如果粒子的波函数是力学量的本征函数,本征值为f,则测量该粒子的力学量F时得,F=f. QM基本假定4,力学量平均值:量子力学中的所有力学量算符的本征函数都具备完备性.

对基本假定的讨论: 对QM基本假定3的讨论--- 对QM基本假定4的讨论--- （一）力学量的可能值 （二）力学量的确定值 （三）力学量的平均值

力学量算符的本征函数组成完备系 (I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若： 则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开： (II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量 算符的本征函数也构成完备系，如下表所示： 但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。

充要条件是ψ(x) 必须是算符 F的一个本征态。 令λ =λm 是 F 的一个本征值，满足本征方程 （一）力学量的确定值 推论：当体系处于ψ(x) 态时，测量力学量F具有确定值的 充要条件是ψ(x) 必须是算符 F的一个本征态。 证： 1. 必要性。若F具有确定值λ 则ψ(x) 必为 F 的本征态。 确定值的意思就是 每次测量都为λ 。 且测得可能值是： λ1,λ2,...,λm … 根据基本假定III，测量值必为本征值之一， 令λ =λm 是 F 的一个本征值，满足本征方程 相应几率是： |c1|2,|c2|2,...,|cm|2,...。 又根据基本假定 IV，φn(x) 组成完备系， 现在只测得λm，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=0（除|cm|2外）。 于是得 ψ(x)= m(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一个本征态。

根据基本假定IV，力学量算符 F 的本征函数组成完备系。 2. 充分性。若ψ(x)是 F的一个本征态，即 ψ(x)= φm(x)，则 F 具有确定值。 根据基本假定IV，力学量算符 F 的本征函数组成完备系。 所以 测得λn 的几率是 |cn|2。 因为 表明，测量 F 得λm 的几率为 1， 因而有确定值。

（二）力学量的可能值 量子力学基本假定III告诉人们，在任意态ψ(r)中测量任一力学量 F，所得的结果只能是由算符 F 的本征方程 解得的本征值λn之一。 但是还有 两点问题 没有搞清楚： 1. 测得每个本征值λn的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到， 对应几率是多少， 哪些测不到，几率为零。 要解决上述问题， 我们还得从讨论 本征函数的另一 重要性质入手。 2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。 (1) 力学量算符本征函数组成完备系 1. 函数的完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函数展开: 则称这组函数φn(x) 是完备的。 例如：动量本征函数 组成完备系

（2） 力学量的可能值和相应几率 现在我们再来讨论在一般状态 (x) 中测量力学量F，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。 根据量子力学基本假定III，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的本征值 λn n = 1,2,.. .之一,该本征值由本征方程确定： 而每一本征值λn各以一定几率出现。 那末这些几率究竟是多少呢？下面 我们讨论这个问题。 由于φn(x)组成完备系，所以体系 任一状态ψ(x)可按其展开： 展开系数 cn 与x无关。 为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分得： 讨论： 与波函数ψ(x) 按动量本征函数 展开式比较二者完全相同 我们知道：ψ(x) 是坐标空间的波函数； c (p) 是动量空间的波函数； 则 { cn } 则是 F 空间的波函数， 三者完全等价。

证明：当ψ(x)已归一时，c(p) 也是归一的， 同样 cn 也是归一的。 证： 综上所述，量子力学作如下假定： 所以|cn|2 具有几率的意义，cn 称为几率振幅。我们知道|ψ(x)|2 表示在x点找到粒子的几率密度，|c(p)|2 表示粒子具有动量 p 的几率，那末同样，|cn|2 则表示 F 取 λn 的几率。 量子力学基本假定IV 任何力学量算符 F 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系，在任意已归一态ψ(x)中测量力学量 F 得到本征值λn 的几率等于ψ(x)按φn(x)展开式： 中对应本征函数φn(x)前的系数 cn 的绝对值平方。

（三）力学量的平均值 则 力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为： 同样，在任一态ψ(x) 中测量某力学量 F 的 平均值（在理论上） 可写为： 此式等价于 以前的平均 值公式： 这两种求平均 值的公式都要 求波函数是已 归一化的 则 如果波函数未归一化

