一维定态问题 §7 一维无限深势阱 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体 系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。 一维无限深势阱 ； 线性谐振子； 一维势散射问题（势垒贯穿）

（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论

（一） 一维定态薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程

（二）一维无限深势阱 II I III -a 0 a 求解 薛定谔方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 V(x) I II III 求解 薛定谔方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数

（1）列出各势域的薛定谔方程 2 2 -a 0 a I II III 方程可 简化为： 势V(x)分为三个区域， 表示， 其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为： 2 2 -a 0 a V(x) I II III 方程可 简化为：

（2）解方程 （3）使用波函数标准条件 -a 0 a I II III 1。单值，成立； 2。有限：当x  - ∞ ， ψ 有限条件要求 C2=0。 -a 0 a V(x) I II III  （3）使用波函数标准条件 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。

使用标准条件 3 “波函数连续” -a 0 a I II III 1）波函数连续： 2）波函数导数连续： V(x) I II III 2）波函数导数连续： 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为： 若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连 续。

(1)+(2) (2)-(1) 两种情况： 由（4）式

讨论 状态不存在 所以 n 只取正整数，即 描写同一状态 于是： 或

由（3）式 于是波函数： 类似 I 中关于 n =  m 的讨论可知：

综合 I 、II 结果，最后得： 对应 m = 2 n 对应 m = 2n+1 能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。 由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。 见p37

（4）由归一化条件定系数 A

[小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解薛定谔方程的一般步骤如下： [小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解薛定谔方程的一般步骤如下： 一、列出各势域上的薛定谔方程； 二、求解薛定谔方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）确定未知波函数 和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系 数）。

（三）宇称 （1）空间反射：空间矢量反向的操作。 （2）此时如果有： 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； （3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。

（四）讨论 一维无限深 势阱中粒子 的状态 可见，n取负整数与正整数描写同一状态。 （1）n = 1, 基态， 与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表 现，因为“静止的波”是没 有意义的。 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。 而n = ± k, k=1,2,... 可见，n取负整数与正整数描写同一状态。

（4）ψn*(x) = ψn(x) 即波函数是实函数。 （3）波函数宇称 （4）ψn*(x) = ψn(x) 即波函数是实函数。 （5）定 态 波 函 数

作 业 周世勋：《量子力学教程》第二章 2.3、 2.4、 2.8

简单应用：丁二烯的离域效应 每个C原子以sp2杂化轨道形成3个 键，剩余一个pz轨道和一个 电子。 有两种可能： （1）4个 电子形成两个定域的 键。 （2） 4个 电子形成 离域的 键。

(a) (b) a a a 势阱 势垒 3a 势阱 E1 E2 E1 体系的能量：

§2 线性谐振子 （一）引言 （二）线性谐振子 （三）实例 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论 （三）实例

（一）引言 （1）何谓谐振子 在经典力学中，当质量为  的粒 子，受弹性力F = - kx作用，由牛 顿第二定律可以写出运动方程为： 其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为 简谐振动， 作这种运动的粒子叫谐振子。 若取V0 = 0，即 平衡位置处于势 V = 0 点，则 量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。

（2）为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数： a x V(x) V0

取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式： 可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。

（二）线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论

（1）方程的建立 线性谐振子的 Hamilton量： 则 Schrodinger 方程可写为 ： 为简单计， 引入无量纲变量ξ代替x， 此式是一变系数 二阶常微分方程

（2）求解 1. 渐近解 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， 波函数有限性条件： 为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为： 1. 渐近解 欲验证解的正确性，可将其代回方程， 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， ξ2 >> ± 1 因整个波函数尚未归一化，所以c1可以令其等于1。最后渐近波函数为： 波函数有限性条件： 当ξ→±∞ 时，应有 c2 = 0，

其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； 将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程： 2. H(ξ)满足的方程

3.级数解 我们以级数形式来求解。 为此令： 用 k 代替 k’

ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2] 即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) = 0 从而导出系数 bk 的递推公式： 该式对任意ξ都成立， 故ξ同次幂前的系数均应为零， 只含偶次幂项 由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令： b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ). 只含奇次幂项 则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]

（3）应用标准条件 单值性和连续性二条件自然满足， 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。 因为H(ξ)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点， 即势场有跳跃的地方以及x=0, x → ±∞或ξ=0, ξ→±∞。 (II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数H(ξ)的收敛性 (I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 = 0 皆有限 为此考察相邻 两项之比： 考察幂级数exp[ξ2}的 展开式的收敛性 比较二级数可知： 当ξ→±∞时， H(ξ)的渐近 行为与exp[ξ2]相同。

所以总波函数有如下发散行为： 为了满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ) 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 H(ξ) 从某一项（比如第 n 项）起 以后各项的系数均为零，即 bn ≠ 0, bn+2 = 0. 代入递推关系)得： 结论 基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取 分立值。

由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。 （4）厄密多项式 附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为： 归一化系数 λ = 2n+1 Hn(ξ) 也可写成封闭形式： 由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。

基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系： 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： 从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系： 例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2 应 用 实 例 下面给出前几个厄密 多项式具体表达式： H0=1 H2=4ξ2-2 H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ H3=8ξ3-12ξ H5=32ξ5-160ξ3+120ξ 基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系：

（5）求归一化系数 继续分步积分到底 于是归一化系数 (I)作变量代换，因为ξ=αx， 所以dξ=α dx； (II)应用Hn(ξ)的封闭形式。 ( 分 步 积 分 ) 该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ2] 的 乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。 继续分步积分到底 则谐振子 波函数为： 于是归一化系数 因为Hn的最高次项 ξn的系数是2n，所以 dnHn /dξn = 2n n!。

上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。 （6）讨论 1。上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以： 当 n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项； 当 n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。 2. ψn具有n宇称 上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}ħω ≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。

以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能V(x)=(1/ 2)μω2 x2 = (1/2) ħω= E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。 4. 波函数 然而，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = = N02 exp[-ξ2] 分析上式可知：一方面表明在ξ= 0处找到粒子的几率最大； 另一方面，在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零， 与经典情况完全不同。  -3 -2 -1 0 1 2 3 E0 E1 E2 n = 2 n = 1 n = 0

分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。 5. 几率分布 -2 2 -4 4 |10|2  ωn(ξ) n=2 n=1 n=0 -1 1  -1 0 1 ω0(ξ)

（三）实例 例1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况 解： （1）三维谐振子 Hamilton 量

（2）本征方程及其能量本征值 解得能量本征值为： 如果系统 Hamilton 量可以写成 则必有： 则波函数三方向的分量 因此，设能量本征方程的解为： 则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程： 解得能量本征值为：

（3）简并度 当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1, n2, n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下： 当n1 , n2 确定后， n3 = N - n1 - n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定N，{n1 , n2, n3 }可能组合数即简并度为：

例2. 荷电 q 的谐振子，受到沿 x 向外电场  的作用，其势场为： 求能量本征值和本征函数。 解：Schrodinger方程： （1）解题思路 势V(x)是在谐振子势上叠加上-q  x项，该项是x 的一次项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。

（2）改写 V(x)

（3）Hamilton量 进行坐标变换： 则 Hamilton 量变为：

新坐标下 Schrodinger 方程改写为： 该式是一新坐标下一维 线性谐振子Schrodinger 方程，于是可以利用已 有结果得： 本 征 能 量 本 征 函 数

作 业 周世勋《量子力学教程》2.5