§4.4 QM中常用的力学量算符 （一）坐标算符 对于y、z有类似的讨论。

（二）动量算符 （1）动量算符的厄密性 证： 由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。 （2）动量本征方程 其分量形式： 使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。 （1）动量算符的厄密性 证： 由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。 （2）动量本征方程 其分量形式：

采用分离变量法，令： 于是： I. 求解 II. 归一化系数的确定 代入动量本征方程 且等式两边除以该式，得： 解之得到如下一组解： 如果取 |c|2 (2π)3=1 则 ψp(r) 就可 归一化为 δ-函数。 这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。

（3）箱归一化 y A A’ o x z 周期性边界条件 据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。 （3）箱归一化 但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。 周期性边界条件 在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。 x y z A A’ o L 这表明，px 只能取分立值。 换言之， 加上周期性边界条件后， 连续谱变成了分立谱。

波函数变为 这时归一化系数 c 可由归一化条件来确定： 所以 c = L-3/2， 归一化的本征函数为：

讨论： y x （1）箱归一化实际上相当于如图所示情况： (a) A’ (b) A (c) y x 讨论： （1）箱归一化实际上相当于如图所示情况： （2）由 px = 2nx  / L, py = 2ny  / L, pz = 2nz  / L, 可以看出，相邻两本征值的间隔  p = 2  / L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小， 当 L   时，本征值变成为连续谱。 （3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱 归一化为  函数 （4）p(r) × exp[–iEt/] 就是自由粒子波函数，在它所描 写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算 符在这个态中的本征值。 （5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。

（三）角动量算符 （1）角动量算符的形式 角动量平方算符 (I) 直角坐标系 根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为: 经典力学中，若动量为 p，相对点O 的 位置矢量为 r 的粒子绕 O 点的角动量是： 角动量平方算符 (I) 直角坐标系 由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.

(II) 球坐标 将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得： 将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：  x z 球 坐 标 r  y 直角坐标与球坐标之间的变换关系 (II) 球坐标 对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）则有： 这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, θ, φ) 将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得： 将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得： 将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：

将上面结果 代回原式得： 则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：

（3）角动量算符的对易关系 证：

（2）本征方程 (I) Lz的本征方程 I。波函数有限条件，要求 z 为实数； II。波函数单值条件，要求 当 φ 转过 2π角 回到原位时波函数 值相等，即： 求 归 一 化 系 数 正交性： 合记之得 正交归一化 条件：

最后得 Lz 的本征函数 和本征值： 讨论： 所 以 厄密性要求第一项为零 则 这正是周期性边界条件

(II) L2的本征值问题 该方程的解就是球函数 Yl m(,)，其表达式： 归一化系数，由归一化条件确定 L2 的本征值方程可写为： 2 的本征函数。此方程就是大 家熟悉的球谐函数方程，其求解 方法在数学物理方法中已有详细 的讲述，得到的结论是： 为使 Y(,) 在 变化的整个区域(0, π)内都是有限的， 则必须满足：  = （ + 1), 其中  = 0, 1, 2, ... 该方程的解就是球函数 Yl m(,)，其表达式： 归一化系数，由归一化条件确定

具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。 其正交归一 条件为： 具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。 (III) 本征值的简并度 由于量子数  表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；m 称为磁量子数。 根据球函数定义式 可知，对应一个  值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2  +1)个值。因此当 确定后，尚有(2  +1)个磁量子状态不确定。 换言之，对应一个值有(2  +1)个量子状态，这种现象称为简并， 的简并度是 (2  +1) 度。

所以，这两个算符 不是厄密算符。 （4）角动量升降阶算符 显 然 有 如 下 性 质 (I) 定义 (II) 对易关系 不 难 证 明

由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即 (III) 证明： 证： 将 Eq. (1) 作用于 Yl m 得： 将 Eq. (2) 作用于 Yl m 得： 可见，(L+ Yl m) 也是 Lz 与 L2 的共同本征函 数，对应本征 值分别为 (m+1)  和 l (l+1) 2。 由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即

求: 常系数 al m, bl m 再计算 式右积分 由（4）式 首先对 式左边 积分 并注意 L- = L++ 比较二式

例：证明在 LZ 本征态 Ylm 下，<Lx> = <Ly> = 0 证： 方法 I 代入平均值公式： 同理：

返回 由角动量对易关系： 代入平均值公式： 同理： 方法 II 由角动量对易关系： 代入平均值公式： 同理：

§4.3 QM基本假定3,力学量与算符 §4.5 QM基本假定4,力学量平均值 QM基本假定3,力学量与算符:经典力学中的任一力学量F(r,p)对应量子力学线性厄米算符,F的本征值为力学量的测量值(又称可测值).如果粒子的波函数是力学量的本征函数,本征值为f,则测量该粒子的力学量F时得,F=f. QM基本假定4,力学量平均值:量子力学中的所有力学量算符的本征函数都具备完备性.

§4、6 不确定关系 （一）不确定关系的严格推导 （二）坐标和动量的不确定关系 （三）角动量的不确定关系

（一）不确定关系的严格推导 （1）引 由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？ 问题： 不确定度： 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。 （1）不确定关系的严格推导 证：

II 不确定关系的严格推导 设二厄密算符对易关系为： 是算符或普通数

最后有： 其中： 不确定关系 均方偏差 由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系： 对任意实数  均成立 两个不对易算符均方偏差关系式 其中： 不确定关系 均方偏差

（二）坐标和动量的不确定关系 （1）不确定关系 表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小， 另一就越大。

（2）线性谐振子的零点能 振子能量 被积函数是x 的奇函数 处 n =0 于是： n 为实

为求 E 的最小值，取式中等号。 则： 求极值： 解得： 二均方偏差不能同时为零，故 E 最小值也不能是零。 因均方偏差不能小于零，故取正 零点能就是测不准关系所要求的最小能量

（三）角动量的不确定关系 例1：利用不确定关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下， 〈Lx〉= 〈Ly〉= 0 证： 由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即

例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系： 则测不准关系： 平均值的平方为非负数 欲保证不等式成立，必有： 同理： 例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系： 解： 由例1 可知：

等式两边右乘 Lx 由对易关系： 将上式两边在 Ylm 态下求平均：

将上式两边在 Ylm 态下求平均： 则不确定关系：

§4.7 力学量平均值随时间变化,守恒量 §4.9 维里定理与F-H定理 一、问题的提出 二、守恒量的定义 三、体系守恒量的性质 四、维里定理 五、F-H定理

Hellmann - Feynman定理及应用 返回 Hellmann - Feynman定理及应用 （一）引言 （二）H - F 定理 （三）实例

（一）引言 关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。 （1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于 各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进 行烦琐的计算； （2）利用 H-F 定理可以很巧妙地推出维里定理。

（二）H - F 定理 设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 λ，En 是 H的本征值，ψn 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则 H - F 定理很有实用价值， H 中的 μ,  等都可以选为参数 λ。 证 据题设，ψn 满足本征值方程： 其共轭方程为： 对 λ 求导数并左乘 <ψn | 得： 由共轭方程 知，上式等 号左边第二 项为 0， <ψn |ψn > = 1 [证毕]

（三）实例 （1）证明一维谐振子 <V> = <p2 / 2μ>。 一维谐振子 Hamilton 量： 方法 I： 取μ作为参数λ 由HF 定理 简记为

方法 II 令λ = ω 由 HF 定理 方法 III 取λ =  由HF 定理

该方程可看成是一维定态方程，其等效 Hamilton 量和本征值为： （2）对类氢离子任何一个束缚态ψnlm ，求 1/r , 1/r2 的平均值。 解 1）求1/r 取 Z 为变分参数 由HF定理 类氢离子径向波函数unl满足的径向方程为： 2）求：<1/r2> 改写成 该方程可看成是一维定态方程，其等效 Hamilton 量和本征值为：